Калькулятор длины дуги кривой линии в декартовых координатах
Одним из приложений определенного интеграла является вычисление длины дуги плоской кривой. На рисунке изображен график функции :
Для того, чтобы узнать длину дуги кривой линии изображенной на рисунке, необходимо вычислить определенный интеграл:
В более общем случае, если у нас задана функция в декартовых координатах и стоит задача найти длину дуги этой кривой между точками и , нам необходимо вычислить интеграл:
В приведенной выше формуле, выражение означает, что сначала нужно вычислить производную функции , а затем полученное выражение возвести в квадрат.
Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислить длину кривой, заданной в декартовых координатах для любой, даже очень сложной функции.
Найдите длину линии заданной уравнением
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Задачи на вычисление длины дуги кривой — однотипные. Существуют чёткие схемы для решения таких задач по формулам, которые отличаются в зависимости от того, какими и сколькими уравнениями задана кривая. Формулы представляют собой интегралы от корня, под которым в тех или иных сочетаниях присутствуют производные функций, которыми задана кривая. Следовательно, для того, чтобы вычислять длину дуги кривой, требуется уметь вычислять производные и интегралы. При вычислении интегралов возможны типичные трудности, связанные, например, с выбором подходящей подстановки. Эти задачи будем решать в примерах к данному уроку.
Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах
Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая.
Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b (рисунок ниже).
Возьмём на дуге AB точки A, M 1 , M 2 , . M i , . B с абсциссами x 0 = a, x 1 , x 2 , . x i , . b = x n и проведём хорды AM 1 , M 1 M 2 , . M n-1 B , длины которых обозначим соответственно через Δs 1 , Δs 2 , . Δs n . Тогда получим ломаную AM 1 M 2 . M n-1 B , вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна
.
Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:
.
Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу
(1).
Формула выше и есть формула для вычисления дуги кривой.
Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет:
,
откуда находим производную функции:
Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:
Ответ: длина всей окружности равна .
Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:
. (2)
Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически
Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:
В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле
(3).
Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
если .
Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если :
Вычислим производные функций x и y:
Используем формулу (3):
.
Ответ: длина дуги кривой равна 26.
Если параметрическими уравнениями
задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:
. (4)
Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями
Решение. Вычислим производные функций x, y и z:
Используем формулу (4):
Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах
Пусть кривая задана в полярных координатах:
Длина её дуги вычисляется по формуле:
(5).
Пример 5. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах .
Решение. Вычислим производную функции:
.
Заданная кривая — кардиоида (рисунок выше). Так как она симметрична, вычислим только ту часть длины дуги, у которой и и умножим её на 2. Используем формулу (5):
.
.
(1).
, если 
.
.
,
.
. (2)
(3).
.
.
. (4)
(5).
.
.
и и умножим её на 2. Используем формулу (5):
.