Уравнение плоскости, которая проходит через заданную прямую и заданную точку.
В этой статье собрана информация, необходимая для решения задачи составления уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку. После решения этой задачи в общем виде мы приведем развернутые решения примеров на составление уравнения плоскости, которая проходит через заданную прямую и точку.
Навигация по странице.
Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана прямая a и точка , не лежащая на прямой a . Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости , проходящей через прямую a и точку М3 .
Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.
Напомним две аксиомы:
- через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;
- если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точку M3 проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.
Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .
Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М1 и М2 , лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М1 , М2 и М3 .
Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М1 и М2 , лежащих на прямой a , а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 , М2 и М3 , которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую a и точку М3 .
Разберемся, как найти координаты двух различных точек М1 и М2 , лежащих на заданной прямой a .
В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Тогда, приняв , имеем точку , лежащую на прямой a . Придав параметру отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты точки М2 , также лежащей на прямой a и отличной от точки М1 .
После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки и , в виде .
Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М3 , не лежащую на прямой a .
Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую.
Покажем решения нескольких примеров, в которых разберем рассмотренный метод нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку.
Начнем с самого простого случая.
Напишите общее уравнение плоскости, которая проходит через координатную прямую Ox и точку .
Возьмем на координатной прямой Ox две различные точки, например, и .
Теперь получим уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 , М2 и М3 :
Это уравнение является искомым общим уравнением плоскости, проходящей через заданную прямую Ox и точку .
.
Если известно, что плоскость проходит через заданную точку и заданную прямую, и требуется написать уравнение плоскости в отрезках или нормальное уравнение плоскости, то следует сначала получить общее уравнение заданной плоскости, а от него переходить к уравнению плоскости требуемого вида.
Составьте нормальное уравнение плоскости, которая проходит через прямую и точку .
Сначала напишем общее уравнение заданной плоскости. Для этого найдем координаты двух различных точек, лежащих на прямой . Параметрические уравнения этой прямой имеют вид . Пусть точка М1 соответствует значению , а точка М2 — . Вычисляем координаты точек М1 и М2 :
Теперь мы можем составить общее уравнение прямой, проходящей через точку и прямую :
Осталось получить требуемый вид уравнения плоскости, умножив обе части полученного уравнения на нормирующий множитель .
.
Итак, нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и заданную прямую, упирается в нахождение координат двух различных точек, лежащих на заданной прямой. В этом часто состоит основная сложность при решении подобных задач. В заключении разберем решение примера на составление уравнения плоскости, проходящей через заданную точку и прямую, которую определяют уравнения двух пересекающихся плоскостей.
В прямоугольной системе координат Oxyz задана точка и прямая a , которая является линией пересечения двух плоскостей и . Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую a и точку М3 .
Отталкиваясь от заданных уравнений двух пересекающихся плоскостей и , получим параметрические уравнения прямой a , чтобы найти координаты двух точек М1 и М2 , лежащих на прямой a . После этого напишем требуемое уравнение плоскости, проходящей через точку М3 и прямую a , как уравнение плоскости, проходящей через три точки М1 , М2 и М3 .
Процесс перехода от уравнений двух плоскостей, пересекающихся по прямой a , к параметрическим уравнениям прямой a подробно описан в статье уравнения прямой – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Не будем на этом подробно останавливаться, а запишем лишь итоговый результат . При получаем точку , при — точку .
Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую , имеет вид
.
Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L1 параллельно другой прямой L2 (прямые L1 и L2 не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Уравнение плоскости проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости − теория, примеры и решения
Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L
. | (1) |
. | (2) |
Пусть плоскость α1 не перпендинулярно прямой L.
Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1 (Рис.1).
Запишем уравнение искомой плоскости α:
Ax+By+Cz+D=0. | (3) |
Искомая плоскость α проходит через прямую L, следовательно она проходит через точку M0(x0, y0, z0). Тогда справедливо следующее равенство:
Ax0+By0+Cz0+D=0. | (4) |
и поскольку прямая L принадлежит этой плоскости, то нормальный вектор n=<A, B, C> и направляющий вектор q=<m, p, l> ортогональны:
Для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна плоскости α1, нормальные векторы этих плоскостей должны быть ортогональными, т.е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю:
AA1+BB1+CC1=0 | (6) |
Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:
(7) |
Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α1.
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:
(8) |
перпендикулярно плоскости α1 :
(9) |
Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:
где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.
Поскольку плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−4, 1, 2), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
Ax0+By0+Cz0+D=0 | (10) |
а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Am+Bp+Cl=0. | (11) |
Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:
AA1+BB1+CC1=0 | (12) |
(13) |
(14) |
(15) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
(16) |
Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:
(17) |
Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<9/43,−17/43,5/43>. Тогда подставляя в уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0 | (18) |
значения A, B, C, D, получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:
(19) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (19).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:
(20) |
перпендикулярно плоскости α1 :
(21) |
Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:
где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.
Так как плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M0(x0, y0, z0)=M0(−3, 1, 5), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:
Ax0+By0+Cz0+D=0 | (22) |
а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:
Am+Bp+Cl=0. | (23) |
Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α1, то должна выполнятся условие:
AA1+BB1+CC1=0 | (24) |
(25) |
(26) |
(27) |
Представим эти уравнения в матричном виде:
(28) |
Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:
(29) |
Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<3/2,−1/2,1>. Тогда подставляя в уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0 | (30) |
значения A, B, C, D, получим:
Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:
(31) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (31).
Задача 53930 уравнение плоскости проходящей через.
Условие
уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярна к плоскости
Решение
Каноническое уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0
⇒ координаты нормального вектора плоскости vector
Значит из уравнения плоскости
3x+4y-5z-6=0
получаем vector
vector=(-2;1;3) — направляющий вектор прямой
P(0,5; -3;-2,5) — точка, лежащая на прямой и стало быть на искомой плоскости
Пусть М (x;y;z) — произвольная точка плоскости.
Условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя третьего порядка,
составленного из координат этих векторов
Раскрываем определитель:
5*(x-0,5)+9(y+2)-8*(z+2,5)-3*(z+2,5)-12(x-0,5)+10(y+2)=0
http://matworld.ru/analytic-geometry/uravnenie-ploskosti6-online.php
http://reshimvse.com/zadacha.php?id=53930