Найдите все натуральные корни уравнения не превосходящие 100

Найдите все натуральные корни уравнения не превосходящие 100

Дано квадратное уравнение где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.

а) Может ли такое уравнение иметь корень –7?

б) Может ли такое уравнение иметь корень –53?

в) Какой наименьший целый корень может иметь такое уравнение?

а) Да, например,

б) Пусть уравнение имеет корень −53. Тогда откуда а значит, число с кратно 53. Среди натуральных чисел, не больших 100, такое число только одно: Подставляя в (*) вместо с число 53 и сокращая на 53, получаем откуда Если то поэтому Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число −53.

в) Рассуждая аналогично решению пункта б), докажем, что данное уравнение не может иметь целый корень, меньший –50. Для этого достаточно заменить в решении пункта б) число −53 на произвольное целое число, меньшее –50, от этого рассуждение не изменится.

Корень, равный –50, у данного уравнения быть может: уравнение имеет корень –50 и полностью удовлетворяет условию задачи.

Ответ: а) да, например, б) нет; в) –50.

Найдите все натуральные корни уравнения не превосходящие 100

№1. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 18 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 30. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние: где n — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния, n =6

№2. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 49 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 100. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

где n — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния, n =7

№3. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 144 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 264. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

За­пи­шем фор­му­лу пре­об­ра­зо­ва­ния числа, за­пи­сан­но­го в n си­сте­ме счис­ле­ния как 264 в де­ся­тич­ное число 144.

Решим это квад­рат­ное урав­не­ние. Его корни: 7, -10. Так как ос­но­ва­ни­ем си­сте­мы счис­ле­ния не может быть от­ри­ца­тель­ное число, ответ — 7.

№4. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 25 за­пи­сы­ва­ет­ся как 100. Най­ди­те это ос­но­ва­ние.

где n — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния, n =5

№5. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем число 12 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 110. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние: где n — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния, n =3

№6. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 27 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 30. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние: где n — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Ис­хо­дя из урав­не­ния, n =9

№7. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 13 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 111. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние: 111_n = 1 · n 2 + 1 · n 1 + 1 · n 0 = 13₁₀, где n— ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Урав­не­ниеn 2 + n − 12 = 0 имеет два корня: 3 и −4. Таким об­ра­зом, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния — 3.

№8. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 57 за­пи­сы­ва­ет­ся как 111. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние: 111_n = 1 · n 2 + 1 · n 1 + 1 · n 0 = 57₁₀, где n — ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Урав­не­ниеn 2 + n − 56 = 0 имеет два корня: 7 и −8. Таким об­ра­зом, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния — 7.

№9. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 12 за­пи­сы­ва­ет­ся как 110. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние: 110_n = 1 · n 2 + 1 · n 1 + 0 · n 0 = 12₁₀, где n— ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. Урав­не­ниеn 2 + n − 12 = 0 имеет два корня: −4 и 3. Таким об­ра­зом, ос­но­ва­ние ис­ко­мой си­сте­мы счис­ле­ния — 3.

№10. В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 15 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 30. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

Со­ста­вим урав­не­ние: 30_n = 3 · n 1 + 0 · n 0 = 15₁₀, где n— ос­но­ва­ние этой си­сте­мы счис­ле­ния. От­ку­да n = 5.

Уравнения и различные системы счисления

№1. Ука­жи­те, сколь­ко всего раз встре­ча­ет­ся цифра 2 в за­пи­си чисел 10, 11, 12, …, 17 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5.

За­пи­шем пер­вое и по­след­нее число в за­дан­ном диа­па­зо­не в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5:

Всего цифра «2» встре­ча­ет­ся 7 раз.

Ответ за­пи­ши­те в тро­ич­ной си­сте­ме (ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния в от­ве­те пи­сать не нужно).

Ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния равно 6₁₀ = 20₃.

№3. Сколь­ко еди­ниц со­дер­жит­ся в дво­ич­ной за­пи­си зна­че­ния вы­ра­же­ния: 4 2020 + 2 2017 – 15?

Число 2 4040 в дво­ич­ной за­пи­си за­пи­сы­ва­ет­ся как еди­ни­ца и 4040 нулей. До­ба­вив число 2 2017 , по­лу­ча­ем 100. 00100. 000 (еди­ни­ца, 2022 нулей, еди­ни­ца, 2017 нулей, всего 4040 раз­ряд­ных цифр). Если вы­честь из этого числа 2 4 = 10000₂ и при­ба­вить 2 0 , то число при­мет вид 100. 001. 10001. В по­лу­чен­ном числе еди­ни­ца, 2023 нуля, 2013 еди­ниц, три нуля и одна еди­ни­ца. Зна­чит, всего в числе 2015 еди­ниц.

№4. Сколь­ко еди­ниц со­дер­жит­ся в дво­ич­ной за­пи­си зна­че­ния вы­ра­же­ния: 4 2018 + 2 2018 – 32?

Число 2 4036 в дво­ич­ной за­пи­си за­пи­сы­ва­ет­ся как еди­ни­ца и 4036 нулей. До­ба­вив число 2 2018 , по­лу­ча­ем 100. 00100. 000 (еди­ни­ца, 2018 нулей, еди­ни­ца, 2018 нулей, всего 4037 раз­ряд­ных цифр). Если вы­честь из этого числа 2 5 = 100000₂, то число при­мет вид 100. 001. 100000. В по­лу­чен­ном числе еди­ни­ца, 2019 нулей, 2013 еди­ниц и пять нулей. Зна­чит, всего в числе 2014 еди­ниц.

Корни квад­рат­но­го урав­не­ния: 8 и −10. Сле­до­ва­тель­но, ос­но­ва­ние си­сте­мы счис­ле­ния равно 8.

№6. Ука­жи­те, сколь­ко всего раз встре­ча­ет­ся цифра 3 в за­пи­си чисел 19, 20, 21, …, 33 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 6.

За­пи­шем пер­вое и по­след­нее число в за­дан­ном диа­па­зо­не в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 6:

За­пи­шем по по­ряд­ку числа, в за­пи­си ко­то­рых встре­ча­ет­ся цифра 3, от до : 31₆, 32₆, 33₆, 34₆, 35₆, 43₆, 53₆. Всего цифра «3» встре­ча­ет­ся 8 раз.

№7. Ука­жи­те, сколь­ко всего раз встре­ча­ет­ся цифра 2 в за­пи­си чисел 13, 14, 15, …, 23 в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3.

За­пи­шем пер­вое и по­след­нее число в за­дан­ном диа­па­зо­не в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3:

За­пи­шем все числа из за­дан­но­го диа­па­зо­на, со­дер­жа­щие цифру «2»: 112, 120, 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212. Итого 2 встре­ча­ет­ся 13 раз.

№8. Ука­жи­те через за­пя­тую в по­ряд­ке воз­рас­та­ния все де­ся­тич­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 30, за­пись ко­то­рых в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 5 на­чи­на­ет­ся на 3?

Сна­ча­ла опре­де­лим за­пись числа 29 в пя­те­рич­ной си­сте­ме. . Вы­пи­шем числа, мень­шие за­пись ко­то­рых в пя­те­рич­ной си­сте­ме на­чи­на­ет­ся на 3: 3, 30, 31, 32, 33, 34.

Пе­ре­ве­дем их в де­ся­тич­ную си­сте­му счис­ле­ния. , , , , ,

№9. Ука­жи­те через за­пя­тую в по­ряд­ке воз­рас­та­ния все де­ся­тич­ные на­ту­раль­ные числа, не пре­вос­хо­дя­щие 17, за­пись ко­то­рых в тро­ич­ной си­сте­ме счис­ле­ния окан­чи­ва­ет­ся на две оди­на­ко­вые цифры?

Так как число в си­сте­ме счис­ле­ния с ос­но­ва­ни­ем 3 кон­ча­ет­ся на f , то ис­ко­мое число в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния при де­ле­нии на 3 долж­но да­вать оста­ток f (т. Е x =3 y + f . у — любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число, x — ис­ко­мое число) и част­ное от этого де­ле­ния также долж­но да­вать оста­ток f при де­ле­нии на 3 (т. е. y =3 z + f , z — любое целое не­от­ри­ца­тель­ное число). Сле­до­ва­тель­но, x=9z+4f .

Под­би­рая f и z , най­дем все на­ту­раль­ные ре­ше­ния этого урав­не­ния, не пре­вос­хо­дя­щие 17.

1. При f =1, z =0 x =4;

2. При f = 2, z =0 x =8;

3. При f = =0, z =1 x =9;

4. При f = 1, z =1 x =13;

5. При f = 2, z =1 x =17;

6. При f = 1, z =2 x =22.

За­ме­тим, что в по­след­нем ва­ри­ан­те ис­ко­мое число боль­ше 17, зна­чит, мы за­кан­чи­ва­ем пе­ре­счет на преды­ду­щем.

№10. Чему равно наи­мень­шее ос­но­ва­ние по­зи­ци­он­ной си­сте­мы счис­ле­ния x, при ко­то­ром 225_x = 405_y?

Ответ за­пи­сать в виде це­ло­го числа.

По­сколь­ку в левой и в пра­вой ча­стях есть цифра 5, оба ос­но­ва­ния боль­ше 5, то есть пе­ре­бор имеет смысл на­чи­нать с

Для каж­до­го x вы­чис­ля­ем зна­че­ние и ре­ша­ем урав­не­ние , при­чем нас ин­те­ре­су­ют толь­ко на­ту­раль­ные y >5

Для x =6 и x =7 нуж­ных ре­ше­ний нет, а для x =8 по­лу­ча­ем так что у=6