Найдите уравнение окружности с центром в точке

Написать уравнение окружности

Рассмотрим некоторые примеры, в которых требуется написать уравнение окружности по заданным условиям.

1) Написать уравнение окружности с центром в точке K(5;-1) и радиусом 7.

Уравнение окружности с центром в точке (a;b) и радиусом R имеет вид:

Так как центр окружности — точка K(5; -1), то a=5, b=-1.Подставляем эти данные в уравнение окружности:

2) Напишите уравнение окружности с центром в точке A (8;-3) проходящей через точку C(3;-6).

Так как центр окружности — точка A(8; -3), то a=8, b=-3.

Остаётся найти радиус. Он равен расстоянию от центра окружности до точки, лежащей на окружности, то есть в данном случае радиус окружности равен расстоянию между точками A и C.

Следовательно, уравнение данной окружности

3) Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок AB, если A (-4; -9), B(6;5).

Центром окружности является середина диаметра, в нашем случае — середина отрезка AB. По формулам координат середины отрезка

Центр окружности — точка O(1;-2). Значит, a=1, b=-2.

Радиус можно найти как расстояние от центра окружности до любой из точек A или B окружности. Например,

Таким образом, уравнение окружности с диаметром AB —

4) Написать уравнение окружности, проходящей через три точки: A(4; -5), B(8; 3) C(-8; 11).

Так как точки A, B C принадлежат окружности, то их координаты удовлетворяют уравнению окружности. Подставив координаты точек в уравнение

получаем систему уравнений:

Поскольку правые части уравнений равны, левые также равны. Приравняв правые части 1-го и 2-го уравнений получим

Приравняем правые части 2-го и 3-го уравнений:

на -1 и сложив результат почленно с уравнением

получаем a=-2, b=3. Подставив этот результат в первое уравнение системы:

Следовательно, уравнение окружности, проходящей через три данные точки —

5) Написать уравнение окружности, описанной около треугольника ABC с вершинами в точках A(2; 6), B(1; 5) C(8; -2).

Решение аналогично решению задания 4. В результате получим уравнение

№ 28*. Составьте уравнение окружности с центром в точке (1;2), касающейся оси х.

Заменим уравнение окружности с центром

где R — радиус окружности. Уравнение оси х: у

= 0. Окружность и ось х касаются, значит, система уравнений

имеет единственное решение. Решим систему. 1)

Система будет иметь единственное решение (а; 0), если данное уравнение будет иметь один корень х = а, то есть если D = 0 или

то есть R=2, так как R>0. А значит

— уравнение искомой окружности.

Решебник по геометрии за 8 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №28
к главе «§8. Декартовы координаты на плоскости».

Найдите уравнение окружности с центром в точке

Решение:
уравнение окружности с центром в точке (A;B) и радиусом R имеет вид (x-A)^2+(y-B)^2=R^2
поэтому уравнение данной окружности имеет вид (x-1)^2+(y-2)^2=4^2 (x-1)^2+(y-2)^2=16

В декартовой системе координат: $$(X+4)^2+(Y-7)^2=49$$ Заменим Х=rcosФ ,У=rsinф , получим уравнение в полярной системе координат: $$(rcosФ+4)^2+(rsinФ-7)^2=49,$$ раскроем скобки и приведём подобные,получим: $$r=49-8cosФ+14sinФ. $$