Найти двугранный угол между плоскостями с уравнениями онлайн

Угол между плоскостями. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти угол между плоскостями. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между плоскостями, введите элементы уравнения плоскостей в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Угол между плоскостями − теория

Пусть заданы две плоскости α и β общими уравнениями

Из определения скалярного произведения, имеем

.

(3)

Тогда из (3) можно найти косинус угла между нормальными векторами n₁ и n₂:

.

(4)

Учитывая, что (n₁, n₂)=A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂ и длины векторов |n₁|= и |n₂|=выражение (4) можно записать так:

.

(5)

Таким образом косинус угла между нормальными векторами и, следовательно, косинус угла между плоскостями α и β определяется формулой (5). Далее можно найти угол φ с помощью функции arccos.

Отметим, что пересекающиеся плоскости образую два угла. Другой угол можно найти так: φ‘=180−φ.

Онлайн калькулятор. Угол между плоскостями.

Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором для вычисления угла между плоскостями.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление угла между плоскостями и закрепить пройденный материал.

Найти угол между плоскостями

Уравнение 1-ой плоскости:

Уравнение 2-ой плоскости:

Ввод данных в калькулятор для вычисления угла между плоскостями

В онлайн калькулятор можно вводить числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления угла между плоскостями

• Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.

Теория. Угол между плоскостями

Двугранный угол между плоскостями равен углу образованному их нормальными векторами.

Если заданы уравнения плоскостей A₁ x + B₁ y + C₁ z + D₁ = 0 и A₂ x + B₂ y + C₂ z + D₂ = 0, то угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Вычисление угла между двумя плоскостями

Этот калькулятор онлайн вычисляет угол между плоскостями заданными в виде общего уравнения плоскости:
$$ Ax+By+Cz+D=0 $$

Онлайн калькулятор для вычисления угла между двумя плоскостями не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac<2> <3>\)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac<5> <7>\)

Введите числа A, B, C общих уравнений двух плоскостей
Числа D вводить не нужно — в расчетах они не используются
Вычислить угол между плоскостями

Немного теории.

Общее уравнение плоскости

Пусть заданы:
прямоугольная система координат Oxyz,
произвольная плоскость \( \pi \);
точка \( M_0(x_0;y_0;z_0) \in \pi \);
вектор \( \vec(A;B;C) \), перпендикулярный плоскости \( \pi \) (смотри рисунок).

Рассмотрим произвольную точку М(х; у; z). Точка М лежит на плоскости \( \pi \) тогда и только тогда, когда векторы \( \vec \) и \( \vec \) взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора \( \vec \) равны \( x-x_0, \; y-y_0, \; z-z_0 \) , то в силу условия перпендикулярности двух векторов (скалярное произведение должно быть равно нулю) получаем, что точка М (х; у; z) лежит на плоскости \( \pi \) тогда и только тогда, когда

Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
\( Ax+By+Cz+(-Ax_0-By_0-Cz_0)=0 \)
Далее, обозначая число \( -Ax_0-By_0-Cz_0 \) через \( D \), получаем

Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость. Действительно, пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и уравнение \( Ax+By+Cz+D=0 \) с произвольными коэффициентами А, В, С и D, причем из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение \( x_0, \; y_0, \; z_0 \) ( если, например, \( C \neq 0 \), то, взяв произвольные х₀, и y₀, из уравнения получим: \( z_0 = -\fracx_0 — \fracy_0-\frac \) ).

Таким образом, существует хотя бы одна точка M₀(x₀; y₀; z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению, т.е. Ax₀+By₀+Cz₀+D=0. Вычитая это числовое равенство из уравнения Ax+By+Cz+D=0, получаем уравнение
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) + D=0,
эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и уравнение Ax+By+Cz+D=0 ) совпадает с уравнением (1) и, значит, определяет плоскость \( \pi \), проходящую через точку M₀(x₀ и перпендикулярную вектору \( \vec(A;B;C) \).

Вектор \( \vec(A;B;C) \), перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором или нормалью этой плоскости.

Теорема
Если два уравнения \( A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \) и \( A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны, т.е. $$ \frac = \frac = \frac = \frac $$

Угол между двумя плоскостями

Рассмотрим две плоскости \( \pi_1 \), и \( \pi_2 \), заданные соответственно уравнениями

При любом расположении плоскостей \( \pi_1 \), и \( \pi_2 \) в пространстве один из углов \( \varphi \) между ними равен углу между их нормалями \( \vec(A_1;B_1;C_1) \) и \( \vec(A_2;B_2;C_2) \) и вычисляется по следующей формуле:
$$ \cos \varphi = \frac < \vec\cdot \vec>< |\vec| |\vec| > = \frac <\sqrt\; \sqrt > \tag <3>$$

Второй угол равен \( 180^\circ -\cos \varphi \)

Условие параллельности плоскостей

Если плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) параллельны, то коллинеарны их нормали \( \vec \) и \( \vec \), и наоборот. Но тогда
$$ \frac = \frac = \frac \tag <4>$$
Условие (4) является условием параллельности плоскостей \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \)

Условие перпендикулярности плоскостей

Если плоскости \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \) взаимно перпендикулярны, то их нормали \( \vec \) и \( \vec \) также перпендикулярны, и наоборот. Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие перпендикулярности плоскостей \( \pi_1 \) и \( \pi_2 \):
\( A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0 \)