Найдите уравнение проекции прямой на плоскость заданную уравнением
Проекцией прямой на плоскость является прямая пересечения двух плоскостей: данной плоскости и плоскости, которая перпендикулярна данной и проходит через данную прямую. Поэтому для решения задачи достаточно найти уравнение плоскости, содержащей данную прямую и перпендикулярной данной плоскости., Пусть
— уравнение искомой плоскости. Тогда из условия перпендикулярности плоскостей получаем уравнение
а из условия (4) принадлежности прямой плоскости уравнения
9A — 4В — 7С = 0 и A — В + D = 0.
Из полученных уравнений следует:
А = -5С, В = -13С, D = -8С.
Итак, уравнением плоскости, перпендикулярной данной плоскости и проходящей через данную прямую, будет уравнение
Искомая проекция является пересечением найденной плоскости и данной. Следовательно, ее уравнения:
Задача 31787 Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1.
Условие
Найти проекцию прямой (x–2)/5 = (y–3)/1 = (z+1)/2 на плоскость x+4y–3z+7=0
Решение
Точка (2;3;-1) принадлежит данной прямой.
Составим уравнение прямой || нормальному вектору плоскости
vector
Найдем координаты точки K — точки пересечения этой прямой и плоскости Обозначим отношение подставим в уравнение плоскости Найдем координаты точки В — точки пересечения данной прямой и данной плоскости. Обозначим отношение подставим в уравнение плоскости Составляем уравнение прямой ВК, как уравнение прямой, проходящей через две точки С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить». Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д. Для нахождения проекции точки M0 на плоскость α, необходимо: Общее уравнение плоскости имеет вид: где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости. Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид: Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) . Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид: Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее Выразим переменные x, y, z через рараметр t. Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t. Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M1 точки M0 на плоскость (1). Пример 1. Найти проекцию M1 точки M0(4, -3, 2) на плоскость Нормальный вектор плоскости имеет вид: Подставляя координаты точки M0 и нормального вектора плоскости в (5), получим: Из выражений (7) находим: Проекцией точки M0(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка: http://reshimvse.com/zadacha.php?id=31787 http://matworld.ru/analytic-geometry/tochka-ploskost-proekcija-online.php
Решаем систему:
<(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3)
(x-2)/1=(y-3)/4=(z-1)/(-3) = λ ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x= λ +2
y= 4λ +3
z=-3 λ +1
(x-2)/5=(y-3)/1=(z+1)/2=t ⇒
получим параметрические уравнения прямой
x=5t+2
y=t+3
z=2t+1Проекция точки на плоскость онлайн
Предупреждение
Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения
(1) (2) (3) (4) A(At+x0)+B(Bt+y0)+C(At+z0)+D=0, A 2 t+Ax0+B 2 t+By0+C 2 t+Cz0+D=0, (5) (6) (7)