Найдите уравнения плоскости перпендикулярной плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

В этой статье содержится ответ на вопрос: «Как написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям»? Сначала приведены необходимые теоретические сведения, а также рассуждения, помогающие составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям. После этого разобраны решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с постановки задачи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , задана точка и две пересекающиеся плоскости и . Требуется написать уравнение плоскости , проходящей через точку М₁ перпендикулярно к плоскостям и .

Заметим, что плоскость , уравнение которой нам требуется составить, перпендикулярна к прямой, по которой пересекаются плоскости и . Действительно, из признака перпендикулярности двух плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей. Более того, существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку пространства перпендикулярно двум пересекающимся плоскостям, так как существует только одна плоскость, проходящая через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.

Теперь приступим именно к решению поставленной задачи.

Из условия нам известны координаты точки , через которую проходит плоскость . Если мы найдем координаты нормального вектора плоскости , то сможем записать общее уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором, в виде , где — нормальный вектор плоскости .

Итак, наша задача сводится к нахождению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь нормальный вектор плоскости есть направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости и , так как плоскость перпендикулярна к пересекающимся плоскостям и . В частности, если плоскости и заданы общими уравнениями плоскостей вида и соответственно, то направляющим вектором прямой, по которой пересекаются плоскости и , является векторное произведение векторов и (об этом написано в разделе координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости).

Чтобы написать уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и , нужно

• найти координаты направляющего вектора прямой, по которой пересекаются заданные плоскости и ;
• принять эти координаты за соответствующие координаты А , В и С нормального вектора плоскости, уравнение которой мы ищем;
• написать уравнение плоскости вида — это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум пересекающимся плоскостям и .

Чтобы все стало понятно, предлагаем перейти к следующему пункту и ознакомиться с подробным решением примеров, в которых находится уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к двум заданным пересекающимся плоскостям.

Примеры составления уравнения плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к двум заданным плоскостям.

Начнем с задачи на нахождение уравнения плоскости, перпендикулярной к двум координатным плоскостям.

Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через прямую L₁ параллельно другой прямой L₂ (прямые L₁ и L₂ не параллельны). Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямых (канонический или параметрический) введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Уравнение плоскости проходящей через прямую перпендикулярно заданной плоскости − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат задана прямая L

.

(1)

.

(2)

Пусть плоскость α₁ не перпендинулярно прямой L.

Задача заключается в построении уравнения плоскости α, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α₁ (Рис.1).

Запишем уравнение искомой плоскости α:

Искомая плоскость α проходит через прямую L, следовательно она проходит через точку M₀(x₀, y₀, z₀). Тогда справедливо следующее равенство:

и поскольку прямая L принадлежит этой плоскости, то нормальный вектор n=<A, B, C> и направляющий вектор q=<m, p, l> ортогональны:

Для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна плоскости α₁, нормальные векторы этих плоскостей должны быть ортогональными, т.е. скалярное произведение этих векторов должно быть равным нулю:

Таким образом мы должны решить систему трех уравнений с четыремя неизвестными (4)−(6). Представим систему линейных уравнений (4)−(6) в матричном виде:

(7)

Решив однородную систему линейных уравнений (7) найдем частное решение. (Как решить систему линейных уравнений посмотрите на странице метод Гаусса онлайн). Подставляя полученные коэффициенты A, B, C и D в уравнение (3), получим уравнение плоскости, проходящей через прямую L перпендикулярно плоскости α₁.

Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:

(8)

перпендикулярно плоскости α₁ :

(9)

Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:

где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.

Поскольку плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(−4, 1, 2), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α₁, то должна выполнятся условие:

(13)

(14)

(15)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(16)

Решим систему линейных уравнений (16) отностительно A, B, C, D:

(17)

Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<9/43,−17/43,5/43>. Тогда подставляя в уравнение плоскости

значения A, B, C, D, получим:

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:

(19)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (19).

Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящей через прямую L:

(20)

перпендикулярно плоскости α₁ :

(21)

Уравнение искомой плоскости α можно записать следующей формулой:

где n=<A, B, C> нормальный вектор плоскости.

Так как плоскость α проходит через прямую L , то она проходит также через точку M₀(x₀, y₀, z₀)=M₀(−3, 1, 5), тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

а условие принадлежности прямой L к искомой плоскости α представляется следующим равенством:

Так как плоскость α должна быть перпендикулярна плоскости α₁, то должна выполнятся условие:

(25)

(26)

(27)

Представим эти уравнения в матричном виде:

(28)

Решим систему линейных уравнений (28) отностительно A, B, C, D:

(29)

Таким образом искомая плоскость имеет нормальный вектор n=<A, B, C>=<3/2,−1/2,1>. Тогда подставляя в уравнение плоскости

значения A, B, C, D, получим:

Уравнение плоскости можно представить более упрощенном виде, умножив на число 43:

(31)

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через прямую (1) перпендикулярно плоскости (2) имеет вид (31).

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Найти уравнение плоскости

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны:

Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

Если заданы координаты трех точек A( x ₁, y ₁, z ₁), B( x ₂, y ₂, z ₂) и C( x ₃, y ₃, z ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

Если заданы координаты точки A( x ₁, y ₁, z ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.