Найти численное решение дифференциального уравнения в mathcad

Тема 7. Решение дифференциальных уравнений и систем в MathCad

Краткие теоретические сведения

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система Mathcad имеет ряд встроенных функций:

rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции rkfixed с указанием параметров функции.

y – вектор начальных условий из k элементов ( k – количество уравнений в системе);

x1 и x2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

p – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D – вектор, состоящий из k-элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p +1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

На рисунке 2.7.1 приведены конкретные примеры решения различных дифференциальных уравнений и систем ОДУ в MathCAD .

Рисунок 2.7.1 – Примеры решения дифференциальных уравнений и систем

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y 1 , который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора Y , границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор v , который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции rkfixed указывается имя вектора v , и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0 ; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D . В результате получается матрица s , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – как функциями.

На рисунке 2.7.2 приведен пример решения дифференциального уравнения второго порядка с использованием функции rkfixed . Необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями вида:

Рисунок 2.7.2 – Пример решения дифференциальных уравнений второго порядка с помощью rkfixed

Для решения уравнения с помощью функции rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка. Вид этих уравнений приведен ниже.

Документ формируется точно так же, как и при решении системы ОДУ.

На рисунке 2.7.2 показана возможность вычисления вектора второй производной найденной функции – вектора а, построены графики исходной функции, функций первой и второй производных.

Практическая часть темы 7

7.1 Решение дифференциальных уравнений первого порядка

Последовательность действий для р ешения дифференциального уравнения первого порядка такова:

q сформировать вектор начальных условий из одного элемента, присвоив начальное значение искомой функции переменной с индексом, например: или (в зависимости от значения переменной ORIGIN );

q определить вектор-функцию из одного элемента, которая содержит первую производную неизвестной функции:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомой функции (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомую функцию (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D ( x , Y );

· набрать оператор «:=» и выражение для первой производной (выразить из дифференциального уравнения), в котором вместо имени искомой функции подставлен первый элемент вектора-параметра, например, для уравнения вектор-функция будет определятся следующим образом: ( если ORIGIN = 0 , подставлять );

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed , указав в скобках следующие параметры:

· первый – имя вектора начальных условий,

· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,

· пятый – имя вектора-функции, описывающего первую производную, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой функции);

q вывести матрицу, содержащую решение ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

q построить график найденной функции ( см. тему 5 ), указав в качестве аргумента по оси абсцисс столбец , а в качестве значения функции по оси ординат – столбец ( если ORIGIN = 0 , набирать соответственно и ).

Пример 7.1 Найти численное решение дифференциального уравнения первого порядка на интервале от 0.2 до 5 в 1000 точках, при начальном условии y (0)=0.1.

Выполнить графическую интерпретацию результатов.

7.2 Решение систем дифференциальных уравнений

Последовательность действий для р ешения системы дифференциальных уравнений первого порядка такова (описана для значения ORIGIN =0 ):

q перейти в исходной системе уравнений к однотипным обозначениям функций и выразить первые производные,

например, систему можно преобразовать в ;

q в документе MathCad сформировать вектор начальных условий, количество элементов которого равно количеству уравнений системы, присвоив его некоторой переменной (см. тему 2);

например, ;

q определить вектор-функцию, которая содержит первые производные искомых функций:

· набрать имя функции с двумя параметрами: первый параметр – аргумент искомых функций (независимая переменная), второй – имя вектора, содержащего искомые функции (можно использовать имя вектора начальных условий), например, D ( t , V );

(Замечание: если независимая переменная явно не присутствует в системе, то в качестве ее имени можно выбрать любую переменную)

· набрать оператор «:=» и вставить шаблон вектора, количество элементов которого равно количеству уравнений системы (см. тему 2)

· набрать в качестве элементов вектора правые части системы уравнений, в которых искомые функции представлены соответствующими элементами вектора-параметра, например,

;

q присвоить некоторой переменной значение функции rkfixed , указав в скобках следующие параметры:

· первый – имя вектора начальных условий,

· второй – левая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· третий – правая граница интервала, на котором ищется решение, в виде числовой константы,

· четвертый – количество точек, в которых ищется решение,

· пятый – имя вектора-функции, описывающего первые производные, без параметров;

например: ,

(в результате получится матрица Z , в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором – значения первой функции, в третьем – значения второй функции и т. д.);

q вывести матрицу, содержащую решение системы ДУ с помощь оператора «=», например: Z = ;

q построить графики найденных функций ( см. тему 5 ), указав в качестве аргумента по оси абсцисс первый столбец матрицы решений, например, , а в качестве значений функций по оси ординат – остальные столбцы матрицы через запятую, например, , и т. д.

Пример 7.2 Найти решение системы дифференциальных уравнений

на интервале от 0 до 0.5 в 1000 точках, при следующих начальных условиях: x (0)=0.1 и y (0)=1.

Выполнить графическую интерпретацию результатов.

Найти численное решение дифференциального уравнения в mathcad

Mathcad для студентов

Mathcad для начинающих

Скачать программы бесплатно

Функции предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad введен ряд функций. Рассмотрим их:

• odesolve(x,b,step) — используется для решения обыкновенного дифференциального уравнения, заданного как в виде задачи Коши, так и в виде краевой задачи. Начальные условия и дифференциальное уравнение должны быть определены в блоке given. Параметры функции: х –переменная, по которой производится интегрирование; b — конечное значение промежутка решения; step – величина шага численного метода (параметр необязательный).
• rkfixed(u,a,b,N,D) – реализует в Mathcad численное решение задачи Коши по методу Рунге – Кутта с фиксированным шагом. Имеет следующие преимущества перед odesolve(x,b,step): может быть использована в программных модулях и позволяет оперативно пересчитывать результаты при изменении параметров. Параметры функции: u-вектор начальных условий; a и b – граничные значения отрезка решения задачи; N – число интервалов разбиения отрезка [a,b]; D(x,y) –вектор-функция, содержащая правые части первых производных, записанные в символьном виде.
• Rkadapt(u, a,b, N, D) — возвращает матрицу в Mathcad, содержащую таблицу значений решения задачи Коши на интервале от a до b для уравнения или системы обыкновенных дифференциальных уравнений, вычисленную методом Рунге-Кутта с переменным шагом и начальными условиями в векторе u, D(x,y) –вектор функция, содержащая правые части первых производных, записанная в символьном виде, n — число шагов.
• Функция Rkadapt() вследствие автоматического подбора шага, как правило, дает более точный результат по сравнению с другими функциями в Mathcad.

Метод конечных разностей в Mathcad

В случае краевых задач для линейных дифференциальных уравнений в Mathcad применяются формулы для аппроксимации производных соответствующими конечно – разностными отношениями. Это позволяет свести решение дифференциальных уравнений к решению системы линейных уравнений. Результаты получают в дискретных i – ых точках интервала решения задачи. При этом отрезок [a,b] разбивается на n частей с шагом h =(b-a)/n. Для аппроксимации соответствующих производных в Mathcad используют следующие формулы:

Таким образом, сделав соответствующую замену, получаем систему линейных уравнений, решение которой средствами Mathcad не представляет сложностей. Решение задачи методом конечных разностей приведено на листинге

Задача Коши в Mathcad

Задача Коши в Mathcad для дифференциальных уравнений n-го порядка с одной неизвестной (обыкновенное дифференциальное уравнение — ОДУ) формулируется следующим образом. Найти решение дифференциального уравнения

в виде функции y=y(x), которая удовлетворяет заданным начальным условиям

где — заданные значение. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков можно свести к системе уравнений. Решение задачи Коши для ОДУ первого порядка в Mathcad с использованием различных функций приведено на листинге.

Наибольшее распространение для решения задачи Коши в Mathcad получил метод Рунге – Кутта. Суть метода состоит в последовательном отыскании искомого значения функции yi+1 по формуле

За h принимается достаточно малый шаг, с помощью которого весь интервал задачи Коши разбивается на дискретные точки, в которых и ищется решение. Погрешность результатов пропорциональна пятой степени шага (h5).

Геометрический смысл метода Рунге – Кутта состоит в следующем. Из очередной точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого tg()=f(xi,yi). На этом направлении вычисляется точка с координатами Затем из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого

tg()=f

На этом направлении вычисляется точка с координатами Далее из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого

На этом направлении в Mathcad вычисляется точка с координатами После чего из точки (xi,yi) выбирается направление (угол) , для которого . Все четыре полученных направления усредняются в соответствии с формулой для расчета . На этом результирующем направлении и строится расчетная точка с координатами

Метод Рунге – Кутта благодаря высокой точности широко используется при численном решении дифференциальных уравнений и в частности в Mathcad. Существует несколько разновидностей данного метода, которые нашли свое отражение в рассмотренных выше функциях. На листинге можно не только сравнить результаты, полученные на основе различных функций, но и оценить эти результаты с позиций точности расчетов.

Путем сравнения результатов решения задачи, можно сделать вывод о точности решения задачи. Наиболее точный результат позволяет получить функция Rkadapt.

Краевые задачи в Mathcad

Краевые задачи в Mathcad отличаются от задачи Коши состоит тем, что в краевой задаче начальные условия задаются на концах интервала поиска решения. Для решения подобных задач в системе Mathcad используется метод пристрелки, который начальное условие в правой точке интервала преобразует в дополнительное начальное условие для левой точки интервала. После чего краевая задача трансформируется в задачу Коши, методы решения которой были рассмотрены в предыдущем разделе. Для реализации метода пристрелки в Mathcad существует функция sbval. Данная функция определяет недостающие условия в начальной точке для двухточечных краевых задач. Функция имеет следующий синтаксис sbval(z,a,b,D,load,score), где z – вектор приближений недостающих начальных условий на левой границе; a,b – левая и правая граница интервала решений; D(x,y) – вектор-функция, содержащая правые части первых производных, записанная в символьном виде; load(a,z) – вектор-функция, описывающая начальные условия на левой границе интервала; score(b,y) – вектор-функция для задания правых граничных условий. Пример решения краевой задачи приведен на листинге.

Дифференциальное уравнение в Mathcad

Функции предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в Mathсad введен ряд функций.

Решение задачи Коши

Задача Коши для дифференциальных уравнений n-го порядка с одной неизвестной.

Краевые задачи

Разница краевой задачи и задачи Коши состоит в том, где задается интервала поиска решения.

Метод конечных разностей

В Mathcad в краевых задачах для уравнений применяются формулы для аппроксимации производных соответствующими отношениями.

Найти численное решение дифференциального уравнения в mathcad

При решении дифференциального уравнения искомой величиной является функция. Для ОДУ неизвестная функция — функция одной переменной. Дифференциальные уравнения в частных производных — это дифференциальные уравнения, в которых неизвестной является функция двух или большего числа переменных. Mathcad имеет ряд встроенных функций, предназначенных для решения ОДУ. Каждая из этих функций предназначена для численного решения дифференциального уравнения. В результате решения получается матрица, содержащая значения функции, вычисленные на некотором множестве точек (на некоторой сетке значений). Для каждого алгоритма, который используется при решении дифференциальных уравнений, Mathcad имеет различные встроенные функции. Несмотря на различные методы поиска решения, каждая из этих функций требует, чтобы были заданы по крайней мере следующие величины, необходимые для поиска решения:

• Начальные условия.
• Набор точек, в которых нужно найти решение.
• Само дифференциальное уравнение, записанное в некотором специальном виде, который будет детально описан в этой главе.

В этом разделе описано, как решить ОДУ, используя функцию rkfixed. Раздел начинается с примера того, как решить простейшее дифференциальное уравнение первого порядка. Затем будет показано, как можно решать дифференциальные уравнения более высокого порядка.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, которое не содержит производных выше первого порядка от неизвестной функции. На Рисунке 1 показан пример того, как решить относительно простое дифференциальное уравнение:

с начальными условиями: y(0) = 4

Функция rkfixed на Рисунке 1 использует для поиска решения метод Рунге-Кутты четвертого порядка. В результате решения получается матрица, имеющая два следующих столбца:

• Первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения.
• Второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках.

Рисунок 1: Решение дифференциального уравнения первого порядка.

Функция rkfixed имеет следующие аргументы:

Наиболее трудная часть решения дифференциального уравнения состоит в определении функции D(x, y), которая содержит вектор первых производных от неизвестных функций. В примере, приведенном на Рисунке 1, было достаточно просто разрешить уравнение относительно первой производной , и определить функцию D(x, y). Иногда, особенно в случае нелинейных дифференциальных уравнений, это может быть трудно. В таких случаях иногда удаётся разрешить уравнение относительно в символьном виде и подставить это решение в определение для функции D(x, y). Используйте для этого команду Решить относительно переменной из меню Символика.

Рисунок 2: Более сложный пример, содержащий нелинейное дифференциальное уравнение.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Как только Вы научились решать дифференциальное уравнение первого порядка, можно приступать к решению дифференциальных уравнений более высокого порядка. Мы начнем с дифференциального уравнения второго порядка. Основные отличия от уравнения первого порядка состоят в следующем:

• Вектор начальных условий y теперь состоит из двух элементов: значений функции и её первой производной в начальной точке интервала x1.
• Функция D(t, y) является теперь вектором с двумя элементами:

Пример, приведенный на Рисунке 3, показывает, как решить следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

Рисунок 3: Решение дифференциального уравнения второго порядка.

Уравнения более высокого порядка

Методика решения дифференциальных уравнений более высокого порядка является развитием методики, которая применялась для решения дифференциальных уравнений второго порядка. Основное различие состоит в следующем:

• Вектор начальных значений y теперь состоит из n элементов, определяющих начальные условия для искомой функции и ее производных y, y’ , y». y (n-1)
• Функция D является теперь вектором, содержащим n элементов:

Пример, приведенный на Рисунке 4, показывает, как решить следующее дифференциальное уравнение четвертого порядка:

с начальными условиями:

Рисунок 4: Решение дифференциального уравнения более высокого порядка.

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter