Найти абсолютную погрешность корней уравнения

Численные методы

1. Найти абсолютную погрешность равенства: ≈ 0,33.

Правильный ответ:
0,0033

1. Дано приближенное число x и его абсолютная погрешность Δ. x = 2,71
   Δ = 0,007. Найти относительную погрешность δ этого числа.

Правильный ответ:
0,26%

1. Дано приближенное число x и его относительная погрешность δ.
   x = 25,6 δ = 0,31%. Найти абсолютную погрешность Δ этого числа.

Правильный ответ:
0,08

1. Выполнить сложение со строгим учетом погрешностей:

   x = 25±0,1 y = 13±0,2 x + y = ?
   

Правильный ответ:
38±0,3

Выполнить умножение со строгим учетом погрешностей:

x = 0,17±0,001 y = 6,2±0,05 x · y = ?

Правильный ответ:
1,054±0,0147

1. Выполнить вычитание со строгим учетом погрешностей:
   x = 12,7±0,02 y = 10,3±0,01.

Правильный ответ:
2,4±0,01

1. Выполнить деление со строгим учетом погрешностей:
   x = 1,428±0,0001 y = 0,14±0,001.

Правильный ответ:
10,2±0,075

1. Извлечь корень со строгим учетом погрешности: 156,25±0,001.

Правильный ответ:
= 12,500±0,0004

1. Возвести в куб со строгим учетом погрешностей: 1,56±0,003.

Правильный ответ:
3,796±0,022

1. Выполнить действия над приближенными числами по правилам подсчета цифр: 25,42 — .

Правильный ответ:
642

1. Найти абсолютную погрешность равенства: ≈ 0,14.

Правильный ответ:
0,0029

1. Дано приближенное число x и его абсолютная погрешность Δ. x = 3,54 Δ = 0,004. Найти относительную погрешность δ этого числа.

Правильный ответ:
0,11%

1. Дано приближенное число x и его относительная погрешность δ.
   x = 17,4 δ = 0,40%. Найти абсолютную погрешность Δ этого числа.

Правильный ответ:
0,07

1. Выполнить сложение со строгим учетом погрешностей:

   x = 17,1±0,01 y = 16,2±0,03 x + y = ?
   

Правильный ответ:
33,3±0,04

Выполнить умножение со строгим учетом погрешностей:

x = 0,17±0,002 y = 6,2±0,01 x · y = ?

Правильный ответ:
1,054±0,0147

1. Выполнить вычитание со строгим учетом погрешностей
   x = 12,7±0,07 y = 10,3±0,04.

Правильный ответ:
2,4±0,03

1. Выполнить деление со строгим учетом погрешностей
   x = 1,428±0,0002 y = 0,14±0,002.

Правильный ответ:
10,2±0,15

1. Извлечь корень со строгим учетом погрешности: 156,25±0,005.

Правильный ответ:
= 12,500±0,0002

1. Возвести в куб со строгим учетом погрешностей: 1,56±0,001.

Правильный ответ:
3,796±0,007

1. Выполнить действия над приближенными числами по правилам подсчета цифр: 25,412 — .

Правильный ответ:
642,91

1. Найти абсолютную погрешность равенства: ≈ 0,059.

Правильный ответ:
0,00018

1. Дано приближенное число x и его абсолютная погрешность Δ. x = 17,4 Δ = 0,07. Найти относительную погрешность δ этого числа.

Правильный ответ:
0,40%

1. Дано приближенное число x и его относительная погрешность δ.
   x = 3,54 δ = 0,26%. Найти абсолютную погрешность Δ этого числа.

Правильный ответ:
0,009

1. Выполнить сложение со строгим учетом погрешностей:

   x = 0,27±0,001 y = 0,31±0,002 x + y = ?

Правильный ответ:
0,58±0,003

1. Выполнить вычитание со строгим учетом погрешностей:
   x = 12,7±0,01 y = 10,3±0,02.

Правильный ответ:
2,4±0,01

1. Выполнить деление со строгим учетом погрешностей:
   x = 1,428±0,0003 y = 0,14±0,005.

Правильный ответ:
10,2±0,37

1. Извлечь корень со строгим учетом погрешности: 156,25±0,004.

Правильный ответ:
= 12,500±0,0002

1. Возвести в куб со строгим учетом погрешностей: 1,56±0,002.

Правильный ответ:
3,796±0,015

1. Выполнить действия над приближенными числами по правилам подсчета цифр: 25,4152 — .

Правильный ответ:
643,2

1. Найти абсолютную погрешность равенства: ≈ 0,3.

Правильный ответ:
0,014

1. Дано приближенное число x и его абсолютная погрешность Δ. x = 25,6 Δ = 0,08. Найти относительную погрешность δ этого числа.

Правильный ответ:
0,31%

1. Дано приближенное число x и его относительная погрешность δ.
   x = 2,71 δ = 0,26%. Найти абсолютную погрешность Δ этого числа.

Правильный ответ:
0,007

1. Выполнить сложение со строгим учетом погрешностей:

   x = 0,17±0,001 y = 0,19±0,002 x + y = ?

Правильный ответ:
0,36±0,003

1. Выполнить вычитание со строгим учетом погрешностей:
   x = 12,7±0,04 y = 10,3±0,07.

Правильный ответ:
2,4±0,11

1. Выполнить деление со строгим учетом погрешностей:
   x = 1,428±0,0004 y = 0,14±0,003.

Правильный ответ:
10,2±0,22

1. Возвести в куб со строгим учетом погрешностей: 1,56±0,005.

Правильный ответ:
3,796±0,037

1. Выполнить действия над приближенными числами по правилам подсчета цифр: 25,412 — .

Правильный ответ:
642,91

1. В методе Гаусса приведение системы линейных уравнений к треугольному виду –

Правильный ответ:
прямой ход

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений можно …

Правильный ответ:
Методом Гаусса (по схеме единственного деления)

1. В методе Гаусса для решения систем линейных уравнений последовательное определение неизвестных по формулам –

Правильный ответ:
обратный ход

1. Приближенное значение в точке можно вычислить …

Правильный ответ:
По формулам Лагранжа

1. Вычисляют интеграл по выбранной квадратурной формуле с шагом n, затем с шагом h/2, т. е. удваивают число шагов –

Правильный ответ:
двойной пересчет

1. Приближенное значение определенного интеграла можно найти …

Правильный ответ:
По формулам Ньютона-Котеса

1. Способ находить по известному приближению решения следующее, более точное приближение –

Правильный ответ:
простая итерация

1. Задачу Коши для дифференциального уравнения можно решить …

Правильный ответ:
Методом Эйлера

1. Норма матрицы A = – это …

Правильный ответ:
число

1. Норма 2 матрицы равна …

Правильный ответ:
30

1. Процесс построения значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов называется …

Правильный ответ:
итерационным

1. Процесс Зейделя для линейной системы X = β + αX сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения, если какая-нибудь из норм матрицы α …

Правильный ответ:
меньше единицы

1. Максимальная сумма модулей элементов матрицы по строкам есть …

Правильный ответ:
норма 1

1. Норма 3 матрицы равна …

Правильный ответ:
28,6356

1. Итерационный процесс построения приближений по формуле называется …

Правильный ответ:
методом итерации

1. Процесс Зейделя для линейной системы X = β + αX сходится к единственному решению при любом выборе начального приближения, если …

Правильный ответ:
какая-нибудь из норм матрицы α меньше единицы

1. Максимальная сумма модулей элементов матрицы по столбцам есть …

Правильный ответ:
норма 2

1. Норма 3 матрицы равна …

Правильный ответ:
26,4244

1. Итерационный процесс построения приближений по формуле называется …

Правильный ответ:
методом Зейделя

1. Для оценки погрешности метода Зейделя применяется формула …

Правильный ответ:

1. Корень квадратной из суммы квадратов модулей всех элементов матрицы есть …

Правильный ответ:
норма 3

1. Норма 2 матрицы равна …

Правильный ответ:
26

1. Процесс интеграции для системы X = β + αX сходится к единственному решению независимо от выбора начального вектора, если сумма модулей элементов строк или сумма модулей столбцов …

Правильный ответ:
меньше единицы

1. Норма 1 матрицы равна …

Правильный ответ:
39

1. Норма 1 матрицы равна …

Правильный ответ:
38

1. Для оценки погрешности метода итерации применяется формула …

Правильный ответ:

1. Формулы для нахождения многочлена, принимающего в данных точках xi(i=0; 1; … n) данные значения Pn(xn) называются:

Правильный ответ:
интерполяционными

1. Интерполяционный многочлен Ньютона находится по формуле
   Pn(x) = …

Правильный ответ:

1. Интерполяционный многочлен, соответствующей таблице:
   y = 2×2 – 5x +1. Найти: y0; y1; y2.

Правильный ответ:
8; 1; -2

1. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице:

Правильный ответ:
y = 3×2 + x — 1

1. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице:

Правильный ответ:
y = 2×2 — x — 1

1. Функция задана таблицей: Найти Δ2y0.

Δ2yi = ?

Правильный ответ:
yi+2 — 2yi+1 + yi

1. Методы решения системы линейных уравнений, в которых решение системы получают после повторения однотипных математических операций, и на каждом шаге используются результаты предыдущих шагов, называются …

Правильный ответ:
итерационными

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа находится по формуле
   Ln(x) = …

Правильный ответ:

1. Интерполяционный многочлен, соответствующей таблице:
   y = 3×2 + 5x — 1. Найти: y0; y1; y2.

Правильный ответ:
-3; -1; 7

1. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице:

Правильный ответ:
y = 6×2 + x — 1

1. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице:

Правильный ответ:
y = 7×2 — x — 1

1. Функция задана таблицей: Найти Δ2y0.

Δ3yi = ?

Правильный ответ:
yi+3 — 3yi+2 + 3yi+1 — yi

1. Метод решения дифференциальных уравнений, дающие приближенное решение в виде аналитического выражения, называются …

Правильный ответ:
аналитическими

1. Значение определенного интеграла по формуле прямоугольников равно …

Правильный ответ:

1. Интерполяционный многочлен, соответствующей таблице: y=7×2-x-1. Найти: y0; y1; y2.

Правильный ответ:
7; -1; 5

1. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице:

Правильный ответ:
y = 2×2 + x — 1

1. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице:

Правильный ответ:
y = 3×2 + 5x — 1

1. Функция задана таблицей: Найти: Δ2y0.

Δyi = ?

Правильный ответ:
yi+1 — yi

1. Методы решения дифференциальных уравнений, дающие приближенное решение в виде таблицы, называются …

Правильный ответ:
численными

1. Значение определенного интеграла по формуле трапеций
   равно …

Правильный ответ:

1. Интерполяционный многочлен, соответствующей таблице: y=2×2-x-1. Найти: y0; y1; y2.

Правильный ответ:
2; -1; 0

1. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице:

Правильный ответ:
y = 4×2 — x — 1

1. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице:

Правильный ответ:
y = 2×2 — 5x + 1

1. Функция задана таблицей: Найти: Δ2y0.

Δ4yi = ?

Правильный ответ:
yi+4 — 4yi+3 + 6yi+2 — 4yi+1 + yi

1. Интерполяционным многочленом называется многочлен, …

Правильный ответ:
значения которого в узлах интерполяции равны значению табличной функции в этих узлах

1. Конечные табличные разности используются в интерполяционной формуле …

Правильный ответ:
Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции

1. Первый интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:

Правильный ответ:

1. Разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции называется …

Правильный ответ:
конечной разностью первого порядка

1. Центральные табличные разности используются в интерполяционной формуле …

Правильный ответ:
Гаусса для равноотстоящих узлов интерполяции

1. Конечные табличные разности используются в интерполяционной формуле …

Правильный ответ:
Ньютона

1. Разделенные табличные разности используются в интерполяционной формуле …

Правильный ответ:
Ньютона для неравноотстоящих узлов интерполяции

1. Основными характеристиками табличных функций являются …

Правильный ответ:
название функций, объем, шаг, количество знаков табулируемой функции, количество входов

1. Центральные табличные разности используются в интерполяционной формуле …

Правильный ответ:
Гаусса

1. Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид:

Правильный ответ:

1. Процесс вычисления значений функции в точках x, отличных от узлов интерполяции, называют …

Правильный ответ:
интерполированием

1. Разделенные табличные разности используются в интерполяционной формуле …

Правильный ответ:
Ньютона

1. Второй интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид:

Правильный ответ:

1. Значение определенного интеграла по формуле Симпсона равно…

Правильный ответ:

1. Методом Эйлера находим решение задачи Коши для дифференциального уравнения y’ = f(x; y) по формуле …

Правильный ответ:

1. Значение интеграла вычисленное по формуле прямоугольников с шагом h равно Y1, а с шагом h/2 равно Y2, тогда методом двойного пересчета с требуемой точностью ε сравниваем с …

Правильный ответ:

1. С помощью степенных рядов находим решение задачи Коши по формуле …

Правильный ответ:

1. Значение интеграла вычисленное по формуле трапеций с шагом h равно Y1, а с шагом h/2 равно Y2, тогда методом двойного пересчета с требуемой точностью ε сравниваем с …

Правильный ответ:

1. Решение уравнения f(x) = 0 методом касательных находим по формуле xn = …

Правильный ответ:

1. Значение интеграла вычисленное по формуле Симпсона с шагом h равно Y1, а с шагом h/2 равно Y2, тогда методом двойного пересчета с требуемой точностью ε сравниваем с …

Правильный ответ:

1. Квадратурная формула Гаусса имеет вид …

Правильный ответ:

1. Квадратурными формулами называются …

Правильный ответ:
формула квадратного трехчлена

1. Формула приближенного вычисления интеграла методом прямоугольников имеет вид …

Правильный ответ:

1. Формула приближенного вычисления интеграла методом прямоугольников имеет вид …

Правильный ответ:

1. Квадратурная формула Симпсона имеет вид …

Правильный ответ:

1. Решаем уравнение f(x) = 0 методом хорд f(a) > 0; f(b) 0 при x (a; b). Какое значение x принимаем за неподвижный конец?

Приближённые вычисления в математике

Содержание:

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью приближённой называется модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число можно записать в виде , число в виде Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде:

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись

3. Если

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10 3 — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например, будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью (омега) приближённости х величины называется отношением абсолютной погрешности этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть

Поскольку абсолютная погрешность обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль:

Число называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле:

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа

Решение: Имеем

Следовательно

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что .

Решение:

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения — исходные данные; пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ:

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила.

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

31. Погрешность и точность приближения

По графику функции у = х 2 нашли приближённые значения этой функции при х = 1,5 и х = 2,1:

если х = 1,5, то у ≈ 2,3;
если х = 2,1, то у ≈ 4,4.

По формуле у = х 2 можно найти точные значения этой функции:

если х = 1,5, то у = 1,5 2 = 2,25;
если х = 2,1, то у = 2,1 2 = 4,41.

Приближённое значение отличается от точного значения в первом случае на 0,05, а во втором на 0,01, так как:

2,3 — 2,25 = 0,05; 4,41 — 4,4 = 0,01.

Чтобы узнать, на сколько приближённое значение отличается от точного, надо из большего числа вычесть меньшее, т. е. найти модуль разности точного и приближённого значений. Этот модуль разности называют абсолютной погрешностью.

Определение: Абсолютной погрешностью приближённого значения называют модуль разности точного и приближённого значений.