Найдите значение параметра р такое что система уравнений

Системы уравнений с двумя переменными и параметрами

п.1. Решение системы линейных уравнений с параметром

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
Система имеет одно решение, если главный определитель не равен нулю: $$ \Delta = \begin \mathrm & 1 \\ 1 & \mathrm \end= a^2-1\neq 0 \Rightarrow a\neq \pm 1 $$

Ответ: при всех действительных a, кроме a ≠ ± 1.

п.2. Решение системы нелинейных уравнений с параметром

При решении системы нелинейных уравнений с параметром чаще всего используем графический метод (см. §15 данного справочника).

Например:
При каком значении a система уравнений имеет одно решение: \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \).
\( \mathrm \) – уравнение окружности с центром в начале координат, и переменным радиусом a.
\( \mathrm \) – уравнение прямой.
Система имеет одно решение, если прямая является касательной к окружности:

Точка A является решением: x = 1, y = 1.
Подставляем найденное решение в уравнение для окружности: 1 2 + 1 2 = 2 $$ \mathrm> $$

п.3. Примеры

Пример 2. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=4>& \\ \mathrm <(x-3)^2+(y-3)^2=(a+1)^2>& \end\right. \) имеет единственное решение.
Первое уравнение – квадрат с вершинами (±4; 0),(0; ±4); второе уравнение – окружность переменного радиуса с центром в точке (3; 3).

Единственное решение соответствует радиусу \( \mathrm>. \)
При увеличении радиуса будет 2, 3 или 4 точки пересечения. При дальнейшем увеличении окружность становится слишком большой, пересечений с квадратом нет.
Получаем:\( \mathrm<|a+1|=\sqrt<2>\Rightarrow a+1=\pm\sqrt<2>\Rightarrow a_<1,2>=-1\pm\sqrt<2>>. \)

Пример 3. Найти все значения параметра a, при каждом из которых система
\( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \) имеет единственное решение. $$ \left\< \begin < l >\mathrm \left[\begin < l >\mathrm <4-2x,\ \ x\lt 0>& \\ \mathrm <4,\ \ 0\leq x\leq 4>& \\ \mathrm <2x-4,\ \ x\gt 0>& \end\right. & \\ \mathrm & \end\right. $$ Первое уравнение – ломаная, второе – парабола ветками вниз с подвижной вершиной на оси x = 2.

При (a – 1) 2 2 = 4 одно решение.
При (a – 1) 2 > 4 два решения.
Получаем:\( \mathrm <(a-1)^2=4\Rightarrow a-1=\pm 2\Rightarrow>\left[\begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)

Система уравнений с параметром.

Задача 1

Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \[\left\< \begin ((x+5)^2+y^2-a^2)\ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ ((x+5)^2+y^2-a^2)(x+y+5-a) = 0 \\ \end\right. \] имеет два различных решения.

Условие получено от пользователей сайта alexlarin.net.

Задача хорошо решается графическим методом. Мне она показалась интересной тем, что, в отличие от обычной практики, в процессе размышлений здесь графики лучше размещать на отдельных рисунках. Привожу полное решение этой задачи в качестве очередного примера заданий ЕГЭ на параметр.

Подробное решение

Решение любой задачи, содержащей алгебраические выражения, должно начинаться с анализа области допустимых значений (ОДЗ) этих выражений. Особенно важно не забывать об этом при решении заданий второй части ЕГЭ профильного уровня.

Здесь одно из уравнений содержит натуральный логарифм, область определения которого ограничена. Следовательно \[9-x^2-y^2>0; \\ 9>x^2+y^2; \\ x^2+y^2 Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Приравняем поочередно каждый сомножитель к нулю, преобразуем к виду, удобному для графического представления и проанализируем его вклад в решение отдельных уравнений и всей системы в целом.
Начнем с сомножителя, общего для обоих уравнений.

\[ (x+5)^2+y^2-a^2 = 0; \\ (x+5)^2+y^2=a^2 \]

Получили уравнение окружности на координатной плоскости. Радиус окружности равен абсолютному значению параметра а. В случае, когда а = 0, окружность вырождается в точку. (Не забываем, что r = |а| потому, что нужно рассмотреть все возможные значения параметра, в том числе и отрицательные, которые при возведении в квадрат удовлетворяют уравнению окружности.) Центр окружности расположен в точке с координатами <−5;0>. Изобразим несколько таких окружностей для различных значений параметра а.
Так как рассматриваемый сомножитель входит в оба уравнения системы, то все точки этих окружностей могут быть искомыми решениями системы. Но реально являются таковыми только те из них, которые входят в ОДЗ, т.е. те участки окружностей, которые пересекают упомянутый выше круг радиуса 3.

Анализируем рисунок:
— (красные) окружности, радиусы которых меньше 2 или больше 8 не имеют общих точек с (голубым) кругом, т.е. при \(|a| \in [0;2) \cup (8;+\infty)\) рассматриваемый сомножитель не дает вклада в решение системы,
— окружности c r = 2 и r = 8 касаются границы голубого круга, но она не входит в ОДЗ, поэтому при \(|a| = 2\) и \(|a| = 8\) рассматриваемый сомножитель также не даст вклада в решение системы,
— в случае, когда радиус окружности принадлежит промежутку (2;8), она пересекается с кругом ОДЗ в двух точках и решением системы являются все точки дуги (красной) окружности, лежащей внутри этого (голубого) круга. Таких точек, а следовательно и решений системы, бесконечное множество.

Выводы:
1) при \(a \in (-8; -2)\cup (2;8)\) система уравнений имеет бесконечное множество решений;
2) при \(a \in (-\infty; -8] \cup [-2;2] \cup[8;+\infty)\) сомножитель \(((x+5)^2+y^2-a^2)\) не дает вклада в решения системы, поэтому при некоторых значениях параметра а из этого диапазона система может иметь два различных решения, если таковые будут получены из анализа оставшихся двух сомножителей.

Итак, продолжаем искать решения заданной системы уравнений среди решений следующей системы, содержащей оставшиеся два сомножителя \[\left\< \begin \ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ (x+y+5-a) = 0. \\ \end\right. \] Последняя равносильна заданной при условии, что нас не интересует случай, когда \((x+5)^2+y^2-a^2 = 0\). В дальнейшем эту систему я буду называть сокращенной.

Преобразуем уравнения, чтобы построить графики \[ \ln <(9-x^2-y^2)>= 0; \\ 9-x^2-y^2 = 1; \\ 9-1 = x^2+y^2 ; \\ x^2+y^2 =8. \] Получили уравнение окружности на координатной плоскости. Радиус окружности равен \(\sqrt<8>\), центр находится в точке <0;0>. Вся эта окружность находится в области допустимых значений исходной (заданной в условии) системы уравнений. На рисунке она изображена сплошной синей линией. \[(x+y+5-a) = 0 \\ x+y+5=a ; \\ y = -x + (a-5) \] Получили уравнение прямой на координатной плоскости. Прямая проходит параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов (тангенс угла наклона равен −1) и пересекает ось ординат в точке \(a-5\). Изобразим несколько таких прямых для различных значений параметра а.

Решением сокращенной системы уравнений будут точки пересечения окружности \(r = \sqrt<8>\) с этими прямыми. Прямые могут пересекать окружность в двух точках, касаться её в одной точке или вообще не иметь общих точек с окружностью. Нас интересуют те из них, которые имеют по два пересечения, что будет соответствовать двум различным решениям системы уравнений. Как видно по рисунку, такие прямые находятся между двумя касательными к окружности. Нужно уточнить их уравнения, чтобы найти соответствующие пределы изменения параметра a.

Если вы очень точно и крупно изобразили координатную плоскость на чертеже, то можно попытаться определить точки касания по рисунку. Например, на увеличенном рисунке с иконкой лупы видно, что касание происходит в точках с координатами <2;2>и <−2;−2>. Однако не забывайте, что экзамен не проверяет ваш глазомер, и истинное значение координаты может отличаться на десятые или сотые доли от видимого, тем более, что радиус окружности у нас имеет иррациональное значение \(\sqrt<8>\). Поэтому, как минимум, необходимы проверка предполагаемых значений координат подстановкой в уравнение окружности и геометрическое обоснование касания. Ещё лучше точно вычислить точки касания через производную и уравнения касательных.

Например, для точки <2;2>применим первый способ:
— пусть x = 2 и y = 2, тогда \(x^2+y^2 = 2^2+2^2 = 4+4=8\), значит точка лежит на окружности;
— радиус, проведенный в эту точку, совпадает с диагональю квадрата 2×2, которая проходит под углом 45° к положительному направлению оси Ох и поэтому перпендикулярна к рассматриваемым (зелёным) прямым. Таким образом, выполняется условие: радиус окружности перпендикулярен касательной.
(Примечания: I.Имелся в виду квадрат с вершинами в точках <0;0>, <0;2> <2;2>и <2;0>). II.Тангенс угла наклона наших прямых равен −1, следовательно они проходят под углом 135° к положительному направлению оси Ох.)

В качестве второго примера, левую точку касания полностью найдём через производную и уравнение касательной. Нижняя часть окружности соответствует графику функции \[ y = — \sqrt <8-x^2>\] Вычислим производную этой функции \[ y’ = (- \sqrt<8-x^2>)’ = -\dfrac<1\cdot(8-x^2)'><2\sqrt<8-x^2>> = -\dfrac<-2x><2\sqrt<8-x^2>> = \dfrac<\sqrt<8-x^2>> \] Приравняем производную к тангенсу угла наклона искомой касательной, т.е. в нашем случае к −1 и решим уравнение относительно x. \[\dfrac<\sqrt<8-x^2>> = -1;\\ x = — \sqrt<8-x^2>; \; x^2 = 8-x^2; \\ 2x^2 = 8; \; x^2 = 4; \; x = \pm2.\] Нашли абсциссы точек касания. Подстановкой в уравнение окружности находим ординаты этих точек \[ y = — \sqrt<8-x^2>; \; y(-2) = — \sqrt <8-(-2)^2>= — \sqrt <8-4>= -2;\]

Итак, точки касания найдены и обоснованы. Определим соответствующие им значения параметра a.
\[ y = -x + (a-5) \\ при \; x=2, \; y = 2 \;имеем\\ 2 = -2 + (a-5) \\ a-5=4;\; a = 9 \\ при \; x=-2,\; y = -2 \; имеем \\ -2 = 2 + (a-5) \\ a-5=-4; \; a = 1 \] Следовательно, при \(a \in (1; 9) \) сокращённая система уравнений имеет ровно два различных решения.

Вернёмся к заданной системе уравнений. Чтобы она имела два различных решения, параметр a должен находиться в таком диапазоне, где первый из рассмотренных нами сомножителей не дает решений (иначе, как мы выяснили, их будет бесконечно много), а система из оставшихся двух сомножителей, сокращенная система, дает ровно два решения. Чтобы определить этот диапазон, найдем пересечение полученных ранее интервалов для параметра а с помощью числовой оси.

Как видно оба условия выполняюися для \(a \in (1; 2]\cup [8; 9)\)

Ответ: \(a \in (1; 2]\cup [8; 9)\)

Конечно, в итоговое решение, которое будет переписано на бланк, вы можете поместить один рисунок, который выглядит примерно так:

В качестве решения приведите все алгебраические выкладки с кратким обоснованием.

Задача для самостоятельного решения.

Задача 2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений \[\left\< \begin (x+y-2a)\sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ (x+y-2a) \Large (\normalsize x^2+(y+3)^2-a^2 \Large )\normalsize = 0 \\ \end\right. \] имеет ровно два различных решения.

1) ОДЗ: \( 8x-y^2-x^2 \ge 0 \)
\[ 8x-y^2-x^2 = 0 \\ 2\cdot 4\cdot x-y^2-x^2 +16-16=0 \\ 16 = x^2 -2\cdot x\cdot 4+16+y^2 \\ (x-4)^2+y^2=4^2 \] ОДЗ — круг радиуса 4 центром в точке О₁<4;0>, включая границу.

2) Система равносильна совокупности \[ \left[ \begin x+y-2a = 0; \\ <\left\< \begin \sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ x^2+(y+3)^2-a^2 = 0. \end \right.> \end \right. \] 3) Первое уравнение совокупности \[x+y-2a = 0; \\ y=-x+2a \] является уравнением прямых на координатной плоскости.

Находим точки касания этих прямых и окружности ОДЗ: \[ (x-4)^2+y^2 = 4^2 \\ y = \pm \sqrt <16 - (x-4)^2>\\ y’ = \pm \dfrac<1\cdot (16 - (x-4)^2)'><2\sqrt<16 - (x-4)^2>> = \mp \dfrac<\sqrt<16 - (x-4)^2>> \\ \mp \dfrac<\sqrt<16 - (x-4)^2>> = -1 \\ \pm (x-4) = \sqrt <16 - (x-4)^2>\\ (x-4)^2 = 16 — (x-4)^2 \\ (x-4)^2 = 8\\ x = \pm \sqrt <8>+ 4 = 4 \pm 2\sqrt<2>. \\ y = \pm \sqrt <16 - (x-4)^2>= \pm \sqrt <16 - 8>= \pm 2\sqrt<2>. \\ \] При каких \(a\) через точки касания проходят прямые? \[ x+y-2a= 0;\\ 4+2\sqrt<2>+2\sqrt <2>= 2a;\\ a=2+2\sqrt<2>.\] \[ x+y-2a = 0;\\ 4-2\sqrt<2>-2\sqrt<2>=2a;\\ a=2-2\sqrt<2>. \]

Вывод:
— при \( a \in (2-2\sqrt<2>;\; 2+2\sqrt<2>) \) бесконечное множество решений;
— при \( a = 2-2\sqrt<2>\) и \(a = 2+2\sqrt <2>\) уравнение имеет единственное решение;
— при \( a \in (-\infty; 2-2\sqrt<2>)\cup (2+2\sqrt<2>; + \infty) \) уравнение не даёт вклада в решения исходной системы.

4) Рассматриваем систему совокупности (сокращенную систему): \[ <\left\< \begin \sqrt <8x-y^2-x^2>= 0; \\ x^2+(y+3)^2-a^2 = 0. \end \right.> \] \[\sqrt <8x-y^2-x^2>= 0 \Leftarrow\Rightarrow 8x-y^2-x^2=0 \Leftarrow\Rightarrow (x-4)^2+y^2 = 4^2 \] Решениями первого уравнения этой системы являются все точки окружности — границы ОДЗ.
\[x^2+(y+3)^2-a^2 =0 \Leftarrow\Rightarrow x^2+(y+3)^2= a^2 \] Решениями второго уравнения этой системы являются все точки окружностей радиуса \(а\) центром в точке О₂<0;-3>.

Решением системы — пересечение этих множеств.

При каких \(a\) окружности касаются друг друга?
Из геометрии — точки касания окружностей лежат на одной прямой с их центрами. \[O_1O_2 = \sqrt <4^2+3^2>= 5\] Следовательно, \(|a|=5-4=1\) радиус меньшей касательной окружности, \(|a|=5+4=9\) радиус большей.

Вывод:
— при \( |a| \in (1;\;9) \) по 2 решения;
— при \( |a| = 1\) и \(|a| = 9 \) по 1-му решению;
— при \( |a| \in [0;\; 1)\cup (9;\; + \infty) \) решений нет.

5) Общий вывод:
— при \( a \in (-\infty;\; -9)\cup (-1;\; 2-2\sqrt<2>) \cup (9;\; +\infty ) \) система уравнений, заданная в условии задачи, не имеет решений;
— при \( a = \<-9;\;-1;\;2-2\sqrt<2>;\;9\;\> \) она имеет единственное решение;
— при \( a \in (-9;\;-1)\cup (2+2\sqrt<2>;\;9) \) два решения;
— при \( a = 2+2\sqrt <2>\) три решения;
— при \( a \in (2-2\sqrt<2>;\; 2+2\sqrt<2>) \) бесконечное множество решений.

Ответ: \( a \in (-9;\; -1)\cup (2+2\sqrt<2>;\; 9) \)

Перейдите по стрелке, чтобы найти ссылки на другие задачи ЕГЭ 2018.

Урок по теме «Решение систем линейных уравнений, содержащих параметры»

Разделы: Математика

Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми – она неразрешима. Энон.

Задачи с параметрами встречаются во всех вариантах ЕГЭ, поскольку при их решении наиболее ярко выявляется, насколько глубоки и неформальны знания выпускника. Трудности, возникающие у учащихся при выполнении подобных заданий, вызваны не только относительной их сложностью, но и тем, что в учебных пособиях им уделяется недостаточно внимания. В вариантах КИМов по математике встречается два типа заданий с параметрами. Первый: «для каждого значения параметра решить уравнение, неравенство или систему». Второй: «найти все значения параметра, при каждом из которых решения неравенства, уравнения или системы удовлетворяют заданным условиям». Соответственно и ответы в задачах этих двух типов различаются по существу. В первом случае в ответе перечисляются все возможные значения параметра и для каждого из этих значений записываются решения уравнения. Во втором – перечисляются все значения параметра, при которых выполнены условия задачи. Запись ответа является существенным этапом решения, очень важно не забыть отразить все этапы решения в ответе. На это необходимо обращать внимание учащихся.
В приложении к уроку приведен дополнительный материал по теме «Решение систем линейных уравнений с параметрами», который поможет при подготовке учащихся к итоговой аттестации.

• систематизация знаний учащихся;
• выработка умений применять графические представления при решении систем уравнений;
• формирование умения решать системы линейных уравнений, содержащих параметры;
• осуществление оперативного контроля и самоконтроля учащихся;
• развитие исследовательской и познавательной деятельности школьников, умения оценивать полученные результаты.

Урок рассчитан на два учебных часа.

Ход урока

1. Организационный момент

Сообщение темы, целей и задач урока.

1. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверка домашней работы. В качестве домашнего задания учащимся было предложено решить каждую из трех систем линейных уравнений

а) б) в)

графически и аналитически; сделать вывод о количестве полученных решений для каждого случая

Ответы:

Заслушиваются и анализируются выводы, сделанные учащимися. Результаты работы под руководством учителя в краткой форме оформляются в тетрадях.

В общем виде систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно представить в виде: .

Решить данную систему уравнений графически – значит найти координаты точек пересечения графиков данных уравнений или доказать, что таковых нет. Графиком каждого уравнения этой системы на плоскости является некоторая прямая.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

1. если (если хотя бы один из знаменателей равен нулю, последнее неравенство надо понимать как ), то прямые пересекаются в одной точке; в этом случае система имеет единственное решение

1. если то прямые не имеют общих точек, т.е. не пересекаются; а значит, система решений не имеет

1. если то прямые совпадают. В этом случае система имеет бесконечно много решений

К каждому случаю полезно выполнить рисунок.

Сегодня на уроке мы научимся решать системы линейных уравнений, содержащие параметры. Параметром будем называть независимую переменную, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству. Решить систему уравнений с параметром – значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество решений системы.

Решение задачи с параметром зависит от вопроса, поставленного в ней. Если нужно просто решить систему уравнений при различных значениях параметра или исследовать ее, то необходимо дать обоснованный ответ для любого значения параметра или для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному в задаче множеству. Если же необходимо найти значения параметра, удовлетворяющие определенным условиям, то полного исследования не требуется, и решение системы ограничивается нахождением именно этих конкретных значений параметра.

Пример 1. Для каждого значения параметра решим систему уравнений

1. Система имеет единственное решение, если

В этом случае имеем

1. Если а = 0, то система принимает вид

Система несовместна, т.е. решений не имеет.

1. Если то система запишется в виде

Очевидно, что в этом случае система имеет бесконечно много решений вида x = t; где t-любое действительное число.

• при система имеет единственное решение
• при а = 0 — нет решений;
• при а = 3 — бесконечно много решений вида где t R

Пример 2. При каких значениях параметра a система уравнений

• имеет единственное решение;
• имеет множество решений;
• не имеет решений?

• система имеет единственное решение, если
• подставим в пропорцию значение а = 1, получим , т.е. система имеет бесконечно много решений;
• при а = -1 пропорция примет вид: . В этом случае система не имеет решений.

• при система имеет единственное решение;
• при система имеет бесконечно много решений;
• при система не имеет решений.

Пример 3. Найдем сумму параметров a и b, при которых система

имеет бесчисленное множество решений.

Решение. Система имеет бесчисленное множество решений, если

То есть если a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

1. Закрепление изученного в ходе решения задач

1. № 15.24(а) [1]. Для каждого значения параметра решите систему уравнений

1. № 15.25(а) Для каждого значения параметра решите систему уравнений

1. При каких значениях параметра a система уравнений

а) не имеет решений; б) имеет бесконечно много решений.

Ответ: при а = 2 решений нет, при а = -2 бесконечное множество решений

1. Практическая работа в группах

Класс разбивается на группы по 4-5 человек. В каждую группу входят учащиеся с разным уровнем математической подготовки. Каждая группа получает карточку с заданием. Можно предложить всем группам решить одну систему уравнений, а решение оформить. Группа, первой верно выполнившая задание, представляет свое решение; остальные сдают решение учителю.

Карточка. Решите систему линейных уравнений

при всех значениях параметра а.

Ответ: при система имеет единственное решение ; при нет решений; при а = -1бесконечно много решений вида , (t; 1- t) где t R

Если класс сильный, группам могут быть предложены разные системы уравнений, перечень которых находится в Приложении1. Тогда каждая группа представляет классу свое решение.

Отчет группы, первой верно выполнившей задание

Участники озвучивают и поясняют свой вариант решения и отвечают на вопросы, возникшие у представителей остальных групп.

1. При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении p система не имеет решений?

1. При каком значении k система имеет бесконечно много решений?
2. При каком значении p система не имеет решений?

1. Итоги урока

Решение систем линейных уравнений с параметрами можно сравнить с исследованием, которое включает в себя три основных условия. Учитель предлагает учащимся их сформулировать.

При решении следует помнить:

1. для того, чтобы система имела единственное решение, нужно, чтобы прямые, отвечающие уравнению системы, пересекались, т.е. необходимо выполнение условия;
2. чтобы не имела решений, нужно, чтобы прямые были параллельны, т.е. выполнялось условие,
3. и, наконец, чтобы система имела бесконечно много решений, прямые должны совпадать, т.е. выполнялось условие.

Учитель оценивает работу на уроке класса в целом и выставляет отметки за урок отдельным учащимся. После проверки самостоятельной работы оценку за урок получит каждый ученик.

При каких значениях параметра b система уравнений

• имеет бесконечно много решений;
• не имеет решений?

Графики функций y = 4x + b и y = kx + 6 симметричны относительно оси ординат.

• Найдите b и k,
• найдите координаты точки пересечения этих графиков.

Решите систему уравнений при всех значениях m и n.

Решите систему линейных уравнений при всех значениях параметра а (любую на выбор).

1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2008.
2. Математика : 9 класс : Подготовка к государственной итоговой аттестации / М. Н. Корчагина, В. В. Корчагин – М. : Эксмо, 2008.
3. Готовимся в вуз. Математика. Часть 2. Учебное пособие для подготовки к ЕГЭ, участию в централизованном тестировании и сдаче вступительных испытаний в КубГТУ / Кубан. гос. технол. ун-т; Ин-т совр. технол. и экон.; Сост.: С. Н. Горшкова, Л. М. Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, И.А. Пальщикова. – Краснодар, 2006.
4. Сборник задач по математике для подготовительных курсов ТУСУР: Учебное пособие / З. М. Гольдштейн, Г. А. Корниевская, Г. А. Коротченко, С.Н. Кудинова. – Томск: Томск. Гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998.
5. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/ О. Ю. Черкасов, А.Г.Якушев. – М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.