Найти экстремумы функции при уравнении связи

Условные экстремумы и функция Лагранжа

В задачах оптимизации возникает необходимость найти экстремумы функции двух и более переменных при условии, что существует связь между переменными этой связи, заданная уравнением . В этом случае говорят, что требуется найти условный экстремум.

Для того чтобы найти условный экстремум требуется находить частные производные и решать системы уравнений Существует алгоритм нахождения условного экстремума из трёх шагов, который сейчас и разберём на примере, и геометрический смысл условного экстремума, который должен дойти до каждого при разборе этого самого примера.

Итак, алгоритм, который разберём на примере самой распространённой задачи — нахождение условного экстремума функции двух переменных..

Шаг 1. Вводится функция Лагранжа

,

где первое слагаемое — сама исходная функция, а второе слагаемое со знаком минус — левая часть уравнения условия связи, умноженная на (лямбда) — множитель Лагранжа.

Пример 1. Найти условные экстремумы функции двух переменных , выражающей площадь прямоугольника через его стороны x и y при условии , означающем, что существует верёвка, которой можно ограничить этот прямоугольник, и длина этой верёвки равна 100.

Шаг 1. Решение. Приведём уравнение условия связи к требуемому виду с нулём в правой части:

.

Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Составляем систему уравнений из равенств частных производных нулю и уравения условия связи (необходимый признак существования условного экстремума):

Решения этой системы уравнений являются точками возможного условного экстремума — стационарными точками или, как ещё говорят, критическими точками.

Решение. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значение множителя Лагранжа:

Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции:

Получили и . Эти значения являются также координатами стационарной точки. Таким образом, получили стационарную точку .

Шаг 3. Пусть является стационарной точкой, найденной на шаге 2. Чтобы определить, является ли условный экстремум минимумом или максимумом, нужно найти второй дифференциал функции Лагранжа

и в полученном выражении подставить вместо «лямбды» её значения (значения множителя Лагранжа), найденные на шаге 2.

Если значение второго дифференциала функции Лагранжа меньше нуля (), то стационарная точка является точкой максимума, если больше нуля (), то стационарная точка является точкой минимума. Если значение второго дифференциала функции Лагранжа равно нулю, то требуются дополнительные исследования, но такие случаи практически не попадаются в задачах, задаваемых студентам.

Координаты стационарных точек подставляются в исходную точку и, таким образом, мы окончательно находим условные экстремумы (или минимум и максимум или что-то одно из этих экстремумом).

Решение. Найдём второй дифференциал функции Лагранжа:

В нашем случае, так как первое и третье составляющие равны нулю, нам не придётся подставлять в них значения множителя Лагранжа. Зато нужно найти отношения между дифференциалами dx и dy :

Так как полученные значения — противоположные по знаку, то получаем, что в любом случае .

Теперь можем найти значение условного экстремума исходной функции, являющееся максимумом:

.

Это заданная исходной функцией максимальная площадь прямоугольника, который можно ограничить верёвкой, длина которой равна 100.

Пример 2. Найти условные экстремумы функции двух переменных при условии .

Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Подставим эти выражения в третье уравнение и найдём значения множителя Лагранжа:

Подставим теперь значение множителя Лагранжа в выражения для x и y и найдём значения переменных исходной функции при двух значениях множителя Лагранжа:

Эти значения икса и игрека являются координатами двух стационарных точек. Таким образом, получили стационарные точки .

Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:

:

Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле

:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точка — точка условного максимума:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, большее нуля, следовательно, точка — точка условного минимума:

.

Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.

Пример 3. Найти условные экстремумы функции двух переменных при условии .

Шаг 1. Составим функцию Лагранжа:

.

Шаг 2. Найдём частные производные функции Лагранжа и составим из их равенств нулю и уравнения условия связи систему уравнений:

Из первого и второго уравнений выразим соответственно x и y :

Получаем, что , однако подстановка этих значений переменных в третье уравнение системы не даёт верного равенства. Поэтому считаем, что на самом деле второй сомножитель равенства равен нулю: . Отсюда получаем

Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа . Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что . Из третьего уравнения системы получаем:

Получили две стационарные точки:

Ищем координаты стационарных точек при значении множителя Лагранжа . Тогда из выражений для икса и игрека из системы уравнений следует, что .

На основании вычислений двух первых стационарных точек получилаем ещё две стационарные точки:

Шаг 3. Найдём частные производные второго порядка функции Лагранжа:

:

Найдём второй дифференциал функции Лагранжа по формуле

:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, меньшее нуля, следовательно, точки — точки условного максимума:

.

Установим знак второго дифференциала функции Лагранжа при значении множителя Лагранжа :

Получили значение, большее нуля, следовательно, точки — точки условного минимума:

.

Таким образом, условные экстремумы заданной функции найдены.

Аналогичным образом можно находить условные экстремумы функций трёх и более переменных.

Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Первая часть.

Для начала рассмотрим случай функции двух переменных. Условным экстремумом функции $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0;y_0)$ называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные $x$ и $y$ в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи $\varphi (x,y)=0$.

Название «условный» экстремум связано с тем, что на переменные наложено дополнительное условие $\varphi(x,y)=0$. Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует $y=\psi(x)$, то подставив $y=\psi(x)$ в $z=f(x,y)$, получим функцию одной переменной $z=f\left(x,\psi(x)\right)$. В общем случае, однако, такой метод малопригоден, поэтому требуется введение нового алгоритма.

Метод множителей Лагранжа для функций двух переменных.

Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (параметр $\lambda$ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:

Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак $d^2 F=F_^<''>dx^2+2F_^<''>dxdy+F_^<''>dy^2$. Если в стационарной точке $d^2F > 0$, то функция $z=f(x,y)$ имеет в данной точке условный минимум, если же $d^2F 0$, то $d^2F 0$, т.е. имеем условный минимум функции $z=f(x,y)$.

Примечание относительно формы записи определителя $H$. показать\скрыть

Некоторые авторы записывают определитель $H$ в иной форме (с знаком «-«):

В этой ситуации сформулированное выше правило изменится следующим образом: если $H > 0$, то функция имеет условный минимум, а при $H m$):

Обозначив множители Лагранжа как $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, составим функцию Лагранжа:

Необходимые условия наличия условного экстремума задаются системой уравнений, из которой находятся координаты стационарных точек и значения множителей Лагранжа:

Выяснить, условный минимум или условный максимум имеет функция в найденной точке, можно, как и ранее, посредством знака $d^2F$. Если в найденной точке $d^2F > 0$, то функция имеет условный минимум, если же $d^2F 0.$$

Следовательно, в точке $M_1(1;3)$ функция $z(x,y)=x+3y$ имеет условный максимум, $z_<\max>=z(1;3)=10$.

Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ найдем:

$$H=8\cdot\left| \begin 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end \right|= 8\cdot\left| \begin 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end \right|=-40$$

Так как $H 0$. Следовательно, знак $H$ противоположен знаку $\lambda$. Можно и довести вычисления до конца:

Вопрос о характере экстремума в стационарных точках $M_1(1;3)$ и $M_2(-1;-3)$ можно решить и без использования определителя $H$. Найдем знак $d^2F$ в каждой стационарной точке:

Отмечу, что запись $dx^2$ означает именно $dx$, возведённый в вторую степень, т.е. $\left( dx \right)^2$. Отсюда имеем: $dx^2+dy^2>0$, посему при $\lambda_1=-\frac<1><2>$ получим $d^2F 0$, посему в данной точке функция имеет условный максимум, $z_<\max>=\frac<500><243>$.

Исследуем характер экстремума в каждой из точек иным методом, основываясь на знаке $d^2F$:

Из уравнения связи $x+y=0$ имеем: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

Так как $ d^2F \Bigr|_=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ является точкой условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$. Аналогично, $d^2F \Bigr|_=-10 dx^2 0$, то $M_1$ – точка минимума функции $u(x)$, при этом $u_<\min>=u(0)=0$. Так как $u_^<''>(M_2) 0; \; y > 0. \end \right. $$

Все дальнейшие преобразования осуществляются с учетом $x > 0; \; y > 0$ (это оговорено в условии задачи). Из второго уравнения выразим $\lambda=-\frac<5x>$ и подставим найденное значение в первое уравнение: $5y-\frac<5x>\cdot \frac<4>=0$, $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Подставляя $x=2y$ в третье уравнение, получим: $\frac<4y^2><8>+\frac<2>-1=0$, $y^2=1$, $y=1$.

Так как $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер экстремума в точке $(2;1)$ определим, исходя из знака $d^2F$.

В принципе, здесь можно сразу подставить координаты стационарной точки $x=2$, $y=1$ и параметра $\lambda=-10$, получив при этом:

Однако в других задачах на условный экстремум стационарных точек может быть несколько. В таких случаях лучше $d^2F$ представить в общем виде, а потом подставлять в полученное выражение координаты каждой из найденных стационарных точек:

Подставляя $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, получим:

Ответ: в точке $(2;1)$ функция имеет условный максимум, $z_<\max>=6$.

В следующей части рассмотрим применение метода Лагранжа для функций большего количества переменных.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Экстремум функции многих переменных

Содержание:

Экстремум функции многих переменных

Пусть задана функция многих переменных u = u (x₁, x₂, . x_n). Покажем, как найти u_max или u_min этой функции, по аналогии с функцией двух переменных.

ТЕОРЕМА 3. Если функция u = u (x₁, x₂, . x_n) в точке достигает экстремума, то ее частные производные в этой точке равны нулю, то есть

Доказательство теоремы 3 аналогичное доказательству теоремы 1.
Допустим, что точка является критической точкой. Найдем значение вторых частных производных функции u = u (x₁, x₂, . x_n) в точке X 0 и составим матрицу:
(5.13)

Матрица вида (5.13) называется матрицей Гесса.

Установим достаточные условия экстремума функции u = f (x₁, x₂, . x_n) в точке . Пусть точка является подозрительной на экстремум.
Разложим функцию u = u (x₁, x₂, . x_n) в ряд Тейлора в окрестности точки:

где ε → 0, когда

Очевидно, что точка X 0 является точкой максимума, если Аналогично, точка X 0 является точкой минимума, если

Это в свою очередь зависит от значения квадратичной формы:

Для характеристики знака этой суммы используем матрицу Гесса, которая была введена раньше. Теперь сформулируем условия положительной (отрицательной) определенности матрицы Гесса. Для этого введем понятие главных миноров матрицы H (X 0 ).

Определение 6. Минор, расположенный на пересечении первых k строк и k столбцов матрицы называется главным минором k-го порядка.

Например:

ТЕОРЕМА 4. (Критерий Рауса-Гурвица). Если главные миноры матрицы H (X 0 ) положительные, то функция u = u (x₁, x₂, . x_n) достигает минимума в точке X 0 .

Если то функция u = u (x₁, x₂, . x_n) достигает максимума в точке X 0 . Этот факт хорошо известен из теории положительной (отрицательной) определенности матриц и, соответственно, квадратичных форм. В математической литературе этот критерий называют также критерием Сильвестра.

Случай экстремума функции двух переменных z = f (x, y) является частным случаем экстремума функции многих переменных.

Условный экстремум функции многих переменных

Пусть функция u = u (x₁, x₂, . x_n) исследуется на экстремумы при условии, что выполняются уравнения:
, где m 2 и xy и один столбик, в котором записываем соответствующие суммы, входящие в нормальную систему. В результате получим следующую таблицу:

Данные последнего столбика таблицы подставляем в нормальную систему уравнений.

Пример 1. Дана таблица

Найти коэффициенты прямолинейной связи между x и y.

Решение. Строим расширенную таблицу.

По таблице составляем систему уравнений при n = 5:

Домножим второе уравнение на (-1; 6) и добавим к первому. Получим:

Ответ: y = 1,96 x + 1,06.

Построение эмпирических формул в случае нелинейной зависимости

Параболическая зависимость

Пусть зависимость между переменными величинами задается формулой y = ax 2 + bx + c. Такая зависимость называется параболической. Воспользуемся методом наименьших квадратов для нахождения коэффициентов a, b, c.

Допустим, что нам задана эмпирическая таблица, по которой строим рисунок (рис. 13).

По аналогии с линейной зависимостью рассмотрим сумму квадратов невязок:

Подставив вместо δ_i их значение в F (a, b, c), получим:

Наложим требование, чтобы функция F (a, b, c) достигла минимума, и запишем необходимое условие существования экстремума:

Расписав систему уравнений в развернутом виде и выполнив соответствующие элементарные преобразования, получим нормальную систему уравнений для случая параболической зависимости:

Нелинейные зависимости, сводящиеся к линейным. Гиперболическая зависимость

Пусть зависимость между переменными x и y, которые заданы эмпирической таблицей, задается формулой

Такая зависимость называется гиперболической. Выполним преобразование переменных:

Введем новые обозначения:
Тогда исходное уравнение можно записать в виде:

Очевидно, что зависимость между переменными величинами и является линейной. Нужно найти значение а₁ и b₁. Для этого составим новую эмпирическую таблицу.

Для этой эмпирической таблицы составим нормальную систему уравнений для а₁ и b₁. Получим:

Найдя из этой системы значение а₁ и b₁, находим соответствующие значения a и b:

Показательная зависимость

Предположим, что зависимость между x и y задана формулой y = Be kx , то есть связь заданный с помощью показательной функции. Нужно найти коэффициенты B и k.

Прологарифмируем выражение y = Be kx при основании e, получим: ln y = lnB + kx. Введя обозначения b = ln B, получим следующую зависимость: . Для нахождения k и B можно воспользоваться нормальной системой уравнений, перейдя предварительно к новой эмпирической таблице.

Тогда B находим по формуле B = e b , найденные значения B и k подставим в исходную формулу.

Cтепенная зависимость

Пусть переменные x и y связаны формулой y = Bx k . Прологарифмируем эту функцию (при x > 0): ln y = ln B + k ln x. Введя новые обозначения b = lnB, снова приходим к линейной зависимости .
Чтобы воспользоваться нормальной системой уравнений для нахождения k и b, составляем новую эмпирическую таблицу.

Из нормальной системы находим k и b, затем находим B и полученные значения подставляем в формулу y = Bx k .

Пример 2. По данной эмпирической таблицей найти гиперболическую зависимость между x и y:

Решение. Сделав соответствующие обозначения, получим формулу . Составляем новую расширенную эмпирическую таблицу для и .

Для нахождения a₁ и b₁ решаем систему уравнений:

Тогда

Таким образом получаем:

Пример 3. Задана эмпирическая таблица:

Найти связь между x и y по формуле y = Be kx .

Решение. Согласно теории после введения новых обозначений зависимость между и будет выглядеть так: Создаем расширенную эмпирическую таблицу для и :

При составлении таблицы используем формулу ln (x ⋅ 10 p ) = ln x + p ln 10, значение ln x берем из соответствующих логарифмических таблиц, а ln 10 = 2,3026. Записываем нормальную систему уравнений для нахождения коэффициентов прямолинейной зависимости:

По логарифмической таблицами имеем B = e 0,723 ≈ 2,07.
Ответ: y = 2,07 e 0,985 x .

Пример 4. В таблице заданы расход топлива на 100 км (y) в зависимости от пробега автомобиля (x) тыс. км.

Выбрать вид зависимости между x и y и определить параметры этой зависимости.

Решение. Анализ показывает, что зависимость между величинами x и y параболическая, то есть y = ax 2 + bx + c.
Выписываем расширенную таблицу:

Составляем систему уравнений:

Таким образом, получим: y = 0,04 x 2 – 1,15 x + 31,54.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.