Найдите значение параметра а система уравнений

Задача 51860 Найдите значение параметра а, при.

Условие

Найдите значение параметра а, при которых система уравнений

имеет ровно одно решение.

Решение

если 6-5а+a^2=0 ⇒ а=2 или a=3

то уравнение принимает вид:

(26-22)х+28=0 или (26-33)х+28=0

x=-7 или x=4 — уравнения имеют одно решение

если 6-5а+a^2 ≠ 0, то квадратное уравнение имеет одно решение, если дискриминант квадратного уравнения D=0 ⇒

Задания по теме «Системы уравнений с параметром»

Открытый банк заданий по теме системы уравнений с параметром. Задания C6 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1227

Условие

Найдите все значения a > 0, при каждом из которых система \begin(x-4)^2+(|y|-4)^2=9,\\ x^2+(y-4)^2=a^2\end имеет ровно 2 решения.

Решение

Если y \geqslant 0, то первое уравнение задаёт окружность \phi _1 с центром в точке C_1 (4; 4) радиуса 3 , а если y то оно задаёт окружность \phi _2 с центром в точке C_2 (4; -4) того же радиуса.

При a > 0 второе уравнение задаёт окружность \phi с центром в точке C(0; 4) радиуса a . Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра a , при каждом из которых окружность \phi имеет ровно две общие точки с объединением окружностей \phi _1 и \phi _2.

Координаты точки касания окружностей \phi и \phi _1 явно видны на чертеже — точки A_1 (1; 4) и B_1 (7; 4) . То есть при a=CA_1=1 и a=CB_1=7 окружности \phi и \phi _1 касаются. При a > 7 и a окружности \phi и \phi _1 не пересекаются, при 1 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки.

Далее, из точки C проведём луч CC_2 и обозначим A_2 и B_2 точки его пересечения с окружностью \phi_2 , где A_2 лежит между C и C_2. Заметим, что длина отрезка CC_2= \sqrt <4^2+(4-(-4))^<2>>= \sqrt <80>= 4\sqrt 5.

При a или a > CB_2 окружности \phi и \phi_2 не пересекаются. При CA_2 окружности \phi и \phi _2 имеют 2 общие точки. При a =CA_2=4\sqrt 5-3 или a=CB_2=4\sqrt 5+3, окружности \phi и \phi _2 касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность \phi с одной из окружностей \phi _1 и \phi _2 имеет 2 общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как 1 то условию задачи удовлетворяют значения a\in (1;4\sqrt 5-3) \cup (7; 4\sqrt 5+3).

Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность. Вторая часть.

В первой части мы рассматривали системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), все коэффициенты которых были известны. В этой же части разберём СЛАУ, среди коэффициентов которых есть некий параметр. Для исследования СЛАУ на совместность станем использовать теорему Кронекера-Капелли. В процессе решения примеров на данной странице будем применять метод Гаусса или же метод Крамера. Сформулируем теорему и следствие из неё ещё раз:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. $\rang A=\rang\widetilde$.

Следствие из теоремы Кронекера-Капелли

Параметр $n$, использованный выше, равен количеству переменных рассматриваемой СЛАУ.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& kx_1+2x_2+x_3=8;\\ & -x_1+x_2+2x_3=7;\\ & x_2+kx_3=5.\end\right.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Сделать это можно несколькими путями. Стоит учесть, что в данном примере нам требуется не только исследовать систему на совместность, но и указать её решения. Мне кажется наиболее удобным в таких задачах применять метод Гаусса, однако это вовсе не является обязательным. Для разнообразия данный пример решим методом Гаусса, а следующий – методом Крамера. Итак, запишем и начнём преобразовывать расширенную матрицу системы. При записи расширенной матрицы системы поменяем местами первую и вторую строки. Это нужно для того, чтобы первым элементом первой строки стало число -1.

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\ k & 2 & 1 & 8\\ 0 & 1 & k & 5 \end \right) \begin \phantom <0>\\ r_2+k\cdot\\ \phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k\\ 0 & 1 & k & 5 \end \right)\rightarrow\left|\begin&\text<меняем местами>\\&\text<вторую и третью строки>\end\right|\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 2+k & 1+2k & 8+7k \end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-(2+k)\cdot\end \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Напомню, что до черты расположена преобразованная матрица матрица системы: $\left(\begin-1 & 1 &2\\0 & 1 & k\\ 0 & 0 & 1-k^2\end \right)$.

Каким бы ни было значение параметра $k$, полученная нами после преобразований матрица будет содержать не менее двух ненулевых строк (первая и вторая строки точно останутся ненулевыми). Вопрос о количестве решений зависит лишь от третьей строки.

В следствии из теоремы Кронекера-Капелли указаны три случая, и в данном примере легко рассмотреть каждый из них. Начнём с варианта $\rang A\neq\rang\widetilde$, при котором система не имеет решений, т.е. несовместна.

$\rang A\neq\rang\widetilde$

Ранги будут не равны друг другу лишь в одном случае: когда $1-k^2=0$, при этом $2k-2\neq<0>$. В этом случае преобразованная матрица системы будет содержать две ненулевых строки (т.е. $\rang A=2$), а преобразованная расширенная матрица системы будет содержать три ненулевых строки (т.е. $\rang \widetilde=3$). Иными словами, нам требуется решить систему уравнений:

Из первого уравнения имеем: $k=1$ или $k=-1$, однако $k\neq<1>$, поэтому остаётся лишь один случай: $k=-1$. Следовательно, при $k=-1$ система не имеет решений.

$\rang A=\rang\widetilde<3$

Рассмотрим второй пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой, но меньше, чем количество переменных (т.е. меньше 3). Это возможно лишь в том случае, если последняя строка преобразованной расширенной матрицы системы полностью станет нулевой, т.е.

Из данной системы имеем: $k=1$. Именно при $k=1$ третья строка преобразованной расширенной матрицы системы станет нулевой, поэтому $\rang=\rang\widetilde=2$. При этом, повторюсь, у нас всего три переменных, т.е. имеем случай $\rang A=\rang\widetilde=2<3$.

Система имеет бесконечное количество решений. Найдём эти решения. Подставим $k=1$ в преобразованную матрицу и продолжим операции метода Гаусса. Третью строку (она станет нулевой) просто вычеркнем:

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end \right)\rightarrow|k=1|\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & 1 & 5 \end \right) \rightarrow\left|\begin&\text<переносим третий столбец>\\&\text<за черту>\end\right|\rightarrow \\ \rightarrow\left(\begin-1 & 1 &-2 &7\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) \begin r_1-r_2\\\phantom<0>\end \rightarrow\left(\begin-1 & 0 &-1 &2\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow\left(\begin1 & 0 &1 &-2\\0 & 1 & -1 & 5\end\right) $$

$\rang A=\rang\widetilde=3$

Рассмотрим третий пункт следствия из теоремы Кронекера-Капелли – ранги равны между собой и равны количеству переменных. Это возможно лишь в том случае, если $1-k^2\neq<0>$, т.е. $k\neq<-1>$ и $k\neq<1>$. Продолжаем решение методом Гаусса:

$$ \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1-k^2 & 2k-2 \end\right)\rightarrow \left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & (1-k)(1+k) & -2(1-k) \end\right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3:((1-k)(1+k))\end \rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin -1 & 1 &2 &7 \\0 & 1 & k & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin r_1-2r_3\\r_2-k\cdot\\\phantom<0>\end \rightarrow \left(\begin -1 & 1 &0 &(7k+11)/(k+1) \\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin r_1-r_2\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow \left(\begin -1 & 0 &0 &6/(k+1)\\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) \begin -1\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 &0 &-6/(k+1)\\0 & 1 & 0 & (7k+5)/(k+1) \\ 0 & 0 & 1 & -2/(1+k) \end\right) $$

Исследовать СЛАУ $\left\ <\begin& 2kx_1+x_2+x_3=0;\\ & x_1-x_2+kx_3=1;\\ & (k-6)x_1+2x_2-4x_3=-3.\end\right.$ на совместность и найти решение системы при тех значениях параметра, при которых она совместна.

Вновь, как и в предыдущем примере, для того, чтобы исследовать заданную систему на совместность, нам нужно найти ранг матрицы системы $A$ и ранг расширенной матрицы системы $\widetilde$. Чтобы исследовать систему на совместность и указать количество решений применим метод Крамера. Можно было бы решить и методом Гаусса, однако в предыдущем примере мы его уже использовали, поэтому для разнообразия решим задачу с помощью метода Крамера. Начнём с вычисления определителя матрицы системы. Этот определитель мы получим с помощью готовой формулы.

Значения переменных $x_1$, $x_2$, $x_3$ будут такими:

Нам остаётся исследовать совместность системы при условии $\Delta=0$. Это равенство возможно при $k=0$ или $k=1$.

Случай $k=0$

Нам остаётся рассмотреть последний случай: $k=1$.

Случай $k=1$

Для наглядности я запишу здесь матрицу системы $A$ и расширенную матрицу системы $\widetilde$, подставив $k=1$:

Если $k=1$, то $\Delta=0$. Это значит, что $\rang≤2$. Рассмотрим миноры второго порядка матрицы $A$. Например, возьмём минор, образованный на пересечении строк №1, №2 и столбцов №1, №2: $M=\left|\begin2 & 1\\ 1 & -1\end\right|=-3$. Так как $M\neq<0>$, то ранг матрицы $A$ равен 2.

Задача решена, осталось лишь записать ответ.

Разберём ещё один пример, в котором рассмотрим СЛАУ с четырьмя уравнениями.

Исследовать СЛАУ $ \left \ <\begin& kx_1+x_2+x_3+x_4=1;\\ & x_1+kx_2+x_3+x_4=1;\\ & x_1+x_2+kx_3+x_4=1;\\ & x_1+x_2+x_3+kx_4=1.\end\right.$ на совместность и найти решение системы в зависимости от значений параметра $k$.

Применим метод Гаусса. При записи расширенной матрицы системы поместим первую строку вниз, на место четвёртой строки. А дальше начнём стандартные операции метода Гаусса.

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1 \\ 1 & 1 &k &1&1 \\ 1 & 1 &1 &k&1 \\ k & 1 &1 &1&1 \end \right) \begin \phantom<0>\\r_2-r_1\\r_3-r_1\\r_4-k\cdot\end\rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 1-k &0&k-1&0\\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-k\end \right) $$

Здесь можно было бы остановиться и рассмотреть случаи $k=1$ и $k\neq<1>$ отдельно. Цель таких действий: разделить вторую, третью и четвёртую строки на $k-1$ при условии $k-1\neq<0>$. Однако пока что полученная нами матрица содержит не столь уж громоздкие элементы, поэтому сейчас отвлекаться на частности я не вижу смысла. Продолжим преобразования в общем виде:

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 1-k &0&k-1&0\\ 0 & 1-k^2 &1-k &1-k&1-k\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3-r_2\\r_4-(k+1)r_2\end\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\\ 0 & 0 &(1-k)(k+2) &1-k&1-k\end \right) \begin \phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_4-(k+2)r_3\end\rightarrow \\ \rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1-k &k-1 &0&0\\ 0 & 0 &1-k&k-1&0\\ 0 & 0 &0&(1-k)(k+3)&1-k\end \right) $$

Мы привели расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. До черты расположена преобразованная матрица системы. Ранги матриц $A$ и $\widetilde$ зависят от значения параметра $k$. Рассмотрим три случая: $k=1$, $k=-3$ и случай $k\neq<1>$, $k\neq<-3>$.

Случай $k=-3$

Случай $k=1$

Если $k=1$, то преобразованная матрица станет такой: $\left(\begin 1 & 1 &1 &1&1\\ 0 & 0 &0 &0&0\\ 0 & 0 &0&0&0\\ 0 & 0 &0&0&0\end\right)$. Ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны между собой (и равны 1), но меньше, чем количество переменных, т.е. $\rang=\rang<\widetilde>=1<4$. Вывод: система является неопределённой. Общее решение системы непосредственно получим из первой строки записанной матрицы:

$$x_1+x_2+x_3+x_4=1\; \Rightarrow \; x_1=-x_2-x_3-x_4+1.$$

Случай $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$

Продолжим решение методом Гаусса. Так как $k\neq<1>$ и $\neq<-3>$, то $(1-k)(k+3)\neq<0>$. Следовательно, мы можем разделить вторую и третью строки на $1-k$, четвёртую строку – на выражение $(1-k)(k+3)$. С полученной после этого матрицей продолжим операции обратного хода метода Гаусса:

$$ \left(\begin 1 & k &1 &1&1\\ 0 & 1 &-1 &0&0\\ 0 & 0 &1&-1&0\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end \right) \begin r_1-r_4\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\r_3+r_4\end\rightarrow \left(\begin 1 & k &1 &0&\frac\\ 0 & 1 &-1 &0&0\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) \begin r_1-r_3\\r_2+r_3\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow\\ \rightarrow\left(\begin 1 & k &0 &0&\frac\\ 0 & 1 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) \begin r_1-k\cdot\\\phantom<0>\\\phantom<0>\\\phantom<0>\end\rightarrow \left(\begin 1 & 0 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 1 &0 &0&\frac<1>\\ 0 & 0 &1&0&\frac<1>\\ 0 & 0 &0&1&\frac<1>\end\right) $$

Из последней матрицы имеем: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>$.

• При $k=-3$ система несовместна.
• При $k=1$ система является неопределённой. Общее решение системы: $\left\<\begin& x_1=-x_2-x_3-x_4+1;\\&x_2\in,\;x_3\in,\;x_4\in. \end\right.$
• При $k\neq<-3>$ и $k\neq<1>$ система является определённой. Решение системы: $x_1=x_2=x_3=x_4=\frac<1>$.