Найти каноническое уравнение кривой is

Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Пример . Дано уравнение кривой 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 в системе координат (0,i,j), где i =(1,0) и j =(0,1).
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B=3x 2 +10xy+3y 2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ₁=-2, λ₂=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать 8x₁ 2 -2y₁ 2 , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x₁=1: x ₁=(1,-1).
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора x ₁.
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
x ₂=(1,1); .
Итак, имеем новый ортонормированный базис ( i ₁, j ₁).
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x 2 + 12xy + 8y 2 — 20 = 0.
Решение.Пример 2

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x 2 — 9y 2 -64x — 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение

Математический портал

Nav view search

Navigation

Search

• Вы здесь:
• Home
• Аналитическая геометрия
• Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

Общее уравнение кривой второго порядка. Каноническое уравнение кривой второго порядка.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Множество точек плоскости $R^2,$ удовлетворяющих условию $$\sum\limits_^2a_x_ix_j+2\sum\limits_^nb_kx_k+c=0,$$ называется кривой второго порядка. Каноническое уравнение кривой второго порядка может принимать один из следующих видов:

$$1)\,\, \lambda_1x^2+\lambda_2y^2+c=0\,\,\, (\lambda_1\lambda_2\neq 0);$$

$$2)\,\, \lambda_1x^2+by=0\qquad(\lambda_1\neq 0);$$

$$3)\,\, \lambda_1x^2+c=0\qquad(\lambda_1\neq 0).$$

Пример.

4.226. Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.

Решение.

Матрица квадратичной части многочлена второй степени имеет вид $$\begin9&-2\\-2&6\end.$$

Найдем ее собственные числа:

$$det(A-\lambda E)=\begin9-\lambda&-2\\-2&6-\lambda\end=(9-\lambda)(6-\lambda)-(-2)\cdot(-2)=$$ $$=\lambda^2-15\lambda+40=0.$$

Далее находим собственные вектора:

Собственный вектор для собственного числа $\lambda_1=10$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-10E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin-1&-2\\-2&-4\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin-1&-2\\-2&-4\end=4-4=0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен одному.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin-1\end=-1\neq 0.$ Тогда, полагая $x_2=c,$ получаем: $$-x_1-2c=0\Rightarrow x_1=-2c.$$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\begin-2c\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin-2\\1\end.$

Соответствующий ортонормированный собственный вектор: $$e_1’=\left(\frac<-2><\sqrt<4+1>>,\frac<1><\sqrt<4+1>>\right)=\left(\frac<-2><\sqrt 5>,\frac<1><\sqrt 5>\right).$$

Собственный вектор для собственного числа $\lambda_2=5$ найдем из системы $$(A-\lambda E)X=0, X\neq 0, \Rightarrow (A-5E)X=0, X\neq 0$$

Решим однородную систему уравнений:

Вычислим ранг матрицы коэффициентов $A=\begin4&-2\\-2&1\end$ методом окаймляющих миноров:

Фиксируем минор отличный от нуля второго порядка $M_2=\begin4&-2\\-2&1\end=4-4=0.$

Таким образом ранг матрицы $A$ равен одному.

Выберем в качестве базисного минор $M=\begin4\end=4\neq 0.$ Тогда, полагая $x_2=c,$ получаем: $$4x_1-2c=0\Rightarrow x_1=c/2$$

Таким образом, общее решение системы $X(c)=\beginc/2\\c\end.$

Из общего решения находим фундаментальную систему решений: $E=X(1)=\begin1/2\\1\end.$

Соответсвующий ортонормированный собственный вектор: $$e_1’=\left(\frac<1><\sqrt<4+1>>,\frac<2><\sqrt<4+1>>\right)=\left(\frac<1><\sqrt 5>,\frac<2><\sqrt 5>\right).$$

Таким образом, мы нашли вектора

Выделим по переменной $x’$ полный квадрат: $$10^2-\frac<40><\sqrt 5>x’=10\left(^2-\frac<4><\sqrt 5>+\frac<4><5>\right)-8=10\left(x’-\frac<2><\sqrt 5>\right)^2-8.$$

Делаем замену переменных:

$$x»=x’-\frac<2><\sqrt 5>, \qquad\quad y»=y’$$ (замена переменных соответствует сдвигу по оси $Ox.$ ) Получаем: $$10^2+5^2-10=0\Rightarrow ^2+\frac<^2><2>=1.$$ Это уравнение эллипса.

Результирующее преобрзование координат имеет вид

Ответ: Эллипс $^2+\frac<^2><2>=1.$ $O=\left(-\frac<4><5>, \frac<2><5>\right),$

Домашнее задание:

Написать каноническое уравнение кривой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую систему координат.

4.227. $x^2-2xy+y^2-10x-6y+25=0.$

Ответ: Парабола $^2=4\sqrt 2 x.$ $O’=\left(2, 1\right),$

4.228.$5x^2+12xy-22x-12y-19=0.$

Ответ: Гипербола $ \frac<^2><4>-\frac<^2><9>=1.$ $O’=\left(1, 1\right),$

Примеры решений: кривые второго порядка

В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости на тему Кривые второго порядка: приведение к каноническому виду, нахождение характеристик, построение графика т.п.

Кривые 2-го порядка: решения онлайн

Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение кривой 2 порядка, найти все ее параметры, построить кривую.

Задача 2. Дана кривая. Привести к каноническому виду. Построить и определить вид кривой.

Задача 3. Выяснить вид кривой по общему уравнению, найти её параметры и положение в системе координат. Сделать рисунок.

Задача 4. Общее уравнение кривой второго порядка привести к каноническому. Найти координаты центра, координаты вершин и фокусов. Написать уравнения асимптот и директрис. Построить линии на графики, отметить точки.

Задача 5. Дана кривая $y^2+6x+6y+15=0$.
1. Докажите, что данная кривая – парабола.
2. Найдите координаты ее вершины.
3. Найдите значения ее параметра $р$.
4. Запишите уравнение ее оси симметрии.
5. Постройте данную параболу.

Задача 6. Дана кривая $5x^2+5y^2+6xy-16x-16y=16$.
1. Докажите, что эта кривая – эллипс.
2. Найдите координаты центра его симметрии.
3. Найдите его большую и малую полуоси.
4. Запишите уравнение фокальной оси.
5. Постройте данную кривую.

Задача 7. Найти уравнения параболы и её директрисы, если известно, что парабола имеет вершину в начале координат и симметрична относительно оси $Ox$ и что точка пересечения прямых $y=x$ и $x+y-2=0$ лежит на параболе.

Задача 8. Составить уравнение кривой, для каждой точки которой отношение расстояния до точки $F(0;10)$ к расстоянию до прямой $x=-4$ равно $\sqrt<2/5>$. Привести это уравнение к каноническому виду и определить тип кривой.

Задача 9. Даны уравнения асимптот гиперболы $y=\pm 5x/12$ и координаты точки $M(24,5)$, лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Задача 10. Даны уравнение параболы $y=1/4 x^2+1$ и точка $C(0;2)$, которая является центром окружности. Радиус окружности $r=5$.
Требуется найти
1) точки пересечения параболы с окружностью
2) составить уравнение касательной и нормали к параболе в точках её пересечения с окружностью
3) найти острые углы, образуемые кривыми в точках пересечения. Чертёж.