Найдите число решений уравнения ответ

Метод подсчёта количества решений

Линейные алгебраические уравнения — одни из самых простых уравнений, которые мы можем решить. Если в уравнении только одна переменная, решение тривиально, в то время как для системы линейных уравнений существует множество способов найти уникальные решения.

В этой статье нас интересует частный случай линейного уравнения с несколькими переменными. Хорошо известно, что подобное уравнение имеет бесконечное число решений. Мы наложим определённые ограничения и в значительной степени сократим количество решений.

Общая форма интересующего нас уравнения:

где n и m — положительные целые числа.

Наша задача — найти число решений этого уравнения, предполагая, что xᵢ являются целыми числами. Это предположение значительно снижает число решений заданного уравнения.

Нам нужен метод

Давайте начнём с частного случая общего уравнения:

Нетрудно найти все решения этого уравнения методом простого счёта. Решения заданы парами (x₁, x₂):

Мы видим, что уравнение имеет шесть решений. Также нетрудно предположить, что, если мы заменим правую часть определённым положительным целым числом m, решения будут выглядеть так:

и мы сможем подсчитать число решений — m+1.

Это было просто, верно?

Теперь возьмём немного более сложный вариант с тремя переменными, скажем:

С несколько большими усилиями, чем в предыдущем примере, находим решения в виде наборов из трёх чисел (x₁, x₂, x₃):

Число решений в этом случае равно 10.

Легко представить, что метод прямого счёта может стать очень утомительным для уравнения с большим количеством переменных. Он также становится утомительным, если целое число в правой части уравнения становится больше — например, если в правой части у нас будет 8, а не 3, решений будет уже 45. Разумеется, не хотелось бы искать все эти решения методом прямого счёта.

Значит, нужен эффективный метод.

Разрабатываем метод

Существует ещё один способ, которым можно решить предыдущие два уравнения. Давайте снова начнём с этого уравнения:

Одним из решений было (5, 0). Давайте преобразуем его в:

Мы разложили решение на нули и единицы, соответствующие каждому числу. Ненулевую часть (в данном случае 5) мы разложили на соответствующее число единиц, а ноль преобразовали в ноль. Таким же образом мы можем разложить и другое решение:

Мы поменяли прежнее расположение нуля, чтобы получить новое решение. Итак, два числа в парах (обозначенные красным и голубым) разделены нулём (чёрный) в разложенном виде. Таким же образом запишем оставшиеся решения:

Записав решения таким образом, видим закономерность. Кажется, все решения — это просто перестановки нулей и единиц. Вопрос о том, сколько существует решений, становится эквивалентным вопросу как много таких перестановок нулей и единиц может быть сделано, начиная с любой из конфигураций.

В данном случае у нас есть 6 местоположений в разложенной конфигурации для размещения нулей и единиц. Мы можем выбрать простейшее решение в качестве начальной конфигурации:

Теперь всё, что нам нужно найти, это общее число способов, которыми можно заполнить шесть местоположений пятью единицами и одним нулём.

Подобные задачи подсчёта мы можем решить различными способами, но наиболее эффективным будет способ, разработанный в такой области математики как комбинаторика, которая даёт нам формулу для числа способов перестановки r объектов в n местоположений:

где n! (читается как “n факториал”) определяется как произведение всех целых чисел от 1 до n, т.е. n! = 1 × 2 × 3 × ⋅ ⋅ ⋅ × n. Мы также определяем 0! = 1.

Эта формула обычно записывается в компактной форме как:

Теперь, возвращаясь к задаче, мы можем использовать эту формулу для нахождения числа способов перестановки пяти единиц в шести местоположениях:

Это то же самое число, что мы получили методом прямого счёта!

Выглядит многообещающе, поэтому давайте проверим, сможем ли мы найти таким способом число решений второго линейного уравнения:

Некоторые решения можно записать в разложенном виде:

В этот раз нам нужно заполнить тремя единицами и двумя нулями пять местоположений. Используя формулу мы можем найти число способов расположения чисел:

И опять то же число, что мы получили методом прямого счёта. Мы можем также найти число решений для нерешённого случая, где в правой части уравнения 8 вместо 3. Одним из решений будет:

а нам нужно найти число способов разместить 8 единиц в 10 местоположениях, и это будет:

как и утверждалось выше.

Если мы уверены в том, что этот метод работает для всех случаев, нам нужна общая формула. Напомним, что общее уравнение имеет вид:

Простейшее решение этого уравнения:

Поскольку существует n переменных, количество нулей в этом решении равно n-1. Таким образом, разложение выглядит так:

В разложенной конфигурации видим m и n-1 нулей (как утверждалось выше).

Следовательно, общее число местоположений, которые нужно заполнить, равно (m+n-1). Единственное, что остаётся — найти число способов, которыми можно заполнить m+n-1 местоположений m единиц, что определяется по формуле:

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение показательных уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить показательное уравнение. Программа для решения показательного уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите показательное уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Показательная функция, её свойства и график

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m — любые действительные числа. Тогда
1) a n a m = a n+m

4) (ab) n = a n b n

7) a n > 1, если a > 1, n > 0

8) a n m , если a > 1, n n > a m , если 0 x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней, если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 x при a > 0 и при 0 x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
Если х x при a > 0.
Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = a x при 0 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \( a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 2 3x • 3 x = 576
Так как 2 3x = (2 3 ) x = 8 x , 576 = 24 2 , то уравнение можно записать в виде 8 x • 3 x = 24 2 , или в виде 24 x = 24 2 , откуда х = 2.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х + 1 — 2 • 3 x — 2 = 25
Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х — 2 , получаем 3 х — 2 (3 3 — 2) = 25, 3 х — 2 • 25 = 25,
откуда 3 х — 2 = 1, x — 2 = 0, x = 2
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 х = 7 х
Так как \( 7^x \neq 0 \) , то уравнение можно записать в виде \( \frac<3^x> <7^x>= 1 \), откуда \( \left( \frac<3> <7>\right) ^x = 1 \), х = 0
Ответ х = 0

Решить уравнение 9 х — 4 • 3 х — 45 = 0
Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t 2 — 4t — 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t₁ = 9, t₂ = -5, откуда 3 х = 9, 3 х = -5.
Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5 x — 2 = 5 х + 2 х — 2
Запишем уравнение в виде
3 • 2 х + 1 — 2 x — 2 = 5 х — 2 • 5 х — 2 , откуда
2 х — 2 (3 • 2 3 — 1) = 5 х — 2 ( 5 2 — 2 )
2 х — 2 • 23 = 5 х — 2 • 23
\( \left( \frac<2> <5>\right) ^ = 1 \)
x — 2 = 0
Ответ х = 2

Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
Ответ х = -1

Решение уравнений онлайн

В общем виде, уравнение относительно некоторой переменной может быть записано следующим образом:

Решить, приведенное выше уравнение, означает найти все значения переменной при которых выражение обращается в верное тождество.

Графически, корни уравнения представляют собой абсциссы точек пересечения графика функции с осью :

Таким образом, из приведенного на рисунке графика некоторой функции , мы можем сразу сказать, что значения являются корнями уравнения .

В зависимости от конкретного вида функции существует бесконечное множество различных уравнений (линейные, квадратные, кубические, тригонометрические, уравнения с корнями, степенями и т.д.).

Наш онлайн калькулятор построен на основе системы Wolfram Alpha LLC и способен решить очень много различных типов уравнений с описанием подробного решения.