Калькулятор длины дуги кривой линии в декартовых координатах
Одним из приложений определенного интеграла является вычисление длины дуги плоской кривой. На рисунке изображен график функции :
Для того, чтобы узнать длину дуги кривой линии изображенной на рисунке, необходимо вычислить определенный интеграл:
В более общем случае, если у нас задана функция в декартовых координатах и стоит задача найти длину дуги этой кривой между точками и , нам необходимо вычислить интеграл:
В приведенной выше формуле, выражение означает, что сначала нужно вычислить производную функции , а затем полученное выражение возвести в квадрат.
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислить длину кривой, заданной в декартовых координатах для любой, даже очень сложной функции.
Как найти длину дуги кривой с помощью интеграла
Задачи на вычисление длины дуги кривой — однотипные. Существуют чёткие схемы для решения таких задач по формулам, которые отличаются в зависимости от того, какими и сколькими уравнениями задана кривая. Формулы представляют собой интегралы от корня, под которым в тех или иных сочетаниях присутствуют производные функций, которыми задана кривая. Следовательно, для того, чтобы вычислять длину дуги кривой, требуется уметь вычислять производные и интегралы. При вычислении интегралов возможны типичные трудности, связанные, например, с выбором подходящей подстановки. Эти задачи будем решать в примерах к данному уроку.
Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах
Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая.
Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b (рисунок ниже).
Возьмём на дуге AB точки A, M 1 , M 2 , . M i , . B с абсциссами x 0 = a, x 1 , x 2 , . x i , . b = x n и проведём хорды AM 1 , M 1 M 2 , . M n-1 B , длины которых обозначим соответственно через Δs 1 , Δs 2 , . Δs n . Тогда получим ломаную AM 1 M 2 . M n-1 B , вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна
.
Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:
.
Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу
(1).
Формула выше и есть формула для вычисления дуги кривой.
Пример 1. Найти длину дуги кривой , если .
Решение. Находим производную данной функции:
Используем формулу (1), подставляя найденную производную:
Ответ: длина дуги кривой равна 74.
Пример 2. Найти длину окружности .
Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет:
,
откуда находим производную функции:
Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:
Ответ: длина всей окружности равна .
Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:
. (2)
Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически
Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:
В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле
(3).
Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
если .
Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если :
Вычислим производные функций x и y:
Используем формулу (3):
.
Ответ: длина дуги кривой равна 26.
Если параметрическими уравнениями
задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:
. (4)
Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями
Решение. Вычислим производные функций x, y и z:
Используем формулу (4):
Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах
Пусть кривая задана в полярных координатах:
Длина её дуги вычисляется по формуле:
(5).
Пример 5. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах .
Решение. Вычислим производную функции:
.
Заданная кривая — кардиоида (рисунок выше). Так как она симметрична, вычислим только ту часть длины дуги, у которой и и умножим её на 2. Используем формулу (5):
.
Найдите длину дуги кривой заданной уравнением
        Пусть кривая задана уравнениями в параметрической форме
где         и         .
        Длина дуги кривой
        Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте найти интеграл по образцу, приведённому ниже для варианта 27.
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
    Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
    Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
    Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30
        Задача 18.27. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями.
Решение
        Найдём производные
        Длина дуги кривой, заданной параметрически, ищется по формуле
        Подставляя данные, получим
        Ответ:         .
http://function-x.ru/integral502.html
http://www.kvadromir.com/kuznecov_integral_18.html