Найти число корней уравнения руше

Найти число корней уравнения руше

Внимание! Если вы делали заказ после 19.08.2021, вход в новый Личный кабинет — тут

Неправильный логин или пароль.

Укажите электронный адрес и пароль.

Пожалуйста, укажите электронный адрес или номер телефона, который вы использовали при регистрации. Вам будет отправлено письмо со ссылкой на форму изменения пароля или SMS сообщение с новым паролем.

Инструкция по изменению пароля отправлена на почту.

Чтобы зарегистрироваться, укажите ваш email и пароль

Нажимая кнопку «Зарегистрироваться» вы даете согласие на обработку персональных данных в соответствии с политикой конфеденциальности.

Найти число корней уравнения руше

Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени ? Оказы вается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

Решите уравнение: `x^3 +4x^2 — 2x-3=0`.

Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:

`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`

Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравне ния? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

Если несократимая дробь `p//q` (`p` — целое, `q` — натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами , то сво бодный член делится на `p` , а старший коэффициент делится на `q`.

Пусть несократимая дробь `p//q` — корень многочлена (8). Это означает, что

`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ . «+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.

Умножим обе части на `q^n`, получаем:

`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + . + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.

Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)

б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)

а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` — корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:

Поэтому `p` может принимать значения:

Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in<+-1;+-2;+-5;+-10>`; `qin<1;2;3;6>`.Возможные варианты для `x_0`:

Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` — корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.

К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.

Разложите на множители:

а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:

В итоге получаем:

Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Теория функций комплексного переменного (практика)

Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов

Интегралы вида $\int\limits_0^<2\pi>R(\cos,\sin)\,dx$

I. Интеграл вида \begin I=\int\limits_0^<2\pi>R(\cos,\sin)\,dx, \end где $R(u,v)$ — рациональная функция двух переменных, вычисляется с помощью подстановки $$z=e^<\mathbf i x>.$$ Тогда $$ \cos=\frac12\left(e^<\mathbf i x>+e^<-\mathbf i x>\right)=\dfrac12\left(z+\dfrac1z\right), $$ $$ \sin= \frac<1><2\mathbf i>\left(e^<\mathbf i x>-e^<-\mathbf i x>\right)=\dfrac<1><2\mathbf i>\left(z-\dfrac1z\right), $$ $$ dz=\mathbf ie^<\mathbf i x>dx=\mathbf i z dx,\quad\hbox<откуда>\quad dx=\dfrac<\mathbf i z>. $$ и вещественный интеграл переходит в комплексный. При изменении $x$ от $0$ до $2\pi$ комплексная переменная пробегает замкнутый контур — окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Окончательно интеграл принимает вид $$ I=\frac<1><\mathbf i>\oint\limits_<|z|=1>F\left(z+\frac1z,z-\frac1z\right) \frac\,. $$

Пример 1

Р е ш е н и е.
Положим $e^<\mathbf i x>=z$. При изменении $x$ от 0 до $2\pi$ переменная $z$ пробегает окружность $|z|=1$ в положительном направлении. Выразим $$ \cos x=\frac<2z>, \quad \sin x=\frac<2\mathbf i z>, \quad dx=\frac<\mathbf i z>. $$ Тогда $$ I=\oint\limits_<|z|=1>\frac dz. $$

Корни знаменателя $$ z_1=(-2+\sqrt<3>)\mathbf i, \,\, z_2=(-2-\sqrt<3>)\mathbf i, \,\, z_3=0 $$ являются простыми полюсами. При этом $z_1$ и $z_3$ лежат внутри круга $|z| 0$.

Пример 2

Вычислить интеграл $ I=\int\limits_<-\infty>^\infty\frac.$

Р е ш е н и е.
Аналитическое продолжение подынтегральной функции в верхнюю полуплоскость, а именно функция $$ f(z)=\frac1, $$ удовлетворяет всем условиям, относящимся к вычислению интегралов с помощью вычетов. Особыми точками функции в верхней полуплоскости являются точки $$ z_1=e^<\tfrac<\pi>4\mathbf i>,\quad z_2=e^<\tfrac<3\pi>4\mathbf i >, $$ причем обе эти точки

— полюсы 1-го порядка. Здесь вычеты в простых полюсах удобно найти по формуле: $$ \mboxf(z_0)=\frac<\varphi'(z_0)>. $$ $$ \mboxf(e^<\tfrac<\pi>4\mathbf i>)=\frac<1><4e^<\tfrac<3\pi>4\mathbf i>>= \frac<\sqrt<2>(-1-\mathbf i)><8>. $$ $$ \mboxf(e^<\tfrac<3\pi>4\mathbf i>)=\frac<1><4e^<\tfrac<9\pi>4\mathbf i>>= \frac<\sqrt<2>(1-\mathbf i)><8>. $$ Поэтому $$ I=2\pi \mathbf i\sum\limits_^2 \mboxf(z_k)=\frac<\pi\sqrt2>2. $$

Интегралы вида $\int\limits_<-\infty>^ <+\infty>R(x)\cos<\lambda x>\, dx,\,\, \int\limits_<-\infty>^ <+\infty>R(x)\sin<\lambda x>\, dx$

III. Несобственные интегралы вида \begin I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\cos<\lambda x>\,dx, \,\, I=\int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\sin<\lambda x>\,dx, \end где $R(x)=P_m(x)/Q_n(x)$ — правильная рациональная дробь, не имеющая особых точек на действительной оси, вычисляются с помощью леммы Жордана.

Используя лемму Жордана, получим формулу для вычисления интегралов третьего вида: \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\cos<\lambda x>\,dx = \mbox\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_ \mbox R(z_k)e^<\mathbf i \lambda z_k>\right), \end \begin \int\limits_<-\infty>^\infty R(x)\sin<\lambda x>\,dx = \mbox\left( 2\pi \mathbf i \sum\limits_ \mboxR(z_k)e^<\mathbf i \lambda z_k>\right), \end где вычеты берутся во всех полюсах $z_k$ функции $R(z)e^<\mathbf i\lambda z>$, расположенных в верхней полуплоскости $\mboxz_k>0$.

Пример

Р е ш е н и е.
Чтобы иметь возможность воспользоваться леммой Жордана, заметим, что в силу формулы Эйлера $$ I=\mboxI_1 =\mbox\int\limits_<-\infty>^\infty \frac> \,dx. $$

Аналитическое продолжение подынтегральной функции интеграла $I_1$ — функция $\dfrac>$ имеет в верхней полуплоскости единственную особую точку $z_1=\mathbf i a$, являющуюся простым полюсом. Поэтому по основной теореме о вычетах $$ I_1=2\pi \mathbf i \, \mbox\left(\frac>\Big|_ \right)=\frac\pie^ <-\alpha a>$$ и $$ I=\mboxI_1=\frac\pie^<-\alpha a>. $$

Теорема Руше

Пусть функции $f(z)$ и $\varphi(z)$ являются аналитическими в замкнутой области $D$, причем на границе $L$ этой области имеет место неравенство: $$|f(z)|>|\varphi(z)|, \,\, z\in L.$$ Тогда полное число нулей (с учетом их кратности) в $D$ функции $F(z)=f(z)+\varphi(z)$ равно полному числу нулей (с учетом их кратности) функции $f(z)$.

Пример 1

Найти число нулей функции $F(z)=z^8-4z^5+z^2-1$ в единичном круге.