Найдите уравнения всех асимптот функции онлайн

Найдите уравнения всех асимптот функции онлайн

Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Но пока что нет возможности находить область определения функции

Что умеет находить этот калькулятор:

• Область определения функции: Да. Умеет определять только точки, в которых знаменатель функции обращается в нуль, но в остальных случаях:
• Умеет определять точки пересечения графика функции с осями координат: Да
• Экстремумы функции: интервалы (отрезки) возрастания и убывания функции: Да
• Точки перегибов графика функции: перегибы: интервалы выпуклости, вогнутости (впуклости): Да
• Вертикальные асимптоты : Да (это завязано с областью определения функции, на точки, где знаменатель функции обращается в нуль)
• Горизонтальные асимптоты графика функции: Да
• Наклонные асимптоты графика функции: Да
• Четность и нечетность функции: Да

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Asymptote Calculator

The calculator will try to find the vertical, horizontal, and slant asymptotes of the function, with steps shown.

Solution

Your input: find the vertical, horizontal and slant asymptotes of the function $$$ f(x)=\frac <2 x^<3>+ 15 x^ <2>+ 22 x — 11> + 8 x + 15> $$$

Vertical Asymptotes

The line $$$ x=L $$$ is a vertical asymptote of the function $$$ y=\frac <2 x^<3>+ 15 x^ <2>+ 22 x — 11> + 8 x + 15> $$$ , if the limit of the function (one-sided) at this point is infinite.

In other words, it means that possible points are points where the denominator equals $$$ 0 $$$ or doesn’t exist.

So, find the points where the denominator equals $$$ 0 $$$ and check them.

Since the limit is infinite, then $$$ x=-5 $$$ is a vertical asymptote.

Since the limit is infinite, then $$$ x=-3 $$$ is a vertical asymptote.

Horizontal Asymptotes

Line $$$ y=L $$$ is a horizontal asymptote of the function $$$ y=f <\left(x \right)>$$$ , if either $$$ \lim_ f<\left(x \right)>=L $$$ or $$$ \lim_ f<\left(x \right)>=L $$$ , and $$$ L $$$ is finite.

Calculate the limits:

$$$ \lim_\left(\frac <2 x^<3>+ 15 x^ <2>+ 22 x — 11> + 8 x + 15>\right)=\infty $$$ (for steps, see limit calculator).

$$$ \lim_\left(\frac <2 x^<3>+ 15 x^ <2>+ 22 x — 11> + 8 x + 15>\right)=-\infty $$$ (for steps, see limit calculator).

Thus, there are no horizontal asymptotes.

Slant Asymptotes

Do polynomial long division $$$ \frac <2 x^<3>+ 15 x^ <2>+ 22 x — 11> + 8 x + 15>=2 x — 1 + \frac<4> + 8 x + 15> $$$ (for steps, see polynomial long division calculator).

The rational term approaches 0 as the variable approaches infinity.

Thus, the slant asymptote is $$$ y=2 x — 1 $$$ .

Answer

Vertical asymptotes: $$$ x=-5 $$$ ; $$$ x=-3 $$$

No horizontal asymptotes.

Slant asymptote: $$$ y=2 x — 1 $$$

Асимптоты

п.1. Понятие асимптоты

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Например:

Вертикальная асимптота x=3	Горизонтальная асимптота y=1
Наклонная асимптота y=x

п.2. Вертикальная асимптота

Таким образом, практически каждой точке разрыва 2-го рода (см. §40 данного справочника) соответствует вертикальная асимптота.
Вертикальных асимптот может быть сколько угодно, в том числе, бесконечное множество (например, как у тангенса – см. §6 данного справочника).

Например:
Исследуем непрерывность функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
ОДЗ: \(x\ne \left\<-3;1\right\>\)
\(\left\\notin D\) — точки не входят в ОДЗ, подозрительные на разрыв.
Исследуем \(x_0=-3\). Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-3-0-1)(-3-0+3)>=\frac<1><-4\cdot(-0)>=+\infty\\ \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-3+0-1)(-3+0+3)>=\frac<1><-4\cdot(+0)>=-\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_0=-3\) — точка разрыва 2-го рода.
Исследуем \(x_1=1\). Найдем односторонние пределы: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(1-0-1)(1-0+3)>=\frac<1><-0\cdot 4>=-\infty\\ \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(1+0-1)(1+0+3)>=\frac<1><+0\cdot 4>=+\infty \end Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка \(x_1=1\) — точка разрыва 2-го рода.
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) две точки разрыва 2-го рода \(\left\\), соответственно – две вертикальные асимптоты с уравнениями \(x=-3\) и \(x=1\).

п.3. Горизонтальная асимптота

Число горизонтальных асимптот не может быть больше двух.

Например:
Исследуем наличие горизонтальных асимптот у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\)
Ищем предел функции на минус бесконечности: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(-\infty)(-\infty)>=+0 \end На минус бесконечности функция имеет конечный предел \(b=0\) и стремится к нему сверху (о чем свидетельствует символическая запись +0).
Ищем предел функции на плюс бесконечности: \begin \lim_\frac<1><(x-1)(x+3)>=\frac<1><(+\infty)(+\infty)>=+0 \end На плюс бесконечности функция имеет тот же конечный предел \(b=0\) и также стремится к нему сверху.
Вывод: у функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\) одна горизонтальная асимптота \(y=0\). На плюс и минус бесконечности функция стремится к асимптоте сверху.

Итоговый график асимптотического поведения функции \(y=\frac<1><(x-1)(x+3)>\):

п.4. Наклонная асимптота

Число наклонных асимптот не может быть больше двух.

Чтобы построить график асимптотического поведения, заметим, что у функции \(y=\frac\), очевидно, есть вертикальная асимптота x=1. При этом: \begin \lim_\frac=-\infty,\ \ \lim_\frac=+\infty \end

График асимптотического поведения функции \(y=\frac\):

п.5. Алгоритм исследования асимптотического поведения функции

На входе: функция \(y=f(x)\)
Шаг 1. Поиск вертикальных асимптот
Исследовать функцию на непрерывность. Если обнаружены точки разрыва 2-го рода, у которых хотя бы один односторонний предел существует и бесконечен, сопоставить каждой такой точке вертикальную асимптоту. Если таких точек не обнаружено, вертикальных асимптот нет.
Шаг 2. Поиск горизонтальных асимптот
Найти пределы функции на плюс и минус бесконечности. Каждому конечному пределу сопоставить горизонтальную асимптоту. Если оба предела конечны и равны, у функции одна горизонтальная асимптота. Если оба предела бесконечны, горизонтальных асимптот нет.
Шаг 3. Поиск наклонных асимптот
Найти пределы отношения функции к аргументу на плюс и минус бесконечности.
Каждому конечному пределу k сопоставить наклонную асимптоту, найти b. Если только один предел конечен, у функции одна наклонная асимптота. Если оба значения k конечны и равны, и оба значения b равны, у функции одна наклонная асимптота. Если оба предела для k бесконечны, наклонных асимптот нет .
На выходе: множество всех асимптот данной функции.

п.6. Примеры

Пример 1. Исследовать асимптотическое поведение функции и построить схематический график:
a) \( y=\frac<4x> \)
1) Вертикальные асимптоты
Точки, подозрительные на разрыв: \(x=\pm 1\)
Односторонние пределы в точке \(x=-1\) \begin \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(-1-0)><(-1-0+1)(-1-0-1)>=\frac<-4><-0\cdot(-2)>=-\infty\\ \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(-1+0)><(-1+0+1)(-1+0-1)>=\frac<-4><+0\cdot(-2)>=+\infty \end Точка \(x=-1\) — точка разрыва 2-го рода
Односторонние пределы в точке \(x=1\) \begin \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(1-0)><(1-0+1)(1-0-1)>=\frac<4><2\cdot(-0)>=-\infty\\ \lim_\frac<4x><(x+1)(x-1)>=\frac<4(1+0)><(1+0+1)(1+0-1)>=\frac<4><2\cdot(+0)>=+\infty \end Точка \(x=1\) — точка разрыва 2-го рода
Функция имеет две вертикальные асимптоты \(x=\pm 1\)

График асимптотического поведения функции \(y=\frac<4x>\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin b_1=\lim_e^<\frac<1>>=e^0=1\\ b_2=\lim_e^<\frac<1>>=e^0=1\\ b=b_1=b_2=1 \end Функция имеет одну горизонтальную асимптоту \(y=1\). Функция стремится к этой асимптоте на минус и плюс бесконечности.

График асимптотического поведения функции \(y=e^<\frac<1>>\)

в) \( y=\frac \)
Заметим, что \( \frac=\frac<(x+1)(x-1)>=\frac<(x^2)(x+1)><(x+1)(x-1)>=\frac \) $$ y=\frac\Leftrightarrow \begin y=\frac\\ x\ne -1 \end $$ График исходной функции совпадает с графиком функции \(y=\frac\), из которого необходимо выколоть точку c абсциссой \(x=-1\).

3) Наклонные асимптоты
Ищем угловые коэффициенты: \begin k_1=\lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\lim_\frac\right)>=\frac<1+0><1-0>=1\\ k_2=\lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\lim_\frac\right)>=\frac<1+0><1-0>=1\\ k=k_1=k_2=1 \end У функции есть одна наклонная асимптота с \(k=1\).
Ищем свободный член: \begin b=\lim_(y-kx)= \lim_\left(\frac-2\right)= \lim_\frac= \lim_\frac=\left[\frac<\infty><\infty>\right]=\\ =\lim_\frac=\frac<1+0><1-0>=1 \end Функция имеет одну наклонную асимптоту \(y=x+1\).
График асимптотического поведения функции \(y=\frac\)

2) Горизонтальные асимптоты
Пределы функции на бесконечности: \begin b_1=\lim_xe^<\frac<1><2-x>>=-\infty\cdot e^0=-\infty\\ b_2=\lim_xe^<\frac<1><2-x>>=+\infty\cdot e^0=+\infty \end Оба предела бесконечны.
Функция не имеет горизонтальных асимптот.

График асимптотического поведения функции \(y=xe^<\frac<1><2-x>>\)