Найдите решение дифференциального уравнения решите задачу коши

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Постановка задачи о выделении решений. Теорема существования и единственности

Найти решения дифференциального уравнения: y’ = f(x,y) (1) ,
удовлетворяющие условиям
y(x₀) = y₀, (2)
Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши — задачей Коши.

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения задачи Коши вида y’ = f(x,y) .

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Определение . Будем говорить, что функция f(x,y) удовлетворяет условию Липшица по y в области D, если для любых двух точек (x,y₁), (x,y₂) из этой области выполнено неравенство:
|f(x,y₁) — f(x,y₂)| ≤ L|y_{1 —} y₂|, (3)
где L- некоторая константа, не зависящая от x.

Теорема . (существования и единственности). Пусть в уравнении (1) y’ = f(x,y) функция f(x,y), заданная в области D на плоскости, непрерывна по x и удовлетворяет условию Липшица (3) по y. Тогда для любой точки (x₀, y₀)∈D существуют интервал (x₀ — λ, x₀ + λ) и функция y = φ(x) заданная на этом интервале так, что y = φ(x) есть решение уравнения, удовлетворяющее условию (2). Это решение единственно в том смысле, что если y = φ(x) есть решение уравнения (1) определенное на интервале (α, β), включающем в себя точку x₀, и удовлетворяющее условию (2), то функции φ(x) и ф(x) совпадают там, где они обе определены.