Найти действительные числа из уравнения

Найти действительные числа из уравнения

Квадратный корень из комплексного числа

Корни четвертой и пятой степени

Возведение в степень

Мнимая и действительная часть

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно

2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Калькулятор комплексных чисел. Вычисление выражений с комплексными числами

Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.

Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором

1. Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
2. Укажите, требуется ли вывод решения переключателем «С решением»
3. Нажмите на кнопку «Построить»

Ввод комплексных чисел

комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:

• Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
• Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
• Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
• Математические константы: π, e

Поддерживаемые операции и математические функции

• Арифметические операции: +, -, *, /, ^
• Получение абсолютного значения числа: abs
• Базовые математические функции: exp, ln, sqrt
• Получение действительной и мнимой частей: re, im
• Тригонометрические функции: sin, cos, tg, ctg
• Гиперболические функции: sh, ch, th, cth
• Обратные тригонометрические функции: arcsin, arccos, arctg, arcctg
• Обратные гиперболические функции: arsh, arch, arth, arcth

Примеры корректных выражений

• (2+3i)*(5-7i)
• sh(i)
• (4+i) / (3 — 4i)
• sqrt(2i)
• (-3+4i)*2i / exp(2i + (15 — 8i)/4 — 3.75)

Комплексные числа

Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ).
Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.

Примеры комплексных чисел

• 4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
• -2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
• i — действительная часть = 0, мнимая = 1
• -i — действительная часть = 0, мнимая = -1
• 10 — действительная часть = 10, мнимая = 0

Основные действия с комплексными числами

Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:

• сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
• вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
• умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
• деление:

Примеры

Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i :
Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i
Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i

Найти разность чисел 12-i и -2i :
Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i
Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i

Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i
Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i

Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i :
Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18.
Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i
Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i

Другие действия над комплексными числами

Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:

• Получение действительной части числа: Re(z) = a
• Получение мнимой части числа: Im(z) = b
• Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
• Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
• Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
• Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
• Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
• Гиперболические функции: sh z, ch z, th z, cth z
• Обратные тригонометрические функции: arcsin z, arccos z, arctg z, arcctg z
• Обратные гиперболические функции: arsh z, arch z, arth z, arcth z

Примеры

Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i
Re(z) = Re(4 — 3i) = 4
Im(z) = Im(4 — 3i) = -3
|z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5

Формы представления комплексных чисел

Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.

• Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
• Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
• Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))

Пример:

Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:

• Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2
• Найдём аргумент числа: φ = arctan(

Комплексные числа и их приложение к решению уравнений третьей и четвертой степени (стр. 2 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5

Решение. Комплексные числа z1 = (х − 4) + (у2 + 5) и z2 = (у2 + 1) − 3xi будут противоположными, если выполняются условия:

Решая полученную систему, находим :

Задача 10. При каких действительных значениях х и у комплексные числа z1 = 2x2 – yi −1− и z2 = у –3 + х2i – 2i будут равными?

Решение. Комплексные числа z1= (2х2 –1)+ (3 – y)i, z2 = (у–3) + (х2–2)i будут равными, если выполняются условия:

Решая систему, находим:

Ответ : (-1 ; 4) ; (1 ; 4) .

Занятие 4. Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Задача 1. Произведите действия с комплексными числами в алгебраической форме:

а) б)

в) г)

Ответ: a) 2 + i ; б) в)

Задача 2. Решите уравнения относительно действительных переменных х и у:

б)

Ответ: a) ;

б) (1;3); (-1;-3);

Задача 3. Найдите значения следующих многочленов:

б) 2x3 + 3 х2у + 3 ху2 + у3 при х = 1 + i ,

у = ;

Ответ: а) 1 ; б) 2 ; в) 6 + 6i .

Замечание. В примерах б) и в) необходимо сначала свернуть формулы куба суммы и куба разности соответственно.

Задача 4. Вычислите следующие квадратные корни:

а) ; б) .

Ответ: а) ; б) .

Задача 5. Решите квадратные уравнения:

Ответ: а) –2 + i ; –3 + i ; в) 1 – i ; 0,8 – 0,4 i ;

Задача 6. Найдите все комплексные числа, каждое из которых сопряжено с самим собой.

Ответ: множество действительных чисел R .

Задача 7. Как связаны между собой два комплексных числа, сумма и произведение которых являются действительными числами?

Ответ: эти числа либо оба действительные, либо сопряжены друг другу.

Задача 8. Найдите все комплексные числа, сопряженные своему кубу.

Занятие 5. Контрольная работа №1

1. Вычислите: .

2. Вычислите двумя способами квадратный: .

3. Решите уравнение: (4 + 3i)2 х + (4 − 3i)2 у = − 7 + 120 i,
считая х и у действительными числами.

4. Решите квадратное уравнение:

5. Зная, что x1 = 2i является корнем кубического уравнения х3 – 3х2 + 4х – 12 = 0, найдите остальные корни данного уравнения.

Глава 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

Занятие 6. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

Введем на плоскости прямоугольную

систему координат хОу и поставим в
соответствие каждому комплексному

числу z = а + bi точку плоскости с

координатами (а;b). Полученное

соответствие между всеми

комплексными числами и всеми

точками плоскости взаимно однозначно:

каждому комплексному числу z=а+bi
соответствует одна точка плоскости с
координатами (а;b) , и обратно, каждой

точке плоскости с координатами (а;b)

комплексное число z = а + bi (см. рис. 1).

Таким образом, через z мы будем одновременно обозначать и комплексное число и точку, изображающую это комплексное число.

Комплексное число z=а+bi называется комплексной координатой точки (а;b) .

Поскольку при указанном соответствии действительные числа z = а + 0i изображаются точками оси абсцисс, то ось Ох называется действительной осью. Ось Oу , на которой лежат чисто мнимые числа z = 0 + bi, называется мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Комплексное число z = а + bi может также изображаться вектором с координатами а и b , идущим из начала координат в точку (а;b) (см. рис.1).

Поскольку по определению модуля комплексного числа

,

очевидно, что модуль комплексного числа равен длине вектора .

Рассмотрим произвольный вектор , равный вектору (см. рис.2). Из курса геометрии известно, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координатами вектора также являются числа а и b .

Вектору сопоставим то же самое комплексное число z = a + bi , которое назовем комплексной координатой вектора .

Таким образом, мы приходим к следующему определению: комплексной координатой вектора называется комплексное число z = a + bi .