Найдите уравнение кривой проходящей через точку

Геометрические и физические задачи

56. . 57. .

58. .

Проинтегрировать следующие уравнения, для которых интегрирующий множитель или :

59. . 60. .

61. . 62. .

63. .

64. .

65. .

10.4. Геометрические и физические задачи,

уравнений первого порядка

1°. Геометрические задачи. В задачах геометрии, в которых требуется найти уравнение кривой по заданному свойству ее касательной, нормали или площади криволинейной трапеции, используются геометрическое истолкование производной – угловой коэффициент касательной – и интеграла с переменным верхним пределом – площадь криволинейной трапеции с подвижной ограничивающей ординатой, а также общие формулы для определения длин отрезков касательной t, нормали n, подкасательной и поднормали :

. (10.39)

Пример 1. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если в каждой ее точке подкасательная в k раз меньше поднормали .

Ñ Пусть – уравнение искомой кривой. Используя
выражения подкасательной и поднормали из (10.39), получаем дифференциальное уравнение или . Интегрируя это уравнение и учитывая начальное условие , получаем искомые уравнения: (две прямые). #

Пример 2. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1), если для любого отрезка площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, в два раза больше произведения координат точки кривой .

Ñ По условию задачи, . Дифференцируя это ра-венство по x, получаем дифференциальное уравнение , или . Интегрируя его, с учетом начального условия , получаем уравнение искомой кривой: . #

2°. Задачи с физическим содержанием. При составлении дифференциальных уравнений первого порядка в физических задачах используют метод дифференциалов, по которому приближенные соотношения между малыми приращениями величин заменяются соотношениями между их дифференциалами. В конкретных задачах используется тот или иной физический закон (некоторые из них приведены ниже при формулировании условия задачи), а также физическое истолкование производной как скорости протекания физического процесса.

Пример 3. В резервуаре первоначально содержится A кг вещества, растворенного в В литрах воды и вытекает N литров раствора (M > N), причем однородность раствора достигается путем перемешивания. Найти массу вещества в резервуаре через T минут после начала процесса.

Ñ Обозначим через массу вещества в резервуаре через t минут после начала процесса и через – в момент . Заметим, что при , т. е. раствор обедняется.

Пусть– объем смеси в момент . Концентрация вещества в момент t равняется, очевидно, . За бесконечно малый промежуток времени масса вещества изменяется на бесконечно малую величину (так как процесс непрерывен), для которой справедливо приближенное равенство

(10.40)

Заменяя в (10.40) приращения и дифференциалами dx и dt, получаем дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя и считая
M > N, запишем общее решение: . Используя начальное условие: , находим частное решение: . Решение задачи получается из него при t = T. #

З а м е ч а н и е. Случай требует отдельного рассмотрения.

Задачи для самостоятельного решения

66. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если сумма длин ее касательной и подкасательной равна произведению координат точки касания.

67. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если ее подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

68. Найти уравнение кривой, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

69. Найти уравнение кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна a.

70. Найти уравнения кривых, у которых поднормаль имеет постоянную длину а.

71. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 2), если площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой этой кривой, в два раза больше длины соответствующей дуги.

72. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1/2), если для любого отрезка [1; x] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна отношению абсциссы x концевой точки к ординате.

73. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 3), если подкасательная в любой точке равна сумме абсциссы точки касания и расстояния от начала координат до точки касания (ограничиться рассмотрением случая ).

74. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого ее нормалью, на 2 ед. больше абсциссы точки касания.

75. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если для любого отрезка площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна кубу ординаты концевой точки дуги.

76. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами , если угол между ее касательной и радиус-вектором точки касания есть постоянная величина: .

77. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 1), если длина отрезка оси абсцисс, отсекаемого любой ее касательной, равна длине этой касательной.

78. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3; 1), если длина отрезка, отсекаемого любой ее касательной на оси ординат, равна поднормали.

79. Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если середина отрезка ее нормали от любой точки кривой до оси Ox лежит на параболе .

80. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0), если площадь трапеции, образованной касательной, осью координат и ординатой точки касания, постоянна и равна 3/2.

81. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0; 1), если площадь треугольника, образуемого осью абсцисс, касательной и радиус-вектором точки касания, постоянна и равна 1.

82. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 2), если произведение абсциссы точки касания на абсциссу точки пересечения нормали с осью Ox равно удвоенному квадрату расстояния от начала координат до точки касания.

83. Найти уравнение кривой, проходящей через точку с полярными координатами , если площадь сектора, ограниченного этой кривой, полярной осью и переменным полярным радиусом, в шесть раз меньше куба полярного радиуса.

84. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности температур тела и окружающей его среды (закон Ньютона). Найти зависимость температуры T от времени t, если тело, нагретое до , градусов, внесено в помещение, температура которого постоянна и равна а градусам.

85. Через сколько времени температура тела, нагретого до
100 °С, понизится до 25 °С, если температура помещения равна 20°С и за первые 10 мин тело охладилось до 60 °С?

86. Замедляющее действие трения на диск, вращающийся в жидкости, пропорционально угловой скорости вращения. Найти зависимость этой угловой скорости от времени, если известно, что диск, начавший вращаться со скоростью 5 об/с, по истечении двух минут вращается со скоростью 3 об/с. Через сколько времени он будет иметь угловую скорость 1 об/мин?

87. Скорость распада радия пропорциональна наличному его количеству. В течение года из каждого грамма радия распадается 0,44 мг. Через сколько лет распадется половина имеющегося количества радия?

88. Скорость истечения воды из сосуда через малое отверстие оп- ределяется формулой , где h – высота уровня воды над отверстием, g – ускорение свободного падения (принять g = 10 м/с2). За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром и высотой H = 1,5 м через отверстие в дне диаметром м?

89. Количество света, поглощаемого при прохождении через тонкий слой воды, пропорционально количеству падающего света и толщине слоя. Зная, что при прохождении слоя воды толщиной 2 м поглощается 1/3 первоначального светового потока, найти, какая часть его дойдет до глубины 12 м.

90. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, скорость ее через 4 секунды 1 м/с. Когда скорость уменьшится до 1 см/с? Какой путь пройдет лодка до остановки?

91. Пуля, двигаясь со скоростью км/с, пробивает стену толщиной h = 20 см и вылетает, имея скорость 100 м/с. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время прохождения пули через стену.

92. В баке находится 100 л раствора, содержащего 10 кг соли. В бак вливается вода со скоростью 5 л/мин и смесь вытекает из него с той же скоростью. Однородность раствора достигается путем перемешивания. Сколько соли останется в баке через час?

93. Некоторое вещество преобразуется в другое вещество со скоростью, пропорциональной массе непреобразованного вещества. Если масса первого есть 31,4 г по истечении одного часа и 9,7 г по истечении трех часов, то определить: а) массу вещества в начале процесса; б) через сколько времени после начала процесса останется лишь 1 % первоначальной массы исходного вещества?

94. В помещении цеха вместимостью 10800 м3 воздух содержит 0,12 % углекислоты. Вентиляторы доставляют свежий воздух, содержащий 0,04 % углекислоты, со скоростью 1500 м/мин. Предполагая, что углекислота распределяется по помещению равномерно в каждый момент времени, найти объемную долю углекислоты через 10 мин после начала работы вентиляторов.

95. Сила тока i в цепи с сопротивлением R, самоиндукцией L и напряжением u удовлетворяет уравнению . Найти силу тока i в момент времени t, если и i = 0 при t = 0 (L, R, E, w – постоянные).

10.5. Дифференциальные уравнения высших порядков

10.5.1. Основные понятия и определения. Задача Коши

Задачей Коши для дифференциального уравнения (10.2) называется задача определения решения , удовлетворяющего заданным начальным условиям:

. (10.41)

Определение 1. Общим решением уравнения (10.1) или (10.2) называется такая функция , которая при любых допустимых значениях параметров является решением этого уравнения и для любой задачи Коши с условиями (5.1) , определяемые из системы уравнений:

(10.42)

Определение 2. Уравнение

, (10.43)

определяющее общее решение как неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши [(10.2); (10.41)]. Если дифференциальное уравнение (10.2) таково, что функция в некоторой области D изменения своих аргументов непрерывна и имеет непрерывные частные производные , то для любой точки существует такой интервал , на котором существует и притом единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (10.41).

Определение 3. Решение уравнения (10.2) называется частным решением, если в каждой точке его сохраняется единственность решения задачи Коши.

З а м е ч а н и е. Если есть общее решение уравнения (10.2) в области D, то всякое решение, содержащееся в этой формуле при конкретных допустимых числовых значениях произвольных постоянных , является частным решением.

Определение 4. Решение уравнения называется особым, если в каждой точке его нарушается единственность решения задачи Коши.

В случае уравнения второго порядка

(10.44)

задача Коши состоит в нахождении решения уравнения (10.44), удовлетворяющего начальным условиям

при . (10.45)

Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, которая проходит через заданную точку и имеет в этой точке заданную касательную, образующую с положительным направлением оси Ox такой угол , что .

Механический смысл задачи Коши заключается в следующем. Запишем уравнение движения материальной точки в проекции на ось Ox:

(10.46)

Здесь t – время, – соответственно координата, проекции скорости и ускорения на ось Ox в момент t; – проекция силы на ось Ox, действующей на точку. Решение (координата x) уравнения (10.46) называется движением точки, определяемое этим уравнением. Задача Коши заключается в определении движения, удовлетворяющего начальным условиям: при , где числа и (начальные данные) есть соответственно начальный момент времени, начальная координата и проекция скорости в (начальный) момент времени .

Пример 1. Показать, что есть общее решение дифференциального уравнения .

Ñ 1. Покажем, что удовлетворяет данному уравнению при любых . Имеем 2. Пусть заданы произвольные начальные условия . Покажем, что постоянные можно подобрать так, что эти начальные условия будут удовлетворены. Составим систему: , из которой однозначно определяются . Таким образом, решение удовлетворяет поставленным начальным условиям. Заметим, что запись означает, что решение задачи записано в форме Коши. #