Найдите хотя бы одно значение уравнения

Найдите хотя бы одно значение уравнения

Этот раздел посвящен решению различных типов уравнений и неравенств с параметром (задания типа С5). Сюда не включаются задачи из известных книжек, решения которых размещены в разделе ЕГЭ.

Все задачи я условно разделю на три группы (А, В и С) по возрастанию сложности. Конечно, это деление достаточно субъективно.

Задача П45 ( Уровень В )

Найти все значения а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит какой-либо луч на числовой прямой?

Задача П44 ( Уровень В )

При каких значениях параметра а система имеет единственное решение?

Задача П43 ( Уровень В )

Найти все значения параметра р, при каждом из которых множество з начений функции

содержит полуинтервал (-1;3]. Определить при каждом таком р множество значений функции f(x). Решение…

Задача П42 ( Уровень В )

Найдите все значения величины х, удовлетворяющие неравенству

хотя бы при одном значении а, принадлежащем промежутку [-2;1] МГУ,мехмат 1992 Решение…

Задача П41 ( Уровень В )

Найдите все значения параметра b , при каждом из которых для любого а неравенство

имеет хотя бы одно целочисленное решение (х,у) Решение…

Задача П40 ( Уровень В )

При каких значениях параметра а система уравнений имеет единственное решение?

Задача П39 ( Уровень В )

При каких значениях а уравнение имеет хотя бы одно решение? МГУ, мехмат, 1996 год

Задача П38 ( Уровень С)

Найти все значения параметра а, при которых система имеет хотя бы одно решение. Найдите эти решения.

Задача П37 ( Уровень С )

Найти все а, при которых уравнение имеет нечетное число решений на интервале .

Задача П36 ( Уровень А )

При каких значениях а уравнение имеет ровно одно решение на промежутке ?

Задача П35 ( Уровень С )

Найдите все неотрицательные значения параметра а, при которых уравнение

имеет ровно 4 решения на отрезке . Решение…

Задача П34 ( Уровень С )

Найти все а, при которых уравнение имеет 2 корня и между этими

корнями расположен ровно один корень уравнения

МГУ мехмат 2000

Задача П33 ( Уровень В )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма длин интервалов, составляющих решение неравенства не меньше 1. МГУ, мехмат 1999 г.

Задача П32 ( Уровень А )

Найти все значения параметра а, при которых неравенство не имеет решений на отрезке [-1;2]

Задача П31 ( Уровень В )

При каких значениях параметра а уравнение

имеет ровно два корня, лежащих на отрезке [-4;0] ? (МГУ ВМиК, 1999 г.)

Задача П30 ( Уровень В )

Найти наибольшее значение а, при котором неравенство имеет хотя бы одно решение.

Задача П29 ( Уровень А )

При каких значениях параметра b уравнение имеет единственное решение?

Задача П28 ( Уровень В )

Найдите все значения параметра а, при которых неравенство выполняется при всех х из промежутка . (МГУ физфак, 2000 г.) Решение…

Задача П27 ( Уровень В )

При каких значениях параметра а неравенство

и меет единственное решение? Решение…

Задача П26 ( Уровень А )

Найдите все решения уравнения для тех значений параметра k при которых уравнение имеет два корня, максимальный из которых в 3 раза больше минимального.

Задача П25 ( Уровень В )

Найдите значения все параметра р, при которых уравнение

имеет ровно 3 различных корня. Решение…

Задача П24 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число различных корней уравнения

равно числу различных корней уравнения Решение…

Задача П22 и П23 ( Уровень А )

Найдите значения а, при которых уравнение

имеет единственное решение

Найдите значения а, при которых уравнение имеет 3 корня.

Эти задачи я объединил потому, что в их решении используется один общий метод. Решение…

Задача П21 ( Уровень В )

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно 2 корня.

Задача П20 ( Уровень С )

Найдите все значения а, при которых каждое из уравнений и

имеет хотя бы один корень. Решение…

Задача П19 ( Уровень А )

При каких положительных значениях параметра а модуль разности корней уравнения не больше расстояния между точками экстремума функции ? Решение…

Задача П18 ( Уровень А )

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение и меет ровно 2 корня.

Задача П17 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень.

Задача П16 ( Уровень В )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет шесть корней.

Задача П15 ( Уровень С )

Найдите все значения a > 0 , при каждом из которых уравнение имеет на отрезке [-1 ; 2] ровно два корня.

Задача П14 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых количество различных корней уравнения

равно числу . Решение…

Задача П13 ( Уровень С )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства

является отрезком длины меньше 1. Решение…

Задача П12 ( Уровень В )

Даны два уравнения:

и .

Значение параметра р выбирается таким образом, что число различных корней второго уравнения в сумме с числом

р+1 дает число различных корней первого уравнения. Найдите все значения параметра , удовлетворяющие условию, и найдите сумму корней первого уравнения при каждом значении параметра, выбранном таким образом.

Задача П11 ( Уровень В )

Найдите все значения b , при каждом из которых оба числа и являются решениями неравенства

Решение…

Задача П10 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решений

Задача П9 ( Уровень С )

Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнениеимеет три решения.

Задача П8 ( Уровень А )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых общие решения неравенств

и

содержат только одно целое число. Решение…

Задача П7 ( Уровень В )

Найдите все значения х, каждое из которых хотя бы при одном значении параметра а удовлетворяет неравенству

Задача П6 ( Уровень В )

Найдите все положительные значения параметра а, при которых область определения функции

содержит ровно два целых числа. Решение…

Задача П5 ( Уровень B )

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

верно при всех значениях переменной х. Решение…

Задача П4 ( Уровень В )

Найти все значения a , при которых неравенство не имеет решений.

Задача П3 ( Уровень А )

Найдите все значения переменной х, при каждом из которых неравенство верно хотя бы при одном значении параметра а из промежутка [3 ; 6]. Решение…

Задача П2 ( Уровень А )

Найти все значения параметра а, при которых выражение больше выражения

при любом значении х, принадлежащем промежутку (2, 5)

Задача П1 ( Уровень С )

Найти все значения а, при каждом из которых оба числа и

Репетитор по математике

Меня зовут Виктор Андреевич, — я репетитор по математике . Последние десять лет я занимаюсь только преподаванием. Я не «натаскиваю» своих учеников. Моя цель — помочь ребенку понять предмет, научить его мыслить, а не применять шаблоны, передать свои знания, а не просто «добиться результата».

Предусмотрен дистанционный формат занятий (через Skype или Zoom). На первом же уроке оцениваем уровень подготовки ребенка. Если ребенка устраивает моя подача материала, то принимаем решение о дальнейшем сотрудничестве — составляем расписание и индивидуальный план работы. После каждого занятия дается домашнее задание — оно всегда обязательно для выполнения. [в личном кабинете родители могут контролировать успеваемость ребенка]

Стоимость занятий

Набор на 2020/2021 учебный год открыт. Предусмотрен дистанционный формат.

Видеокурсы подготовки к ЕГЭ-2021

Решения авторские, то есть мои (автор ютуб-канала mrMathlesson — Виктор Осипов). На видео подробно разобраны все задания.

Теория представлена в виде лекционного курса, для понимания методик, которые используются при решении заданий.

Группа Вконтакте

В группу выкладываются самые свежие решения и разборы задач. Подпишитесь, чтобы быть в курсе и получать помощь от других участников.

Преимущества

Педагогический стаж

Сейчас существует много сайтов, где вам подберут репетитора по цене/опыту/возрасту, в зависимости от желаний. Но большинство анкет там принадлежат либо студентам, либо школьным учителям. Для них репетиторство — дополнительный временный заработок, из этого формируется отношение к деятельности. У студентов нет опыта и желания совершенствоваться, у школьных учителей — нет времени и сил после основной деятельности. Я занимаюсь только репетиторством с 2010 года. Все свои силы и знания трачу на совершенствование только в этой области.

Собственная методика

За время работы я накопил огромное количество материала для подготовки к итоговым экзаменам. Ребенку не будет даваться неадаптированная школьная программа. С каждым я разберу поэтапно специфичные примеры, темы, способы решений, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ и ОГЭ. При этом это не будет «натаскиванием» на решение конкретных задач, но полноценная структурированная подготовка. Естественно, если таковые найдутся, устраню «пробелы» и в школьной программе.

Гарантированный результат

За время моей работы не было ни одного случая, где не прослеживалась бы четкая тенденция к улучшению знаний у ученика. Ни один откровенно не «завалил» экзамен. Каждый вырос в «понимании» математики в сравнении со своим первоначальным уровнем. Естественно, я не могу гарантировать, что двоечник за полгода подготовится на твердую «пять». Но могу с уверенностью сказать, что я подготовлю ребенка на его максимально возможный уровень за то время, что осталось до экзамена.

Индивидуальная работа

Все дети разные, поэтому способ и форма объяснения корректируются в зависимости от уровня понимания ребенком предмета. Индивидуальная работа с каждым учеником — каждому даются отдельные задания, теоретический материал.

Уравнения с параметром

Разделы: Математика

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

если а = 5, то х = = ;

Дидактический материал

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

1. При а1 х =;

1. При а3 х = ;

1. При а1, а-1, а0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

1. При а2, а0 х = ;

1. При а-3, а-2, а0, 5 х =

1. При а + с0, с0 х = ;

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

a =

a =

Если а -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 — 2(а + 1) 0

а 6 а > — 1 а > 5/9

6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2 ) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Показательные уравнения с параметром

Пример 1.Найти все значения а, при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а*3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х , получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log₃2 , или х 2 – хlog₃2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 ₃2 – 4 х+1/х = а то х + 1/х = log₃а, или х 2 – хlog₃а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 ₃2 – 4 > 0, или |log₃а| > 2.

Если log₃а > 2, то а > 9, а если log₃а 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х₁ = -3, х₂ = а = >

а – положительное число.

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х — (5а-3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

1. 0 25/2
2. при а = 1, а = -2,2
3. 0 0, х1/4 (3)

х = у

Если а = 0, то –

2у + 1 = 0 2у = 1 у = 1/2 х = 1/2 х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а₀; 2), где а₀ 2

а₀ =

Ответ: x + 9a 3 ) = x имеет ровно два корня.

Ответы:

при а 16.06.2009