Найдите действительные числа из уравнений
Квадратный корень из комплексного числа
Корни четвертой и пятой степени
Возведение в степень
Мнимая и действительная часть
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Комплексные числа и их приложение к решению уравнений третьей и четвертой степени (стр. 2 )
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 |
Решение. Комплексные числа z1 = (х − 4) + (у2 + 5) и z2 = (у2 + 1) − 3xi будут противоположными, если выполняются условия:
Решая полученную систему, находим :
Задача 10. При каких действительных значениях х и у комплексные числа z1 = 2x2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?
Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия:
Решая систему, находим:
Ответ : (-1 ; 4) ; (1 ; 4) .
Занятие 4. Действия с комплексными числами в алгебраической форме
Задача 1. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:
а) б)
в) г)
Ответ: a) 2 + i ; б) в)
Задача 2. Решите уравнения относительно действительных переменных х и у:
б)
Ответ: a) ;
б) (1;3); (-1;-3);
Задача 3. Найдите значения следующих многочленов:
б) 2x3 + 3 х2у + 3 ху2 + у3 при х = 1 + i ,
у = ;
Ответ: а) 1 ; б) 2 ; в) 6 + 6i .
Замечание. В примерах б) и в) необходимо сначала свернуть формулы куба суммы и куба разности соответственно.
Задача 4. Вычислите следующие квадратные корни:
а) ; б) .
Ответ: а) ; б) .
Задача 5. Решите квадратные уравнения:
Ответ: а) –2 + i ; –3 + i ; в) 1 – i ; 0,8 – 0,4 i ;
Задача 6. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено с самим собой.
Ответ: множество действительных чисел R .
Задача 7. Как связаны между собой два комплексных числа, сумма и произведение которых являются действительными числами?
Ответ: эти числа либо оба действительные, либо сопряжены друг другу.
Задача 8. Найдите все комплексные числа, сопряженные своему кубу.
Занятие 5. Контрольная работа №1
1. Вычислите: .
2. Вычислите двумя способами квадратный: .
3. Решите уравнение: (4 + 3i)2 х + (4 − 3i)2 у = − 7 + 120 i,
считая х и у действительными числами.
4. Решите квадратное уравнение:
5. Зная, что x1 = 2i является корнем кубического уравнения х3 – 3х2 + 4х – 12 = 0, найдите остальные корни данного уравнения.
Глава 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Занятие 6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Введем на плоскости прямоугольную
систему координат хОу и поставим в
соответствие каждому комплексному
числу z = а + bi точку плоскости с
координатами (а;b). Полученное
соответствие между всеми
комплексными числами и всеми
точками плоскости взаимно однозначно:
каждому комплексному числу z=а+bi
соответствует одна точка плоскости с
координатами (а;b) , и обратно, каждой
точке плоскости с координатами (а;b)
комплексное число z = а + bi (см. рис. 1).
Таким образом, через z мы будем одновременно обозначать и комплексное число и точку, изображающую это комплексное число.
Комплексное число z=а+bi называется комплексной координатой точки (а;b) .
Поскольку при указанном соответствии действительные числа z = а + 0i изображаются точками оси абсцисс, то ось Ох называется действительной осью. Ось Oу , на которой лежат чисто мнимые числа z = 0 + bi, называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.
Комплексное число z = а + bi может также изображаться вектором с координатами а и b , идущим из начала координат в точку (а;b) (см. рис.1).
Поскольку по определению модуля комплексного числа
,
очевидно, что модуль комплексного числа равен длине вектора .
Рассмотрим произвольный вектор , равный вектору (см. рис.2). Из курса геометрии известно, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координатами вектора также являются числа а и b .
Вектору сопоставим то же самое комплексное число z = a + bi , которое назовем комплексной координатой вектора .
Таким образом, мы приходим к следующему определению: комплексной координатой вектора называется комплексное число z = a + bi .
http://pandia.ru/text/78/443/83399-2.php