Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения

Как найти точки пересечения графиков функций — алгоритмы и примеры правила и методики

Общие сведения

Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

Классификация уравнений

Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.

Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S — коэффициенты при переменных, а U — константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II — III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 .

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

1. Правильное раскрытие скобок с учетом алгебраической операции и знаков.
2. Упрощение выражения (приведение подобных величин).
3. Перенос элементов в любые части равенства с противоположным знаком.
4. Возможность прибавлять или вычитать эквивалентные величины.
5. Деление и умножение на любые эквивалентные значения, не превращающие тождества в пустое множество.

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

1. Квадрат суммы и разности: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2 соответственно.
2. Разность квадратов: p^2-r^2=(p-r)(p+r).

В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы «p+r)^2=p^2+2pr+r^2» нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные — в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:

1. Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.
2. Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных — в другую часть равенства.
3. Произвести необходимые математические преобразования.
4. Найти корень.

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

1. Разложить на множители.
2. Выделить полный квадрат.
3. Найти дискриминант.
4. По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д 3 +St 2 +Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:

1. Уравнение требуется разделить на P.
2. Осуществить замену: t=m-(S/(3P)). При этом получается тождество вида m^3 +km+l=0.
3. Найти значение коэффициентов по формулам: k=[2S 3 -9PSU+27(P 2 )V] / (27P 3 ) и l=[(3PU-S 2 )/(3P 2 )]. Подставить их во второй пункт и найти промежуточные корни, при помощи которых найти основные значения переменных.

Следует отметить, что важным пунктом методики является правильный выбор выражения замены, а затем верное выполнение математических преобразований.

Пример решения

Для закрепления знаний необходимо перейти к практическому решению заданий.Одной из простых задач является следующая: найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций z=2t+7 и z=t-1. Решается задача по такому алгоритму:

1. Приравнять уравнения: 2t+7=t-1.
2. Перенести переменные влево, а константы — вправо: 2t-t=-1-7.
3. Привести подобные коэффициенты: t=-8.
4. Найти координаты второй составляющей: z=-8-1=-9.
5. Искомая точка пересечения: (-8;-9).

В четвертом пункте нужно подставить координату по оси абсцисс в любое из уравнений для получения второй составляющей, необходимой для точки. Следует отметить, что в этой задаче нет необходимости проводить математические преобразования. Однако существуют и более сложные задания, в которых необходимо решать квадратные уравнения, а также раскрывать скобки.

Таким образом, для определения точки пересечения графиков необходимо уметь находить корни уравнения, а также выполнять алгебраические преобразования.

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Мордкович. §7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график. Номер №7.21.

Найдите координаты точки пересечения прямых:
а ) x − y = − 1 и 2 x + y = 4 ;
б) 4 x + 3 y = 6 и 2 x + 3 y = 0 .

Решение а

x − y = − 1
−y = − 1 − x
y = x + 1

2 x + y = 4
2 x + x + 1 = 4
3 x = 4 − 1
3 x = 3
x = 1

y = x + 1
y = 1 + 1
y = 2
Ответ: точка пересечения прямых ( 1 ; 2 )

А)Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения — 2х + 3у — 12 = 0 с осями координат?

Математика | 5 — 9 классы

А)Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения — 2х + 3у — 12 = 0 с осями координат.

Б) определите пренадлежит ли графику данного уравнения точка k (2, 5 ; 1 \ 3).

Пересечение с Ох : у = 0, тогда — 2х + 3 * 0 — 12 = 0, — 2х — 2 = 0, — 2х = 2, х = 2 : ( — 2), х = — 1.

Пересечение с Оу : х = 0, тогда — 2 * 0 + 3у — 12 = 0, 3у — 12 = 0, 3у = 12, у = 12 : 3, у = 4.

Координаты точки пересечения графика ур — я — 2х + 3у — 12 = 0 с осями координат ( — 1 ; 4).

Чтобы определить принадлежит ли точка К графику данного ур — я, нужно подставить ее координаты в само ур — е и проверить выполняется ли равенство.

Если выполняется — принадлежит, если не выполняется — нет.

— 2 * 2, 5 + 3 * 1 / 3 — 12 = 0, — 5 + 1 — 12 = 0, — 16 = 0 равенство не выполняется, значит точка К(2, 5 ; 1 / 3) не принадлежит графику данного линейного ур — я.

Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 2х — 5у — 10 = 0 : б) Определите , пренадлежит ли графику данного уравнения точка М( — одна целая одна вторая и — 2, 6?

Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 2х — 5у — 10 = 0 : б) Определите , пренадлежит ли графику данного уравнения точка М( — одна целая одна вторая и — 2, 6.

А) найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 2x — 5y — 10 = 0 с осями координат?

А) найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 2x — 5y — 10 = 0 с осями координат.

Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения — 3x + 2y — 6 = 0 c осями координат?

Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения — 3x + 2y — 6 = 0 c осями координат.

Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения y = 3x — 6 с осями координаты?

Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения y = 3x — 6 с осями координаты.

A) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 3x + 5y + 15 = 0 с осями координат?

A) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 3x + 5y + 15 = 0 с осями координат.

Б) Определите, принадлежит ли графику данного уранения точка С(1 / 3 ; — 3, 2).

Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 3x + 5y + 15 = 0 c осями координат?

Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 3x + 5y + 15 = 0 c осями координат.

Найдите координаты точек пересечения графика линейной функции y = 2x + 2 с осями координат?

Найдите координаты точек пересечения графика линейной функции y = 2x + 2 с осями координат.

Найти график функции у = 2х + 1 ?

Найти график функции у = 2х + 1 .

Определите координаты точек пересечения с осями координат.

Постройте график функции уравнения Запишите координаты точек пересечения графика С осью ординат?

Постройте график функции уравнения Запишите координаты точек пересечения графика С осью ординат.

Посторойте график уравнении запишите координаты точек пересечения графика с осью ординат : 2, 5х + у = 5?

Посторойте график уравнении запишите координаты точек пересечения графика с осью ординат : 2, 5х + у = 5.

На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос А)Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения — 2х + 3у — 12 = 0 с осями координат?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.