Найдите все корни этого уравнения принадлежащие промежутки

Как решать задание 13

О чем задача?

Задачи на решение тригонометрических уравнений, более сложных, чем в задании 5. В большинстве задач требуется не только решить уравнение, но и отобрать корни, принадлежащие определенному отрезку.

Как решать?

Шаг 1. Найдите область определения

Шаг 2. Приведите уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений

Для того чтобы привести уравнение к виду простейших тригонометрических уравнений, применяйте следующие стандартные приемы:

Мы свели исходное уравнение к совокупности простейших тригонометрических уравнений [ cos x = − 1 , cos x = − 1 2 . \left[\begin \cos x = -1 <,>\\\cos x = -\frac<1> <2><.>\end\right. [ cos x = − 1 , cos x = − 2 1 ​ . ​

Шаг 3. Решите простейшие тригонометрические уравнения

О решении простейших тригонометрических уравнений читайте в отдельной статье .

Убедитесь, что найденные вами корни принадлежат области определения уравнения.

Остается решить уравнение cos x = − 1 2 \cos x =-\frac<1> <2>cos x = − 2 1 ​ .

Шаг 4. Выберите корни, принадлежащие отрезку, данному в условии

Корни, принадлежащие данному в условии отрезку, можно найти либо методом перебора, либо путем решения неравенства относительно k k k .

Найдем подходящие корни методом перебора. Для этого рассмотрим две серии корней по отдельности.

Задание №12. Уравнения — профильный ЕГЭ по математике

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике – это решение уравнений. Чаще всего, конечно, это тригонометрические уравнения. Но встречаются и другие типы – показательные, логарифмические, комбинированные.

Сейчас задание 12 Профильного ЕГЭ на решение уравнения состоят из двух пунктов: собственно решения и отбора корней на определенном отрезке.

Что нужно знать, чтобы справиться с этой задачей на ЕГЭ? Вот необходимые темы для повторения.

Что необходимо помнить при решении уравнений?

1) Помним про область допустимых значений уравнения! Если в уравнении есть дроби, корни, логарифмы или арксинусы с арккосинусами — сразу записываем ОДЗ. А найдя корни, проверяем, входят они в эту область или нет. Есть в уравнении есть — помним, что он существует, только если

2) Стараемся записывать решение в виде цепочки равносильных переходов.

3) Если есть возможность сделать замену переменной — делаем замену переменной! Уравнение сразу станет проще.

4) Если еще не выучили формулы тригонометрии — пора это сделать! Много формул не нужно. Самое главное — тригонометрический круг, формулы синусов и косинусов двойных углов, синусов и косинусов суммы (разности), понижения степени. Формулы приведения не надо зубрить наизусть! Надо знать, как они получаются.

5) Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка . От нее и будем отсчитывать. Получим:

6) Получив ответ, проверьте его правильность. Просто подставьте найденные решения в исходное уравнение!

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Упростим левую часть по формуле приведения.

Вынесем за скобки. Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Видим, что указанному отрезку принадлежат решения

Как отбирать решения с помощью тригонометрического круга? Вспомним, что крайняя правая точка тригонометрического круга соответствует числам Дальше всё просто. Смотрим, какая из точек этого типа попадает в указанный в условии промежуток. И к ней прибавляем (или вычитаем) нужные значения.

Например, вы нашли серию решений , где — целое, а найти надо корни на отрезке На указанном промежутке лежит точка От нее и отсчитываем.

2. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Это уравнение — комбинированное. Кроме тригонометрии, применяем свойства степеней.

Степени равны, их основания равны. Значит, равны и показатели.

Это ответ в пункте (а).

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

Отметим на тригонометрическом круге отрезок и найденные серии решений.

Видим, что указанному отрезку принадлежат точки и из серии

Точки серии не входят в указанный отрезок.

А из серии в указанный отрезок входит точка

Ответ в пункте (б):

3. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Применим формулу косинуса двойного угла:

Перенесем всё в левую часть уравнения и разложим по формуле разности квадратов.

Обратите внимание: мы отметили серии решений на тригонометрическом круге. Это помогло нам увидеть, как их записать одной формулой.

б) Для разнообразия отберем корни на отрезке с помощью двойного неравенства.

Какой способ отбора корней лучше — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства? У каждого из них есть «плюсы» и «минусы».

Пользуясь тригонометрическим кругом, вы не ошибетесь. Вы видите и интервал, и сами серии решений. Это наглядный способ.

Зато, если интервал больше, чем один круг, удобнее отбирать корни с помощью двойного неравенства. Например, надо найти корни из серии на отрезке Это больше 10 кругов! Конечно, в таком случае лучше решить двойное неравенство.

4. а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Самое сложное здесь — область допустимых значений (ОДЗ). Условие заметно сразу. А условие появляется, поскольку в уравнении есть

Уравнение равносильно системе:

Отберем решения с помощью тригонометрического круга. Нам нужны те серии решений, для которых , то есть те, что соответствуют точкам справа от оси .

Ответ в пункте а)

б) Отметим на тригонометрическом круге найденные серии решений и отрезок

Как обычно, ориентируемся на начало круга. Видим, что указанному промежутку принадлежат точки

5. а) Решите уравнение

б) Найдите корни, принадлежащие отрезку

Выражение под корнем должно быть неотрицательно, а произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Это значит, что уравнение равносильно системе:

Решим эту систему с помощью тригонометрического круга. Отметим на нем углы, для которых или . Заметим, что среди них находятся и углы, для которых

Числа серии не могут быть корнями исходного уравнения, т.к. для этих чисел не выполнено условие . Остальные серии решений нас устраивают.

Тогда в ответ в пункте (а) войдут серии решений:

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку любым способом — с помощью тригонометрического круга или с помощью двойного неравенства.

13. Уравнения

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2019 г. – задание №13. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.

а) Решите уравнение

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

a) Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, sinx = 0, откуда x = πk , k ∈ Ζ, или , откуда

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку

Ответ: а)

б)

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2017, 2018 г. – задание №13. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку.

а) Решите уравнение cos2x=1-cos( -x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение:

Преобразуем обе части уравнения:
1− 2sin 2 x =1− sin x ; 2sin 2 x − sin x = 0 ; sin x( 2sin x −1) = 0 ,

откуда sin x = 0 или sin x = .

Из уравнения sin x = 0 находим: x = πn , где n∈Ζ.

Из уравнения sin x = находим: , где k∈Ζ.

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: а) , k∈Ζ.

б) .

Досрочный вариант ЕГЭ по математике 2017 профильный уровень задание №13.

а) Решите уравнение
8 x − 9⋅ 2 x +1 + 2 5−x = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log₅ 2; log₅ 20].

Решение:

Умножим обе части на t:

Ответ: a)

Ответ: б)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Преобразуем уравнение:

Ответ: a)

б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие промежутку

Ответ: б)

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Преобразуем уравнение:

Пусть 2 x = t, тогда уравнение приметвид:

Ответ: а) 5;2+log₂9

5 не принадлежит

log₂35 Ответ: б) 2+log₂9

а) Решите уравнение

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Преобразуем уравнение:

x1=-1 (не подходит по ОДЗ) ; x2=2 (подходит по ОДЗ) ; x3=-3 (подходит по ОДЗ)

Ответ: 2;-3

3) x 3 -2x 2 -5x-5>0

-3 -1 = -log₃4 не принадлежит

-1 Ответ: 2

а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­ще­го от­рез­ку [2; 3].

Решение:

а) Преобразуем уравнение:

(t-3).(t-4)=0 => t=3 или t=4.

Ответ: ;

(\frac<3><2>)^3″ align=»absmiddle» /> => не подходит

Ответ:

а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

а) Преобразуем уравнение:

т.к. степени одинаковые, основания можно опустить:

Ответ: 2;

2 не входит в заданный промежуток

Ответ: б)

а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение:

( только в том случае, если их степени равны 1)

Делаем обратную замену:

(возводим во вторую степень обе части ур-я)

Ответ: а) ;

Ответ: б) 3

Материалы для экспертов ЕГЭ 2016

а) Ре­ши­те урав­не­ние .

б) Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Решение:

Ответ: а)

б) при­над­ле­жа­щие про­ме­жут­ку

Ответ:

ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 19.06.2014. Основная волна, ре­зерв­ный день. Запад. Ва­ри­ант 1.

а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Решение:

Ответ:

б) при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ответ:

ЕГЭ — 2016 по математике. Ос­нов­ная волна 06.06.2016. Вариант 3 (C часть)

а) Ре­ши­те урав­не­ние

б) Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Решение:

Ответ:

б) при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Ответ:

Примеры заданий №13 ЕГЭ 2017 Профиль.

Примеры заданий №13 с решениями ЕГЭ 2016 Профиль.

Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР и КДР

Подготовка к ЕГЭ, ОГЭ, ВПР и КДР по всем предметам с возможностью прохождения онлайн.
Более 100 вариантов и тысячи заданий с решениями.
Видео уроки.
ВАЖНО! Никаких реальных вариантов ЕГЭ ни до экзамена, ни во время его проведения на сайте нет, не было и не будет.