Найдите мощность множества действительных корней уравнения

Мощность множества всех последовательностей действительных чисел

Одной из задач теории множеств является определение числа элементов множества и исследование вопроса о сравнении друг с другом двух множеств по количеству элементов.

Для конечных множеств самой разной природы эта задача легко решается непосредственным подсчетом. Для бесконечных – с помощью взаимно однозначного (биективного) отображения. Рассмотрим примеры построения такого отображения.

Задача 1. В качестве множества А рассмотрим интервал на числовой прямой, пусть А=(–1, 1), а в качестве множества В –множество действительных чисел R. Это множества одинаковой мощности, т.к отображение f(x) = tg(px/2), хÎА позволяет установить между ними искомое взаимно-однозначное соответствие.

Задача 2. Пусть А = [–1,1], В = (–1,1). Строим отображение f : A ® B по следующему правилу: выделим в А последовательность –1, 1, 1/2, 1/3, 1/4, . . . , 1/n и положим f(–1)=1/2, f(1)=1/3, f(1/2)=1/4, f(1/3)=1/5, т.е. f(1/n) = 1/(n+2), а все точки, не входящие в эту последовательность отобразим сами в себя, т.е. f(x) = х. Следовательно, открытый и замкнутый интервалы эквивалентны.

Мощность – это то общее, что есть у любых двух эквивалентных множеств. Мощность множества A обозначается m(A) или |A|. Таким образом, m(A) = m(B), если A

Если множество A эквивалентно какому-либо подмножеству множества B, то мощность A не больше мощности B (т.е. m(A)£m(B)). Если при этом множество B не эквивалентно никакому подмножеству множества A, то m(A)

Задача 5. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества E на прямой больше единицы, то множество E конечно или счетно.

Решение. Разобьем прямую на счетное множество отрезков точками 0, ±1, ±2, ±3, . . . Каждый отрезок содержит не более одной точки данного множества, следовательно, между точками множества E и некоторым подмножеством построенного множества отрезков существует взаимно однозначное соответствие. Значит, множество E не более чем счетно.

Задача6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на [a, b], не более, чем счетно.

Решение. Каждая точка разрыва монотонной функции f(x) является точкой разрыва первого рода. Действительно, так как функция f(x) монотонна и ограничена на отрезке, то она имеет конечные пределы при x®x±0, где x – произвольная точка разрыва функции f(x).

Назовем скачком функции в точке x разность f(x+0) –f(x–0) этих пределов. Пусть функция f(x) возрастает. Легко проверить, что множество точек разрыва, в которых скачок больше a (где a – произвольное положительное число), конечно, а число этих точек не больше, чем (f(b) – f(a)) /a.

Обозначим через E_k множество точек разрыва со скачком, большим, чем 1/ k. Множество E всех точек разрыва равно объединению всех E_k: E = E₁ È E₂ È E₃ È . . . È E_k È . . .

Так как все E_k конечны, то E не более чем счетно.

Для монотонно убывающей на [a, b] функции доказательство аналогично.

Задача 7. Доказать, что множество всех непрерывных функций на отрезке [a, b] имеет мощность континуума.

Решение. Рассмотрим множество Q всех рациональных точек отрезка [a,b], занумерованных произвольным образом, т.е. Q= =₁, r₂. >. Поставим в соответствие каждой непрерывной на [a,b] функции f последовательность действительных чисел f(r₁), f(r₂). Так как непрерывная функция на [a,b] полностью определяется своими значениями в точках множества Q, то тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех непрерывных функций на [a,b] и частью множества всех последовательностей действительных чисел. Значит, в силу результатов задач 11-13 п. 4, мощность множества всех непрерывных функций на [a,b] не больше мощности континуума. С другой стороны, она не может быть меньше мощности континуума, так как все функции, постоянные на [a,b], уже образуют множество мощности континуума. Для завершения доказательcтва остается применить теорему Кантора-Бернштейна (см. п.4).

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

1. Найти взаимно однозначное отображение отрезка [0, 1] на отрезок [a, b].

2. Отобразить взаимно однозначно луч [0, +¥) на всю числовую прямую.

3. Построить взаимно однозначное отображение окружности единичного радиуса на отрезок [0, 1].

4. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом E= .

5. Установить взаимно однозначное соответствие между открытым единичным кругом и замкнутым единичным кругом.

6. Установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и прямой.

7. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой с одной выколотой точкой и плоскостью.

8. Установить взаимно однозначное соответствие между сферой и плоскостью.

9. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех многочленов с рациональными коэффициентами и множеством всех натуральных чисел.

10. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех конечных подмножеств натурального ряда чисел и множеством натуральных чисел.

11. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех последовательностей действительных чисел и множеством всех последовательностей натуральных чисел.

12. Установить взаимно однозначное соответствие между

множеством всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел и множеством всех бесконечных двоичных дробей, которые соответствуют числам интервала (0, 1].

13. Верно ли утверждение: «Если A

D, причем A É B, C É D, то A B

14. Пусть A É C, B É D, C È D

C. Доказать, что A È D

15. Верно ли утверждение: «Если A

B, C É A, C É B, то C A

16. Верно ли утверждение: «Если A

B, A É C, B É C, то A C

17. Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

18. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы и координаты центра которых – рациональные числа, счетно.

19. Какова мощность множества всех многочленов, коэф-фициентами которых служат корни многочленов с целыми коэф-

фициентами (алгебраические числа).

20. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на всей числовой прямой, конечно или счетно.

21. Пусть E – какое-либо несчетное множество положительных чисел. Доказать, что найдется такое число t > 0, что множество E Ç(–t, +¥) несчетно.

22. Доказать, что множество всех стационарных последовательностей натуральных чисел счетно. Последовательность называется стационарной, если она состоит из одинаковых элементов.

23. Определить мощности следующих множеств:

а) множество всех треугольников на плоскости, координаты вершин которых выражаются рациональными числами;

б) множество корней многочленов с целыми коэффициентами;

в) множество вещественных чисел от 0 до 1, в десятичном представлении которых 7 стоит на 3-м месте (т.е. числа вида 0.ab7cd. ).

24. На числовой прямой задано неограниченное счетное множество Е. Доказать, что всегда существует вещественное число z, что сдвинув множество Е на z вправо, получим новое множество Е₁, которое будет иметь пустое пересечение с Е.

25. Какова мощность множества всех функций, определенных на отрезке [a, b] и разрывных хотя бы в одной точке этого отрезка?

26. Какова мощность множества всех строго возрастающих непрерывных функций, заданных на отрезке [a, b]?

27. Какова мощность множества всех монотонных функций на отрезке [a, b]?

28. Показать, что множество всех перестановок натурального ряда N имеет мощность континуума.

29. Какова мощность множества всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел?

30. Какова мощность множества всех последовательностей натуральных чисел?

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9618 — | 7511 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Рассмотрим бесконечные последовательности из 0,1,2, в которых никакая цифра не встречается два раза подряд. Какая мощность множества таких последовательностей?

задан 27 Янв ’17 16:26

2 ответа

Мощность равна континууму, и это можно доказать разными способами.

Прежде всего, почему мощность не меньше континуума? Возьмём все двоичные последовательности (слово «бесконечные» будем везде подразумевать). «Разбавим» каждую такую последовательность двойками через один символ. Скажем, если было 01110010. то станет 0212121202021202. . Никакие два одинаковых символа не идут подряд.

То, что последовательностей получается не больше континуума, также достаточно очевидно. Даже если разрешить любые действительные числа в качестве членов последовательностей, то получится множество $%mathbb R^ sim(2^ )^ sim2^ sim2^ simmathbb R$%. А можно для случая символов 0, 1, 2 предложить такое кодирование: 0 заменяем на 01, 1 заменяем на 011, и 2 заменяем на 0111. Тогда всё однозначно раскодируется.

Из того, что мощность не меньше и не больше континуума, следует, что она равна континууму — по теореме Кантора — Бернштейна. Но здесь можно построить и явный вид биекции, что даёт ещё один способ доказательства.

В качестве «образца» континуума рассмотрим множество двоичных последовательностей из 0 и 1. Будем на них смотреть как на закодированные инструкции по выписыванию последовательностей из условия. Если двоичная последовательность начинается с 0, то мы пишем 0. Если с 10, то пишем 1. Если с 11, то пишем 2. Оставшуюся часть двоичной последовательности используем как информацию, какой символ писать очередным. Будем считать, что на 0, 1, 2 у нас введён циклический порядок, то есть за 2 следует 0. У нас написан какой-то символ 0, 1 или 2; какой писать дальше? Если мы в «инструкции» видим 0, то считаем, что нам надо написать «следующий» символ. Если 1, то предыдущий. При этом одинаковые символы не пойдут подряд.

Для примера: если у нас была инструкция в виде 01110010. то ей соответствует 02101212. . Обратно: пусть в условии дана какая-то последовательность — скажем, 2102021012. . Тогда она получается по «инструкции» 11111011100. , то есть построена биекция.

Мощностью конечного множества М называется количество его элементов. Обозначается . Если , то множества А и В называются равномощными.

Если между двумя конечными множествами А и В существует взаимно-однозначное соответствие, то эти множества равномощны. Этот очевидный факт позволяет, во-первых, установить равенство мощности этих множеств, не вычисляя их. Во-вторых, часто можно вычислить мощность множества, установив его однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна, либо легко вычисляется.

Теорема 1.1. Если мощность конечного множества А равна , то число всех подмножеств А равно , то есть .

Множество всех подмножеств множества М называется булеаном. Мощность такого множества называется степеньюмножества М и обозначается . Для конечных множеств выполняется: .

Определение. Множества А и В называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Заметим, что для конечных множеств это утверждение легко доказать. Для бесконечных множеств оно определят само понятие равномощности.

Определение. Множество А называется счётным, если оно равномощно множеству натуральных чисел : .

Очень упрощённо можно сказать, что данное бесконечное множество является счётным, если для его элементов можно установить нумерацию с помощью натуральных чисел.

Без доказательства примем ряд важных фактов:

1. Любое бесконечное подмножество множества натуральных чисел является счётным.

2. Множество является счётным.

3. Множество рациональных чисел является счётным (является следствием из предыдущего утверждения).

4. Объединение конечного числа счётных множеств является счётным.

5. Объединение счётного числа конечных множеств является счётным.

6. Объединение счётного числа счётных множеств является счётным.

Все эти утверждения, как можно видеть, позволяют достаточно успешно устанавливать факт, что данное множество является счётным. Однако сейчас будет показано, что не всякое бесконечное множества является счётным; существует множества большей мощности.

Теорема 1.2 (теорема Кантора). Множество всех действительных чисел из отрезка не является счётным.

Допустим, что множество является счётным и существует его нумерация. Поскольку любое действительное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби (периодической или непериодической), то проделаем это с числами данного множества. Расположим их в порядке этой нумерации:

Теперь рассмотрим любую бесконечную десятичную дробь вида , организованную таким образом, что и так далее. Очевидно, что данная дробь не входит в рассматриваемую последовательность, поскольку от первого числа она отличается первой цифрой после запятой, от второго – второй цифрой и так далее. Следовательно, мы получили число из данного интервала, которое не пронумеровано и, таким образом, множество не является счётным. Его мощность называется континуум, а множества такой мощности называются континуальными. Приведённый метод доказательства называется диагональным методом Кантора.

Следствие 1. Множество действительных чисел континуально.

Следствие 2. Множество всех подмножеств счётного множества континуально.

Как показывается в теории множеств (с помощью метода, аналогичного приведённому выше), для множества любой мощности множество всех его подмножеств (булеан) имеет более высокую мощность. Поэтому не существует множества максимальной мощности. Например, множество-универсум , описанное Кантором должно содержать все мыслимые множества, однако оно само содержится в множестве своих подмножеств в качестве элемента (парадокс Кантора). Получается, что множество не является множеством максимальной мощности.

Найти множество действительных корней уравнения x2 + 16 = 0?

Математика | 1 — 4 классы

Найти множество действительных корней уравнения x2 + 16 = 0.

Найти действительные корни уравнения x ^ 4 + x ^ 3 — 5x ^ 2 + x — 6 = 0?

Найти действительные корни уравнения x ^ 4 + x ^ 3 — 5x ^ 2 + x — 6 = 0.

В каком случае уравнение имеет бесконечное множество корней ; не имеет корней?

В каком случае уравнение имеет бесконечное множество корней ; не имеет корней?

9x ^ 2 12x ^ 2 — 10x + 4 = 0 найти действительные корни уравнения Помоги пожалуйста?

9x ^ 2 12x ^ 2 — 10x + 4 = 0 найти действительные корни уравнения Помоги пожалуйста.

Мне нужно вот эти 4 ответа только полных помогите?

Мне нужно вот эти 4 ответа только полных помогите!

1) Составить уравнение которое имеет один единственный корень.

2)Составить уравнение которое не имеет ни одного действительного корня.

3)Составить уравнение которое имеет 2 — 3 корня.

4)Составить уравнение которое имеет бесконечное множество действительных корней.

Найти корни уравнения x ^ 3 + 3x ^ 2 — 6x + a = 0, если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Найти корни уравнения x ^ 3 + 3x ^ 2 — 6x + a = 0, если известно, что оно имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Срочно ?

Найти значение параметра а , при которых оба корня уравнения действительны и больше а.

Найти множество корней уравнения :(2х + 3)(4х — 3) — 2х(4х + 1) — 17 = 0?

Найти множество корней уравнения :

(2х + 3)(4х — 3) — 2х(4х + 1) — 17 = 0.

Найти действительные корни уравнения 6x ^ 3 — 5x ^ 2 — 17x + 6 = 0?

Найти действительные корни уравнения 6x ^ 3 — 5x ^ 2 — 17x + 6 = 0.

Как найти множество корней в этом уравнение?

Как найти множество корней в этом уравнение?

3х(в квадрате) — 5х + 6 = 0.

Объясните как найти множество корней из уравнения 3х(в квадрате) — 5х + 6 = 0?

Объясните как найти множество корней из уравнения 3х(в квадрате) — 5х + 6 = 0.

На этой странице сайта, в категории Математика размещен ответ на вопрос Найти множество действительных корней уравнения x2 + 16 = 0?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 1 — 4 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

23 18 / 38 + х = 36 12 / 28⇒х = 36 3 / 7 — 23 9 / 14 = 36 — 23 + 3 / 7 — 9 / 14 = 13 + (6 — 9) / 14 = 13 — 3 / 14 = 12 11 / 14. Ответ : 12 11 / 14.

Тут написано что написано.

38×6 = 228это слоны и крокодилы 228 — 56 = 172это крокодилы.

Было — 7 белых, 8 подосиновиков Стало — 9 грибов Съела — ? Решение : 7 + 8 = 15(шт) — всего грибов. 15 — 9 = 6(шт) — было съедено Ответ : 6 грибов съели.

7 + 8 — 9 = 6 грибов съела Булочка.

По свойству смежных углов(их сумма = 180орадусов)сост уравнение X + 2x = 180 3x = 180 X = 60 Следовательно больший угол равен 2•60 = 120.

1. 2 + 2 + 2 = 6 было съедено 2. 6 + 14 = 20 пакетиков попкорна было у детей.

Решение : 8 грядок — 3 грядки = 5 грядок.

8 — 3 = 5 грядок свеклы 8 + 5 = 12 грядок всего.

1 cлагаемое : 100. 2 слагаемое : 600 — 20 = 580. Сумма : 100 + 580 = 680.

Числовые множества (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3

На третьей строке – по три числа на каждое кубическое уравнение соотв. упорядоченным четверкам и т. д.

Т. о. получим матрицу, которую можно обойти при помощи диагонального процесса Кантора. Если часть корней алгебраического уравнения комплексная, при нумерации их просто пропускаем. Т. о. каждое алгебраическое число получит соответствующий номер, и это подтверждает тот факт, что множество алгебраических действительных чисел счетно.

Факт эффективной перечислимости множества А напрямую следует из приведенного способа нумерации элементов натуральными числами, т. к. попутно указана эффективная процедура нумерации наборов рациональных чисел, однозначно задающих алгебраические уравнения соответствующей степени. При этом важно то, что алгебраическое уравнение n-ой степени имеет эффективный алгоритм решения, т. о. процедура полностью эффективна. Итак, множество алгебраических действительных чисел счетно и эффективно перечислимо, Q. E.D.

Счетными также будут множества, составленные из всех пар, троек, и т. д. алгебраических чисел.

2.3.7. Счетные числовые множества: обобщение

Т.2Теорема (без доказательства)

Множество элементов, которые можно представить с помощью конечного числа счетной системы знаков, счетно.

В реальной жизни мы используем различные конечные системы знаков, например цифры, буквы, ноты.

Рассмотрим систему знаков, например, числа в любой конечной системе счисления, допустим десятичной. Имея 10 знаков в нашем распоряжении: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 мы можем составлять два типа множеств: фиксированной длины и произвольной длины.

В первом случае речь идет о чисто комбинаторной задаче, например можно составить 105 различных последовательностей из пяти символов. Это немаленькое число, но оно натуральное и мощность рассматриваемого множества всех возможных последовательностей такого рода выражается натуральным числом. Во втором случае множество таких последовательностей будет счетно-бесконечно, по аналогии с множествами комплексов натуральных чисел, и его мощность есть число алеф-ноль.

Можно обобщить, что полученное в результате применения Теоремы 2.3.(7) множество будет счетно-бесконечно, если в случае конечной системы знаков допустить сколь угодно длинные комплексы знаков (сколько угодно длинные, но при этом все равно конечные!).

Счетно-бесконечными являются, например:

· множество «слов», которое можно составить при помощи конечного алфавита («слово» здесь — комплекс букв, не важно имеющих смысл или нет),

· множество всех книг, написанных на любом или даже на всех языках,

· множество всех симфоний и т. д.

§ 2.4. Несчетные множества

2.4.1. Несчетность множества действительных чисел (континуума)

Множество действительных чисел обозначим латинской буквой R.

Т.2Теорема

Множество действительных чисел несчётно.

Предположим противное, пусть множество действительных чисел счетное. Тогда любое подмножество счетного множества тоже счетное. Возьмём на множестве действительных чисел подмножество R1 — интервал (0,1) и выкинем из этого отрезка числа, содержащие хотя бы в одном своём разряде нули или девятки (примеры таких чисел: 0.9, 0.0001 и т. д.). Множество R2, составленное из оставшихся чисел, является подмножеством множества R1 . Это означает, что R2 – счетное.

Из того факта, что R2 – счетное, напрямую следует, что возможен какой-либо способ перечисления его элементов для установления взаимно-однозначного соответствия между элементами R2 и элементами множества натуральных чисел. Это следует из самого определения мощности множества, согласно которому предполагается, что в равномощных множествах каждый элемент одного множества имеет парный элемент из другого множества и наоборот. Обратите внимание, фундаментальное отличие данного определения от определения эффективной перечислимости состоит в том, что в данном случае мы даже не говорим о наличии какого-либо алгоритма перечисления, мы просто утверждаем, что можно привести список действительных чисел из множества R2 и список соответствующих им натуральных чисел из множества N. Алгоритм построения связи N ↔ R2 нас в данном случае не интересует, достаточно того, что такое соответствие возможно.

Построим такой список чисел из множества R2 и пронумеруем числа в разрядах:

Теперь построим число b=0.b1b2…, причём

bi=aii+1, где + обозначает операцию сложения, результатом которого не могут быть числа 0 и 9, т. е. если aii=1, то bi=2; если аii=2, то bi=3, …., если aii=8, то bi=1).

Таким образом, построенное число b будет отличаться от каждого из чисел множества R2 хотя бы в одном разряде, и, следовательно, не попадёт в составленный список. Однако по своей структуре число b должно содержаться в множестве R2. Получили противоречие, значит исходное предположение неверно и множество R2 — несчётно.

Так как множество R2 является по условию подмножеством множества R1, то R1 – несчетно, а т. к. R1 несчетно – то значит и множество R несчётно, Q. E.D.

Примечание: можно и не выбрасывать числа, содержащие 0 и 9. Таким образом, в наш ряд некоторые числа войдут дважды. Это связано с тем, что конечные дроби могут быть превращены в бесконечные. Например ½=0,5=0,5(0)=0,4(9).

В общем случае это могло стать причиной того, что не удалось сосчитать множество действительных чисел. Но множество чисел, представимых двояким образом (конечные дроби) – это множество рациональных чисел. Как было доказано ранее, их счетное количество. Можно даже показать, что это множество эффективно перечислимо. Т. о. даже двойное представление множества таких чисел образует счетное множество, следовательно, доказательство верно даже без такого упрощения.

Получен принципиально новый результат – найдено несчетное множество чисел. Его мощность согласно доказанной теореме не равна алеф-нуль (À0) , а значит необходимо новое число в трансфинитной шкале.

Алеф (À) – второе трансфинитное число. По определению это мощность континуума (всех действительных чисел). Это вторая по величине бесконечная мощность. Доказанная только что Теорема 2.4.(1) о несчетности множества действительных чисел является убедительным доказательством того, что мощность этого множества больше, чем алеф-ноль (больше множества натуральных чисел). И это весьма важный результат после череды доказательства счетности разнообразных множеств чисел.

Если оперировать понятием кардинального числа (мощности), то получим, что, так как каждое число сегмента (0,1) может быть представлено десятичной дробью вида 0.a1a2a3… не менее одного раза и не более двух, то:

а т. к. 2À=À, то получим что 10 À0= À. Те же рассуждения справедливы в случае, если мы будем разлагать числа не в десятичные, а, например, в двоичные дроби, дроби с основанием 3, 15, 10005 или даже À0 (если вы можете такое себе представить).

Т. о. À =2À0=3À0=…=10À0=…nÀ0=…À0À0

Если задуматься, можно обнаружить очередной не вполне очевидный факт из теории множеств. À2=À•À есть мощность множества пар действительных чисел. Пара действительных чисел, вообще говоря, соответствует точке на плоскости. В свою очередь, À3=À•À•À есть мощность множества троек действительных чисел, а это точки в пространстве. Рассуждения можно продолжить далее вплоть до À0 — мерного пространства или множества всех последовательностей действительных чисел счетной длины. Т. о. все конечно-мерные или счетно-мерные пространства имеют одинаковую мощность À (здесь À — количество точек в пространстве).

Для À0- мерного действительного пространства или множества всех последовательностей действительных чисел счетной длины с точки зрения операций над кардинальными числами получим ÀÀ0=(2À0)À0=2À0∙À0=2À0=À.

В этом месте интересно будет обратиться к историческим событиям, связанным с чередой доказательств в этой сфере. С тем, что на бесконечной прямой столько же точек, сколько и на отрезке, математики, хотя и не сразу, но в итоге примирились. Но следующий результат Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках множества, имеющего больше элементов, чем отрезок на действительной оси, он обратил внимание на множество точек квадрата. Изначально сомнений в результате не было: ведь отрезок целиком размещается на одной стороне квадрата, а множество всех отрезков, на которые можно разложить квадрат, само по себе имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка. На протяжении почти трех лет (с 1871 по 1874) Кантор искал доказательство того, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно. И в какой то момент совершенно неожиданно получился прямо противоположный результат: ему удалось построить соответствие, которое он искренне считал невозможным. Кантор не верил сам себе и даже написал немецкому математику Рихарду Дедекинду: «Я вижу это, но не верю этому». Когда шок от этого факта прошел, стало интуитивно понятно и вскоре доказано, что и куб имеет столько же точек, сколько отрезок. Вообще говоря, любая геометрическая фигура на плоскости (геометрическое тело в пространстве), содержащая хотя бы одну линию, имеет столько же точек, сколько отрезок. Такие множества назвали множествами мощности континуума (от латинского continuum – непрерывный). Следующий шаг почти очевиден: размерность пространства в определенных пределах несущественна. Например, 2-х мерная плоскость, 3-х мерное привычное пространство, 4-х, 5-ти и далее n-мерные пространства с точки зрения количества точек, содержащихся в соответствующем n-мерном теле, равномощны. Такая ситуация будет наблюдаться даже в случае пространства с бесконечным количеством измерений, важно только чтобы это количество было счетным.

На данном этапе обнаружены два типа бесконечностей и соответственно два трансфинитных числа, обозначающих их мощности. Множества первого типа имеют мощность, эквивалентную мощности натуральных чисел (алеф-ноль). Множества второго типа имеют мощность, эквивалентную количеству точек на действительной оси (мощность континуума, алеф). Показано, что во множествах второго типа элементов больше, чем во множествах первого типа. Естественно, возникает вопрос – а нет ли в природе «промежуточного» множества, которое имело бы мощность больше чем количество натуральных чисел, но при этом меньше, чем множество точек на прямой? Этот непростой вопрос получил название «проблема континуума». Она же известна как «континуум-гипотеза» или «первая проблема Гильберта». Точная формулировка звучит следующим образом:

Континуум-гипотеза: с точностью до эквивалентности, существуют только два типа бесконечных числовых множеств: счетное множество и континуум.

Иначе говоря, гипотеза предполагает, что не существует множества промежуточной мощности, т. е. такого множества X, X , которое не эквивалентно ни , ни . Этой проблемой занимались очень многие математики. Сам Георг Кантор неоднократно заявлял, что доказал эту гипотезу, но всякий раз находил у себя ошибку.

Название «первая проблема Гильберта» относится к публикации Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1901 году списка из 23 кардинальных проблем математики. Тогда эти проблемы не были решены, позднее окончательное решение получили 16 проблем из 23.

В результате после долгих исследований по вопросу континуум-гипотезы в 1938 году немецкий математик Курт Гедёль доказал, что существование промежуточной мощности не противоречит остальным аксиомам теории множеств. И позднее, в гг. почти одновременно, но независимо друг от друга, американский математик Коэн и чешский математик Вопенка показали, что наличие такой промежуточной мощности не выводимо из остальных аксиом теории множеств. Кстати, интересно заметить, что этот результат очень похож на историю с постулатом о параллельных прямых. Как известно, две тысячи лет его пытались вывести из остальных аксиом геометрии, но только после работ Лобачевского, Гильберта и других удалось получить тот же результат: этот постулат не противоречит остальным аксиомам, но и не может быть выведен из них.

2.4.2. Множества комплексных, трансцендентных и иррациональных чисел

Приведем в дополнение к множеству действительных чисел еще несколько несчетных множеств.

Комплексное число задается парой (r1, r2), где r1, r2 принадлежат множеству действительных чисел.

Множество комплексных чисел обозначим латинской буквой С.

Т.2.4.(2) Теорема

Множество комплексных чисел несчетно.

Так как множество действительных чисел R, несчётное по доказанной ранее Теореме 2.4.(1), является подмножеством множества комплексных чисел С, то множество комплексных чисел также несчётно, Q. E.D.

Иррациональным называется действительное число, не являющееся рациональным.

Множество иррациональных чисел обозначим латинской буквой I.

Т.2.4.(3) Теорема

Множество иррациональных чисел несчетно.

Поскольку действительных чисел – несчетное множество, а рациональных – счетное, то иррациональных чисел – несчетное множество, Q. E.D.

Трансцендентное число — действительное число, не являющееся алгебраическим.

Множество трансцендентных чисел обозначим латинской буквой Т. Каждое трансцендентное действительное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения x2 − 2=0.

Т.2Теорема

Множество трансцендентных чисел несчетно.

Поскольку действительных чисел – несчетное множество, а алгебраических – счетное, и при этом множество A является подмножеством R, то R \ А (множество трансцендентных чисел) представляет собой несчетное множество, Q. E.D.

Это несложное доказательство существования трансцендентных чисел опубликовано Кантором в 1873 году и произвело большое впечатление на научную общественность, так как доказывало существование множества чисел, не строя ни одного конкретного примера, а лишь исходя из общих соображений. Из этого доказательства нельзя извлечь ни одного конкретного примера трансцендентного числа, про доказательство такого типа говорят, что оно неконструктивно.

Важно отметить, что долгое время математики имели дело лишь с алгебраическими числами. Потребовались значительные усилия, чтобы найти хотя бы несколько трансцендентных чисел. Впервые это удалось французскому математику Лиувиллю в 1844 году, который доказал набор теорем, позволяющий строить конкретные примеры таких чисел. Например, трансцендентным числом является число 0,…, в котором после первой единицы стоит один нуль, после второй – два, после третьей – 6, после n-ой соответственно n! нулей.

Было доказано, что трансцендентным является десятичный логарифм любого целого числа, кроме чисел 10n . Также к множеству трансцендентных чисел относятся sinα, cosα и tgα для любого ненулевого алгебраического числа α. Наиболее яркими представителями трансцендентных чисел обычно считают числа π и е. Кстати, доказательство трансцендентности числа π, проведенное немецким математиком Карлом Линдерманом в 1882 году, было большим научным событием, ведь из него следовала невозможность квадратуры круга. История нахождения квадратуры круга длилась четыре тысячелетия, а сам термин стал синонимом неразрешимых задач.

Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу.

Наряду с трисекцией угла (разбиение произвольного угла на три равные части) и удвоением куба (построение отрезка, являющегося ребром куба в два раза большего объёма, чем куб с данным ребром), эта задача является одной из самых известных неразрешимых задач на построения с помощью циркуля и линейки. В такого рода задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами, при этом, в частности линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины, а циркуль может иметь сколь угодно большой раствор. Напомним, что отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, именно она обозначается буквой π. Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2πr, а площадь круга равна S =1/2πr2. Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x2 = π, откуда: . Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня. Это означает, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π. Собственно задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием πr и высотой r. Для него потом уже без труда может быть построен равновеликий квадрат.

В упоминаемом ранее списке из 23 кардинальных проблем математики под номером 7 шла проблема, касающаяся трансцендентности чисел, образованных определенным образом.

Седьмая проблема Гильберта. Пусть a — положительное алгебраическое число, не равное 1, b — иррациональное алгебраическое число. Доказать, что ab есть число трансцендентное.

В 1934 году советский математик Гельфонд и чуть позже немецкий математик Шнайдер доказали справедливость этого утверждения, и таким образом, эта проблема была решена.

С принципом деления чисел на рациональные и иррациональные связаны еще два занимательных факта, не сразу воспринимаемые как истинные.

Т.2.4.(5) Теорема

Между любыми двумя различными рациональными числами всегда найдется множество иррациональных чисел мощности континуума.

Пусть есть два рациональных числа, a и b. Построим линейную, а стало быть, взаимно-однозначную, функцию f(x) = (x — a) / (b — a). Так как f(a) = 0 и f(b) = 1, то f(x) взаимно-однозначно отображает отрезок [a; b] в отрезок [0; 1], при этом сохраняется рациональность чисел. Поэтому мощности множеств [a; b] и [0; 1] действительных чисел равны, а, как доказано, мощность отрезка [0; 1] равна мощности континуума. Выбрав из полученного множества только иррациональные числа, мы получим, что между любыми двумя рациональными числами всегда найдется континуум иррациональных чисел, Q. E.D.

В целом данная теорема интуитивно кажется вполне логичной. Следующая, на первый взгляд, воспринимается скептически.

Т. 2.4.(6) Теорема

Между любыми двумя различными иррациональными числами всегда найдется счетное множество рациональных чисел.

Пусть есть два иррациональных числа a и b, запишем их соответствующие разряды как a1a2a3. и b1b2b2. где ai, bi — десятичные цифры. Пускай a = N такой разряд числа a, что aM a. Итак, мы получили одно рациональное число c, такое что a |A|. Это означает, что для любого множества А можно построить множество В большей мощности. Отсюда можно сделать вывод, что множества самой большой мощности не существует, Q. E.D.

Существует довольно тесная связь между построенным множеством функций и булеаном множества А (множеством всех подмножеств А). Рассмотрим множество В всех подмножеств множества А. Пусть С – некоторое подмножество в А. Возьмем функцию f(x), принимающую значении 1, если х принадлежит С, и значение 0 в противном случае. Таким образом, разным подмножествам С соответствуют различные функции. Наоборот, каждой функции f(x), принимающей два значения 0 и 1, соответствует подмножество в А, состоящее из тех элементов х, в которых функция принимает значение 1. Таким образом, установлено взаимно-однозначное соответствие между множеством функций, заданных на множестве А и принимающих значения 0 и 1, и множеством всех подмножеств в А.

§ 2.5. Множества с мощностью, больше чем мощность континуума

Итак, множества самой большой мощности не существует. Первые два трансфинитных числа имели в природе образующие их множества (множество натуральных чисел и множество действительных чисел). Если отталкиваться от множества континуума, то можно построить множество всех подмножеств континуума, получим его булеан, назовем это множество BR. По определению мощность множества BR равна 2À. Согласно теореме Кантора 2À≠À. Очевидно что множество BR бесконечно, следовательно, его кардинальное число является числом трансфинитным и оно никак не может совпадать ни с одним из двух рассмотренных ранее трансфинитных чисел. А значит, в нашу шкалу пора вводить третье трансфинитное число.

Алеф-один (À1) – третье трансфинитное число. По определению, это мощность множества всех подмножеств континуума. Это же число соответствует мощности многих других множеств, например:

· Множества всех линейных функций, принимающих любые действительные значения (линейная функция — действительная функции одной или нескольких переменных). По сути это множества всех возможных кривых в счетно-мерном пространстве, где количество измерений n – любое конечное число или даже À0.

· Множества фигур на плоскости, т. е. множества всех подмножеств точек на плоскости или множества всех подмножеств пар действительных чисел.

· Множества тел в обычном трехмерном пространстве, а также, вообще говоря, в любом счетно-мерном пространстве, где количество измерений n – любое конечное число или даже À0.

Поскольку число À1 вводится как мощность булеана множества с мощностью À, получаем утверждение, что À1 =2À.

§ 2.6. Парадоксы теории множеств

Возникает резонный вопрос: а что дальше? Что будет, если построить множество всех подмножеств множества BR. Чему будет равно его кардинальное число (конечно по аналогии можно предположить, что это 2À1) и, главное, какому реально существующему множеству это будет соответствовать? Есть ли вообще большие, чем BR бесконечные множества и сколько их?

Хотя нами показано, что наибольшего трансфинитного числа не существуют, как показывают исследования, восходить всё далее и далее к новым большим кардинальным числам небезопасно – это приводит к антиномии (парадоксам). Действительно, каково бы ни было множество кардинальных чисел, всегда можно найти кардинальное число, большее, чем все числа данного множества и, следовательно, не входящее в него. Т. о. ни одно такое множество не содержит все кардинальные числа и множество всех кардинальных чисел немыслимо.

Вполне естественно, что каждому математику хочется иметь дело с непротиворечивой теорией, т. е. такой, что в ней нельзя одновременно доказать две теоремы, явно отрицающие друг друга. Является ли теория Кантора непротиворечивой? До каких пределов можно расширять круг рассматриваемых множеств? К сожалению, не все так безоблачно. Если ввести такое внешне безобидное понятие как «множество всех множеств U», то возникает ряд любопытных моментов.

Т.2.6.(1) Парадокс Кантора

Кардинальное число множества всех подмножеств P(U) множества всех множеств U не больше чем |U|.

Так как U содержит все мыслимые и возможные множества, то оно по логике вещей, содержит в частности и множество всех своих подмножеств. Более того, все элементы множества P(U) принадлежат U, следовательно, |P(U)| ≤ |U|. Однако существует доказанная ранее Теорема Кантора 2.4.(7), согласно которой для любого кардинального числа α справедливо α |U|. Два полученных вывода |P(U)| ≤ |U| и |P(U)| > |U| прямо противоречат друг другу, что в принципе не должно быть возможно и является иллюстрацией парадокса, Q. E.D.

Т.2.6.(2) Парадокс Рассела

Пусть В – множество всех множеств, которые не содержат самих себя в качестве своих собственных элементов. Тогда можно доказать две теоремы.

В принадлежит В.

Предположим противное, т. е. В не принадлежит В. По определению, это означает, что В принадлежит В. Получили противоречие – следовательно, исходное предположение неверно и В принадлежит В, Q. E.D.

В не принадлежит В.

Предположим противное, т. е. В принадлежит В. По определению множества В любой его элемент не может иметь себя в качестве собственного элемента, следовательно, В не принадлежит В. Противоречие – следовательно, исходное предположение неверно и В не принадлежит В, Q. E.D.

Нетрудно видеть, что Теоремы 2.6.(2).1. и 2.6.(2).2. исключают друг друга.

К сожалению, даже исключение из рассмотрения всех суперобширных множеств не спасает теорию Кантора. По сути, парадокс Рассела затрагивает логику, т. е. способы рассуждения, с помощью которых при переходе от одного истинного утверждения к другому образуются новые понятия.

Уже при выводе парадокса используется логический закон исключенного третьего, являющийся одним из неотъемлемых приемов рассуждений в классической математике (т. е. если истинно утверждение не-А, то ложно А). Если задуматься о сути вещей, то можно в целом уйти и от теории множеств, и от математики в целом.

Т.2.6.(3) Парадокс

Пусть Р – некоторое свойство. Обладает ли само Р этим свойством Р?

Интересная постановка, не правда ли? Например, свойство быть сладким не применимо само к себе, потому что свойство быть сладким само по себе не сладкое. Зато свойство быть абстрактным, будучи абстрактным, разумеется, абстрактно, т. е. применимо само к себе. Дадим следующее определение.