Найдите все тройки натуральных чисел удовлетворяющие уравнению

Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению 😡 ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 — xy — yz — zx = 0?

Алгебра | 10 — 11 классы

Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению :

x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 — xy — yz — zx = 0.

Заметим что данное уравнение равно нулю, когда :

получаем любой набор чисел, удовлетворяющих данному условию.

Для каждой тройки чисел найдите четвертое число 20 5 7?

Для каждой тройки чисел найдите четвертое число 20 5 7.

Тройка чисел x, у и z удовлетворяют неравенству x — y&gt ; z?

Тройка чисел x, у и z удовлетворяют неравенству x — y&gt ; z.

Какому из следующих неравенств не удовлетворяет эта тройка чисел?

В ответе запишите номер неравенства 1).

Тройка чисел x y и z удовлетворяют неравнству x — y&gt ; z Какому из следующих неравенств не удовлетворяет эта тройка чисел?

Тройка чисел x y и z удовлетворяют неравнству x — y&gt ; z Какому из следующих неравенств не удовлетворяет эта тройка чисел?

Найдите какую — нибудь пару натуральных чисел a и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a ^ 13×b ^ 31 = 6 ^ 2015?

Найдите какую — нибудь пару натуральных чисел a и b, больших 1, удовлетворяющих уравнению a ^ 13×b ^ 31 = 6 ^ 2015.

Найти все тройки натуральных чисел k, m, n, удовлетворяющих уравнению : 2 * k?

Найти все тройки натуральных чисел k, m, n, удовлетворяющих уравнению : 2 * k!

Помогите пожалуйста : ) Найдите все пары чисел, удовлетворяющих уравнению 9х ^ 2 — y ^ 2 = 3?

Помогите пожалуйста : ) Найдите все пары чисел, удовлетворяющих уравнению 9х ^ 2 — y ^ 2 = 3.

ПОЖАЛУЙСТА?

Найдите все пары натуральных чисел удовлетворяющих уравнению xy — 2x — y = 11.

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x2 — y2 = 69?

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению x2 — y2 = 69.

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнениюxy + 3x = y + 8?

Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению

НАЙДИТЕ ВСЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА X И Y, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЮ ?

НАЙДИТЕ ВСЕ ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА X И Y, УДОВЛЕТВОРЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЮ :

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Найдите все тройки чисел, удовлетворяющих уравнению 😡 ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 — xy — yz — zx = 0?, относящийся к категории Алгебра. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Б решать таким же образом, но вычесть корни дискриминанта и действовать дальше.

math4school.ru

Уравнения в целых числах

Немного теории

Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.

Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение

не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.

Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.

В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего способа, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.

При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы:

способ перебора вариантов;

применение алгоритма Евклида;

представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;

разложения на множители;

решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;

метод бесконечного спуска.

Задачи с решениями

1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2y 2 = 7.

Запишем уравнение в виде (x – 2y)(x + y) = 7.

Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:

1) x – 2y = 7, x + y = 1;

2) x – 2y = 1, x + y = 7;

3) x – 2y = –7, x + y = –1;

4) x – 2y = –1, x + y = –7.

Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).

Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).

2. Решить в целых числах уравнение:

а) 20х + 12у = 2013;

в) 201х – 1999у = 12.

а) Поскольку при любых целых значениях х и у левая часть уравнения делится на два, а правая является нечётным числом, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений нет.

б) Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,

Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то

Значит, общее решение:

х = 1 + 7k, у = 2 – 5k,

где k – произвольное целое число.

Ответ: (1+7k; 2–5k), где k – целое число.

в) Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:

НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1.

Запишем этот процесс в обратном порядке:

1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) =

= 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 =

= 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999.

Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201х – 1999у = 1. Тогда пара чисел

x₀ = 1273·12 = 15276, y₀ = 128·12 = 1536

является решением уравнения 201х – 1999у = 12.

Общее решение этого уравнения запишется в виде

х = 15276 + 1999k, у = 1536 + 201k, где k – целое число,

или, после переобозначения (используем, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201),

х = 1283 + 1999n, у = 129 + 201n, где n – целое число.

Ответ: (1283+1999n, 129+201n), где n – целое число.

3. Решить в целых числах уравнение:

а) x 3 + y 3 = 3333333;

б) x 3 + y 3 = 4(x 2 y + xy 2 + 1).

а) Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в разделе «Делимость целых чисел и остатки»), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

б) Перепишем исходное уравнение в виде (x + y) 3 = 7(x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: целочисленных решений нет.

а) в простых числах уравнение х 2 – 7х – 144 = у 2 – 25у;

б) в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .

а) Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у. Получим

у = х + 9 или у = 16 – х.

Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).

Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х имеем

С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).

б) Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x:

x 2 – (y + 1)x + y 2 – y = 0.

Дискриминант этого уравнения равен –3y 2 + 6y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у: 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х, которое легко решается.

Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

5. Существует ли бесконечное число троек целых чисел x, y, z таких, что x 2 + y 2 + z 2 = x 3 + y 3 + z 3 ?

Попробуем подбирать такие тройки, где у = –z. Тогда y 3 и z 3 будут всегда взаимно уничтожаться, и наше уравнение будет иметь вид

Чтобы пара целых чисел (x; y) удовлетворяла этому условию, достаточно, чтобы число x–1 было удвоенным квадратом целого числа. Таких чисел бесконечно много, а именно, это все числа вида 2n 2 +1. Подставляя в x 2 (x–1) = 2y 2 такое число, после несложных преобразований получаем:

y = xn = n(2n 2 +1) = 2n 3 +n.

Все тройки, полученные таким образом, имеют вид (2n 2 +1; 2n 3 +n; –2n 3 – n).

6. Найдите такие целые числа x, y, z, u, что x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = 2xyzu.

Число x 2 + y 2 + z 2 + u 2 чётно, поэтому среди чисел x, y, z, u чётное число нечётных чисел.

Если все четыре числа x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 делится на 4, но при этом 2xyzu не делится на 4 – несоответствие.

Если ровно два из чисел x, y, z, u нечётны, то x 2 + y 2 + z 2 + u 2 не делится на 4, а 2xyzu делится на 4 – опять несоответствие.

Поэтому все числа x, y, z, u чётны. Тогда можно записать, что

и исходное уравнение примет вид

Теперь заметим, что (2k + 1) 2 = 4k(k + 1) + 1 при делении на 8 даёт остаток 1. Поэтому если все числа x₁, y₁, z₁, u₁ нечётны, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится на 8. А если ровно два из этих чисел нечётно, то x₁ 2 + y₁ 2 + z₁ 2 + u₁ 2 не делится даже на 4. Значит,

и мы получаем уравнение

Снова повторив те же самые рассуждения, получим, что x, y, z, u делятся на 2 n при всех натуральных n, что возможно лишь при x = y = z = u = 0.

7. Докажите, что уравнение

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 30

не имеет решений в целых числах.

Воспользуемся следующим тождеством:

(х – у) 3 + (y – z) 3 + (z – x) 3 = 3(х – у)(y – z)(z – x).

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

(х – у)(y – z)(z – x) = 10.

Обозначим a = x – y, b = y – z, c = z – x и запишем полученное равенство в виде

Кроме того очевидно, a + b + c = 0. Легко убедиться, что с точностью до перестановки из равенства abc = 10 следует, что числа |a|, |b|, |c| равны либо 1, 2, 5, либо 1, 1, 10. Но во всех этих случаях при любом выборе знаков a, b, c сумма a + b + c отлична от нуля. Таким образом, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.

8. Решить в целых числах уравнение 1! + 2! + . . . + х! = у 2 .

если х = 1, то у 2 = 1,

если х = 3, то у 2 = 9.

Этим случаям соответствуют следующие пары чисел:

Заметим, что при х = 2 имеем 1! + 2! = 3, при х = 4 имеем 1! + 2! + 3! + 4! = 33 и ни 3, ни 33 не являются квадратами целых чисел. Если же х > 5, то, так как

5! + 6! + . . . + х! = 10n,

можем записать, что

1! + 2! + 3! + 4! + 5! + . . . + х! = 33 + 10n.

Так как 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3, то оно не является квадратом целого числа.

Ответ: (1; 1), (1; –1), (3; 3), (3; –3).

9. Решите следующую систему уравнений в натуральных числах:

a 3 – b 3 – c 3 = 3abc, a 2 = 2(b + c).

3abc > 0, то a 3 > b 3 + c 3 ;

таким образом имеем

b 2 2 + х = у 4 + у 3 + у 2 + у.

Разложив на множители обе части данного уравнения, получим:

х(х + 1) = у(у + 1)(у 2 + 1),

х(х + 1) = (у 2 + у)(у 2 + 1)

Такое равенство возможно, если левая и правая части равны нулю, или представляют собой произведение двух последовательных целых чисел. Поэтому, приравнивая к нулю те или иные множители, получим 4 пары искомых значений переменных:

Произведение (у 2 + у)(у 2 + 1) можно рассматривать как произведение двух последовательных целых чисел, отличных от нуля, только при у = 2. Поэтому х(х + 1) = 30, откуда х₅ = 5, х₆ = –6. Значит, существуют ещё две пары целых чисел, удовлетворяющих исходному уравнению:

Ответ: (0; 0), (0; –1), (–1; 0), (–1; –1), (5; 2), (–6; 2.)

Задачи без решений

1. Решить в целых числах уравнение:

б) х 2 + у 2 = х + у + 2.

2. Решить в целых числах уравнение:

а) х 3 + 21у 2 + 5 = 0;

б) 15х 2 – 7у 2 = 9.

3. Решить в натуральных числах уравнение:

4. Доказать, что уравнение х 3 + 3у 3 + 9z 3 = 9xyz в рациональных числах имеет единственное решение

5. Доказать, что уравнение х 2 + 5 = у 3 в целых числах не имеет решений.

Найдите все тройки натуральных чисел удовлетворяющие уравнению

Задача C6

Для записи решений и ответов на задания С6 используйте бланк ответов № 2 .

Запишите сначала номер выполняемого задания С6 , а затем полное обоснованное решение и ответ.

Делители

01_R3 Число N равно произведению 10 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число N ?

02_R2 Число P равно произведению 11 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число P ?

03_R1 Число A равно произведению 12 различных натуральных чисел, больших 1. Какое наименьшее число различных натуральных делителей (включая единицу и само число) может иметь число A ?

04_P31 Натуральные числа a , b , c таковы, что НОК ( a , b ) = 126, НОК ( a , c ) = 168. Найдите НОК ( b , c ).

05_P23 У натурального числа ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 104. Найдите это число.

06_P24 У натурального числа ровно 9 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 741. Найдите это число.

07_P25 У натурального числа ровно 9 натуральных делителей Сумма этих делителей равна 1281. Найдите это число.

08_P26 натурального числа ровно 7 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 19531. Найдите это число

09_P27 У натурального числа ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 1140. Найдите это число.

10_P28 Найдите наименьшее трехзначное натуральное число, квадрат которого при делении на 5 дает остаток 4.

11_P10 Найдите все такие простые числа p , для каждого из которых существует такое целое число k , что число p является общим делителем чисел и .

12_P11 Найдите все такие простые числа p , для каждого из которых существует такое целое число k , что число p является общим делителем чисел и .

13_P13 Найдите все простые числа b , для каждого из которых существует такое целое число а , что дробь можно сократить на b .

14_P14 Найдите все простые числа b , для каждого из которых существует такое целое число а , что дробь можно сократить на b .

15_P15 Найдите все простые числа b , для каждого из которых существует такое целое число а , что дробь можно сократить на b .

Уравнения в целых числах

16_P1 Найдите все целые значения x и y , для которых верно равенство .

17_P2 Найдите все целые значения x и y , для которых верно равенство .

18_P3 Найдите все натуральные значения m , n , р , для которых выполняется условие .

19_P4 Найдите все натуральные значения m , n , р , для которых выполняется условие .

20_P12 Найдите все пары натуральных чисел k и n таких, что и .

21_P16 Найдите все целые значения m и k такие, что .

22_P19 Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки.

23_P18 Решите в натуральных числах уравнение `(m, n)» align=»center» border=»0″>.

Десятичная форма записи числа

24_P22 Два двузначных числа, записанных одно за другим, образуют четырёхзначное число, которое делится на их произведение. Найти эти числа.

25_P35 Найдите все пары натуральных чисел a и b , удовлетворяющие равенству (в правой части стоит число, полученное дописыванием десятичной записи числа a после десятичной записи числа b ).

26_P36 Найдите все пары натуральных чисел a и b , удовлетворяющие равенству (в правой части стоит число, полученное дописыванием десятичной записи числа a после десятичной записи числа b ).

27_D9 Найдите все пары натуральных чисел a и b , удовлетворяющие равенству (в левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа a перед десятичной записью числа b ).

28_D12 Найдите все пары натуральных чисел a и b , удовлетворяющие равенству (в левой части равенства стоит число, получаемое приписыванием десятичной записи числа a перед десятичной записью числа b ).

Факториал

29_P20 Найдите все тройки натуральных чисел k , m и n , удовлетворяющие уравнению .

30_D20 Найдите все тройки натуральных чисел k , m и n , удовлетворяющие уравнению

31_P21 Найдите все тройки натуральных чисел k , m и n , удовлетворяющие уравнению .

32_P32 Найдите все тройки натуральных чисел k , m и n , удовлетворяющие уравнению .

33_D37 Решите в натуральных числах уравнение . (Для натурального n символом n ! обозначается произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ . ⋅ n ).

34_D38 Решите в натуральных числах уравнение . (Для натурального n символом n ! обозначается произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ . ⋅ n ).

Сравнение чисел

35_P29 Найдите все положительные значения а , при каждом из которых наименьшее из двух чисел и больше −7.

36_P5 Сумма шестнадцати чисел равна 0.5. Оказалось, что сумма каждых пятнадцати из этих шестнадцати чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел?

37_P6 Сумма восьми чисел равна . Оказалось, что сумма каждых семи из этих восьми чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел?

38_D3 Наибольшее целое число, не превосходящее число x , равно . Найдите все такие действительные значения x .

39_D6 Наибольшее целое число, не превосходящее , равно . Найдите все такие действительные значения x .

40_P17 Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами и , найдите такую, знаменатель которой минимален.

Прогрессии и последовательности

41_P33 Какое наибольшее число членов может иметь геометрическая прогрессия, все члены которой – различно натуральные числа, большие 210 и меньшие 350?

42_P34 Какое наибольшее число членов может иметь геометрическая прогрессия, все члены которой – различно натуральные числа, большие 250 и меньшие 630?

43_D19 Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

44_P7 Перед каждым из чисел 10, 11, . , 18 и 2, 3, . , 12 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 99 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

45_D1 Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

46_D8 Перед каждым из чисел 5, 6, …, 10 и 12, 13, …, 16 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

47_D49 Гидролог вводит в компьютер измерения температуры забортнойводы. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса. За время наблюдений температура наблюдалась выше 10°C но ниже 17°C. Всего гидролог ввел 32 измерения, но из-за усталости, качки судна и плохой клавиатуры один раз вместо десятичной запятой гидролог нажал клавишу «0», а другой раз вообще не нажал десятичную запятую.
После упорядочивания данных получился ряд из 32 чисел, начинающийся числами 12,2; 12,8.
Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся равно 68,8. Если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся равно 13,7. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил гидролог.

48_D50 Метеоролог вводит в компьютер измерения температуры воздуха. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса. За все время наблюдений температура наблюдалась выше 20° но ниже 26°. Всего метеоролог ввел 22 измерения, но из-за усталости и плохой клавиатуры один раз вместо десятичной запятой метеоролог нажал клавишу «0», а другой раз вообще не нажал десятичную запятую.
После упорядочивания данных получился ряд из 22 чисел, начинающийся числами 21,3; 21,7.
Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся равно 149,53. Если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся равно 23,28. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил метеоролог.

C6_D38 Решите в натуральных числах уравнение . (Для натурального n символом n ! обозначается произведение 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ . ⋅ n ).