Найдите производную решения уравнения по параметру

Производная функции заданной параметрически онлайн

Пусть функция задана в виде параметрических уравнений (т.н. параметрическое задание функции):

где x ( t ) , y ( t ) — дифференцируемые функции и x ‘ ( t ) ≠ 0 . Тогда производная

определяется по формуле:

где — производная от параметрического уравнения y ( t ) по параметру t и — производная от параметрического уравнения x ( t ) , по параметру t .

Наш онлайн сервис найдет производную от параметрической функции с подробным решением. Пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно посмотреть здесь .

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Примеры решений дифференцирования параметрической функции с ответами

Простое объяснение принципов решения дифференцирования параметрической функции и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения дифференцирования параметрической функции

Если Y имеет функциональную зависимость от X с помощью некоей величины t, то такая функция имеет параметрическое представление:

Производная такой функции будет равна отношению производной у по параметру t к производной x по параметру t:

Нужна помощь в написании работы?

Мы — биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Примеры решения дифференцирования параметрической функции

Задание

Найти производную функции:

Решение

Найдём производные каждой строки:

Применив формулу из определения, найдем производную функции по параметру t:

Ответ:

Задание

Найти производную функции:

Решение

Также найдём производную каждой переменной:

И затем согласно правилу, найдём производную функции:

Ответ:

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

Решение

Согласно правилу найдём производные каждой переменной по параметру t :

Воспользуемся формулой и получим:

Но это ещё не всё. Чтобы получить производную функции, нужно «избавиться» от параметра:

Таким образом производная функции будет равна:

Однако эту задачу можно было решить, упростив условие сразу:

Находим производную переменной y согласно правилу дифференцирования сложных функций.

Ответ

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

Решение

Также применим правило и найдём производные переменных по параметру t

Таким образом, производная функции по параметру t равна:

Найдем значение t:

Отсюда найдём производную функции:

Ответ

Задание

Найти производную первого порядка:

Решение

Имеем сложные функции. Применим правило дифференцирования сложных функций и получим:

Найдём производную функции по параметру t

Ответ

Задание

Вычислить производную параметрической функции:

Решение

Здесь мы взяли логарифмическую функцию, однако решение такое же простое:

Подставим значения в формулу и получим производную функции:

Ответ

Задание

Найти производную от функции, заданной параметрически:

Решение

Здесь видим произведение функций. Следовательно, будем пользоваться правилом дифференцирования произведений:

Так как множитель присутствует в обеих переменных, мы вынесли его за скобки сразу. Далее применим наше правило дифференцирования параметрических функций: