Найти характеристическое уравнение матрицы i

Характеристический многочлен онлайн

Характеристический полином матрицы A , вычисляется следующим образом:

| A &#x2212 &#x03BB E |

где E — единичная матрица, размеры которой совпадают с размерами исходной матрицы A .

Разберем подробнее приведенную выше формулу. Если матрица A задана в виде:

тогда выражение A &#x2212 &#x03BB E имеет вид:

Наконец, нам нужно найти определитель:

Раскрыв этот определитель, мы получим полином n -ой степени ( n — порядок исходной матрицы), зависящий от &#x03BB :

P &#x2006 ( &#x03BB ) = c _n &#x03BB &#x2006 n + c _{n &#x2212 1} &#x03BB &#x2006 n &#x2212 1 + . + c _i &#x03BB &#x2006 i + . + c ₁ &#x03BB &#x2006 + c ₀

Поскольку для вычисления характеристического полинома, требуется нахождение определителя матрицы, то характеристический полином может быть найден только для квадратной матрицы.

Наш онлайн калькулятор находит характеристический полином матрицы, причем в качестве элементов матрицы, можно вводить не только числа и дроби, но и параметры.

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

• Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
• Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
• Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
• Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
• Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
• Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Приводим матричное уравнение к упрощённому виду

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

1. Делим единицу на определитель матрицы A.
2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Третье действие: получаем обратную матрицу

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Квадратичные формы

Содержание:

Квадратичные формы и их определение

Определение. Квадратичной формой L (x₁, x₂, . x_n) от n переменных называется сумма, каждый член которой является или квадратом одной из переменных, или произведением двух различных переменных, взятых с некоторым коэффициентом, то есть
(2.44)

Допускаем, что в квадратичной форме (2.44) a_ij — действительные числа. Распишем квадратичную форму (2.44), разбив слагаемые, содержащие произведения переменных, на две равные части:

Матрица
(2.45)

или A = _ij> (i, j = 1, 2, . n) является симметричной, так как a_ij = a_ji, называется матрицей квадратичной формы (2.44).

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырожденная.
Если то квадратичную форму можно переписать в матричном виде L (x₁, x₂, . x_n) = X T AX.

Выражение X T AX представляет собой квадратичную форму в матричном виде.

Пример 1. Записать в матричном виде квадратичную форму

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид

А =

Значит,

Квадратичная форма называется канонической (или другими словами, имеет канонический вид), если все a_ij = 0, когда i ≠ j. Тогда квадратичная форма будет иметь вид

Рассмотрим следующую теорему.

ТЕОРЕМА 1. Произвольная квадратичная форма приводится к каноническому виду.

Доказательство. Пусть задана квадратичная форма (2.44) с матрицей (2.45) в базисе . Так как A — симметричная матрица, то существует ортогональная матрица B такая, что.

Матрица B является матрицей перехода от базиса
(2.46)
к некоторому базису
. (2.47)

Примечание. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице и сумма произведений соответствующих элементов из двух разных столбцов равна нулю. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы В является условие В T ⋅ B = Е.

Пусть X и Y являются векторами-столбцами из координат вектора соответственно в базисах (2.46) и (2.47). Тогда X = BY и

или
(2.48)

Примечание. При доказательстве данной теоремы использовали транспонирование произведения матриц по формуле (СY) T = Y T ⋅ C T .

Заметим, что в канонической форме (2.48) λ₁, λ₂, . λ_n являются собственными числами матрицы A.

Пример 2. Привести квадратичную форму к каноническому виду с помощью ортогональной матрицы и найти ее.

Решение. Матрица данной квадратичной формы имеет вид . Запишем систему типа (2.39) для нахождения собственных чисел и собственных векторов
(2.49)
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид
или (2 – λ) (5 – λ) – 4 = 0.
Решив данное уравнение, находим λ₁ = 6, λ₂ = 1. Значит канонический вид данной квадратичной формы является .
Найдем ортогональную матрицу.

Столбцами ортогональной матрицы, которая приводит квадратичную форму к каноническому виду, является ортонормированный собственные вектор-столбец матрицы A.

Сначала найдем нормированный собственный вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₁ = 6. Для этого из системы (2.49) имеем систему для нахождения координат вектора:

Из данной системы находим x₂ = 2x₁ или u₂ = 2u₁. Значит, при произвольном u₁, отличном от нуля, столбец является собственным вектором-столбиком матрицы A, а столбец является нормированным собственным вектором-столбиком матрицы A. Здесь использовано, что .
Аналогично находим вектор-столбец матрицы A с собственным значением λ₂ = 1, а именно из системы:

Находим x₁ = –2x₂ или при произвольном s, отличном от нуля, столбец является собственным вектором матрицы A. Столбец является нормированным собственным вектором матрицы A. Значит, искомая матрица имеет вид:

Замечание. Легко проверить, что для данного примера 2.
Рассмотрим на примере еще один метод приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду заключается в последовательном выделении полных квадратов.

Пример 3. Привести к каноническому виду квадратичную форму методом Лагранжа. Сначала выделим полный квадрат при переменной x₁, коэффициент при которой отличен от нуля.

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Канонический вид квадратичной формы не является однозначным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами. Однако полученные разными способами квадратичные формы имеют ряд общих свойств.

Сформулируем одно из этих свойств, которое выражает закон инерции квадратичных форм, и заключается в следующем: все канонические формы, к которым приводится данная квадратичная форма, имеют:
1) одно и то же число нулевых коэффициентов;
2) одно и то же число положительных коэффициентов;
3) одно и то же число отрицательных коэффициентов.

Определение 1. Квадратичная форма L (x₁, x₂, . x_n) называется положительно определенной, если для всех действительных значений x₁, x₂, . x_n используется неравенство L (x₁, x₂, . x_n) > 0.

Определение 2. Если L (x₁, x₂, . x_n) является положительно определенной формой, то квадратичная формаL (x₁, x₂, . x_n) T AX была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения λ_i (i = 1, 2, . n) матрицы A были положительными (отрицательными).

Данную теорему приводим без доказательства.

Во многих случаях для установления знакоопределенности квадратичной формы удобно применять критерии Сильвестра.

ТЕОРЕМА 3. Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными, то есть
где
Следует заметить, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака «минус» для минора первого порядка.

Например, квадратичная форма L в примере 2 является положительно определенной на основании теоремы 2, так как корни характеристического уравнения λ₁ = 6 и λ₂ = 1 являются положительными.
Второй способ. Так как главные миноры матрицы A
являются положительными, то по критерию Сильвестра данная квадратичная форма является положительно определенной.

Квадратичные формы

Однородный многочлен второй степени относительно переменных

называется квадратичной формой от этих переменных. Если взять то квадратическую форму (1.26) можно записать в виде:

Выражение (1.28), а следует и квадратичная форма (1.26) полностью определяется матрицей которая называется матрицей квадратичной формы (1.26).

Выполняя замену базиса, квадратичную форму (1.26) можно привести к виду:

где — новые переменные, что линейно выражаются через (1.28), — собственные значения матрицы

Выражение (1.29) называется каноническим видом квадратичной формы (1.26).

Рассмотрим квадратичную форму где — матрица коэффициентов

Тогда квадратичную форму можно записать так:

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для всех действительных значений выполняется неравенство и отрицательной, если для всех действительных значений выполняется неравенство

Если положительно определена, то квадратичная форма называется отрицательно определенной.

Решение примеров:

Пример 1.99

является отрицательно определенной.

Пример 1.100

Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнения линии второго порядка

Решение. Уравнение линии запишем в виде в котором

Сложим характеристическое уравнение матрицы и найдем ее собственные значения.

или

Корни уравнения являются собственными значениями. Следует, уравнение линии преобразуется в вид или Полученная линия — гипербола.

Свойства квадратичной формы (1.30) связаны с собственными числами матрицы

Пример 1.101

Привести к каноническому виду уравнения линии

Решение. Группа старших членов этого уравнения квадратическую форму Ее матрица

Собственными значениями будут числа Следует квадратичная форма преобразуется к виду а данное уравнение — к виду или Это эллипс.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.