Задача 27867 4.2.78) Составить уравнение прямой.
Условие
4.2.78) Составить уравнение прямой, симметричной прямой x+2y-6 = 0 относительно точки А(4; 2).
Решение
1 способ
Прямая, симметричная данной, параллельна данной.
Значит ее уравнение имеет вид
x+2y- d=0
Чтобы найти d подставим координаты точки, принадлежащей этой прямой, например точки Е.
Для этого выберем точку F(2;2), принадлежащую данной прямой и найдем координаты точки Е симметричной относительно А
Е(6;2)
6+2*2-d=0
d=10
2 способ
Составим уравнение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через точку А
vector
vector
Скалярное произведение этих векторов равно 0, векторы ортогональны.
2х-у+с=0
Чтобы найти c подставляем координаты точки А
2*4-2=с
с=-6
2х — у — 6 = 0
Найдем расстояние от точки А до данной прямой
d=|4+2*2-6|/sqrt(1+2^2)=2/sqrt(5)
Составим уравнение окружности с центром в точке А и радиусом R=2/sqrt(5).
Эта окружность касается данной прямой и второй прямой, параллельной данной и находящейся на расстоянии 2/sqrt(5) от точки.
(x-4)^2+(y-2)^2=4/5
(x-4)^2+(2x-6-2)^2=4/5
(x-4)^2=4/25
x-4=2/5 или х-4=-2/5
х=4,4 или х=3,6 — абсцисса точки М
у=2х-6=2*4,4-6=2,8
N(4,4; 2,8)
Прямая, параллельная данной имеет вид
х + 2y — d = 0
Чтобы найти d подставим координаты точки N
4,4+2*2,8 — d=0
О т в е т. х+2y -10 =0
4.1.8. Примеры решения задач по теме «Уравнение прямой на плоскости»
Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 2Х + У + 3 = 0 и 2Х – 5У + 9 = 0 и уравнение одной из его диагоналей: 2Х – у — 3 = 0. Найти координаты вершин этого параллелограмма.
Выясните, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или
Смежных, и как расположена данная диагональ по отношению к данным сторонам.
Выясним, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или
Следовательно, прямые пересекаются, то есть даны уравнения смежных сторон параллелограмма.
Условие параллельности прямых
.
Пусть даны уравнения сторон АВ и AD. Тогда координаты точки А будут решением системы уравнений:
Теперь определим, уравнение какой диагонали: АС или BD – нам известно. Если это диагональ АС, то на ней лежит точка А, следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению диагонали. Проверим:
Значит, точка А не лежит на данной прямой, то есть дано уравнение диагонали BD.
Тогда вершина В лежит на прямых АВ и BD, значит, ее координаты найдем из системы:
Система уравнений для определения координат точки D составлена из уравнений прямых AD И BD:
Остается найти координаты точки С. Составим уравнения прямых ВС и DC.
Поскольку ВС параллельна AD, их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент прямой AD:
Тогда ВС можно задать уравнением
Найдем координаты точки С, решив систему из двух полученных уравнений:
Найти точку, симметричную точке А(2; 1) относительно прямой, проходящей через точки В(-1; 7) и С(1; 8).
Представьте себе, что вам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:
1) провести прямую ВС;
2) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;
3) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.
Представим себе, что нам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:
4) провести прямую ВС;
5) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;
6) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.
Тогда точка А1 будет симметричной точке А относительно прямой ВС.
Теперь заменим каждое из действий составлением уравнений и вычислением координат точек.
1) Найдем уравнение прямой ВС в виде:
2) Найдем угловой коэффициент прямой ВС:
Прямая АО Перпендикулярна прямой ВС, поэтому
Составим уравнение прямой АО:
3) Найдем координаты точки О как решение системы:
4) Точка О – середина отрезка АА1, поэтому
Найти угол между прямыми L1: 3Х – у + 5 = 0 и L2: 2Х + У – 7 = 0.
Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда
Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.
Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда
Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2. Найдем K1 и K2: для L1
Y = 3X + 5, K1 = 3; для второй: Y = -2X + 7, K2 = -2. Следовательно,
Для прямых А1х + В1У + С1 = 0 И А2Х + В2У + С2 = 0
.
Определить, лежит ли точка М(2; 3) внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями 4Х – у – 7 = 0, Х + 3У – 31 = 0, Х + 5У – 7 = 0.
Если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне, а если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника.
Пусть первое уравнение задает сторону АВ, второе – ВС, третье – АС. Найдем координаты точек А, В и С:
Для ответа на вопрос задачи отметим, что:
1) если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне (т. е. точка М расположена относительно каждой стороны треугольника в одной полуплоскости с третьей вершиной);
2) если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника (на рисунке: точки М1 и В расположены по разные стороны от прямой АС).
Составим нормальные уравнения сторон треугольника АВС:
Вычислим соответствующие отклонения:
1) для точек М и А относительно прямой ВС:
2) для точек М и В относительно прямой АС:
3) для точек М и С относительно прямой АВ:
Итак, точки М И С лежат по разные стороны от прямой АВ. Следовательно, точка М расположена вне треугольника АВС.
Ответ: Точка М расположена вне треугольника АВС.
Для треугольника АВС с вершинами А(-3; -1), В(1; 5), С(7; 3) составить уравнения медианы и высоты, выходящих из вершины В.
Составьте уравнение медианы как прямой, проходящей через точки В и М – середину стороны АС, а высоты – как прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной стороне АС.
1) Медиана ВМ проходит через точку В и точку М – середину отрезка АС. Найдем координаты точки М:
Тогда уравнение медианы можно записать в виде:
2) Высота ВН перпендикулярна стороне АС. Составим уравнение АС:
Ответ: медиана ВМ: 4Х + У – 9 = 0; высота ВН: 5Х + 2У – 15 = 0.
Определить, при каком значении А прямая
Параллельна оси ординат. Написать уравнение прямой.
Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0
Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0
В = 0, С ≠ 0. Из условия В = 0 получаем: А2 – 1 = 0, А = ± 1.
При А = 1 С = 2 + 7 – 9 = 0 – второе условие не выполняется (получившаяся при этом прямая -4Х = 0 не параллельна оси Оу, а совпадает с ней).
При А = -1 получим: -6Х – 14 = 0, 3Х + 7 = 0.
Составить уравнения всех прямых, проходящих через точку М(2; 3) и отсекающих от координатного угла треугольник площадью 12.
Составьте уравнение искомой прямой «в отрезках»:
Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда
Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках».
Составим уравнение искомой прямой «в отрезках»:
Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда
Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках». Таким образом, для А и B можно составить систему уравнений:
Следовательно, условию задачи удовлетворяют три прямые:
Составьте уравнение прямой, симметричной прямой у = — 2х — 1 относительно точки А (3; 1)
Ваш ответ
решение вопроса
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,296
- гуманитарные 33,622
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,203
- разное 16,830
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/lineinaia-algebra-i-analiticheskaia-geometriia/4-1-8-primery-resheniia-zadach-po-teme-uravnenie-priamoi-na-ploskosti
http://www.soloby.ru/706192/%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%B2%D1%8C%D1%82%D0%B5-%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%B9-%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B9-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D0%BE%D0%B9-%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE