Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения
.
В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
.
Тогда полуоси эллипсоида будут
, , .
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Мнимый эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
,
, , .
Мнимый конус
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:
,
, , .
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
, , ,
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид
.
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:
,
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
.
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая
,
,
получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
.
Гиперболический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.
Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:
.
III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
.
Мнимый эллиптический цилиндр
Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.
Мнимые пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:
.
Гиперболический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
.
Пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
.
IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
,
.
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
.
V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
.
Параллельные плоскости
Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Мнимые параллельные плоскости
Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Совпадающие плоскости
Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:
.
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
(как вычислить определитель).
I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,
Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.
.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
;
.
,
, , .
Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
.
.
Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.
.
I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .
Решаем характеристическое уравнение:
.
.
,
, .
Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
,
,
,
I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .
Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.
.
.
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Найти каноническое уравнение поверхности i
Пусть в декартовой системе координат дан вектор n = и точка М 0 =( x 0 , y 0 , z 0 ).
Построим плоскость Π, проходящую через т. М 0 , перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).
Утверждение 1: М Π ó М 0 М n .
М 0 М= < x-x 0 , y-y 0 , z-z 0 > n ó A( x-x 0 )+B( y-y 0 )+C( z-z 0 )=0. (*)
Каноническое уравнение плоскости в пространстве:
Аx+By+Cz+D=0, где D = -A x 0 -B y 0 -C z 0 .
Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.
Пример 1. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n= <3,1,1>и проходящей через точку М(2,-1,1).
Пример 2. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2,1,-2), L(0,0,-1), M(1,8,1).
Пусть в декартовой системе координат дан вектор a =
и точка М 0 =( x 0 , y 0 , z 0 ).
Построим прямую l , проходящую через т. М 0 , параллельную вектору a (этот вектор называют направляющим вектором прямой).
Утверждение 2: М l ó М 0 М || a .
М 0 М= < x-x 0 , y-y 0 , z-z 0 >|| a ó t R , т.ч. М 0 М=t ·a =>
Параметрические уравнения прямой в пространстве:
(**)
Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем.
В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t 0 =0 он находится в точке М 0 , в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).
Теперь несколько преобразуем формулы (**).
Выразим из каждой строчки параметр t:
Канонические уравнения прямой в пространстве:
Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.
Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо.
Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.
Пример 3. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через заданную точку.
Пример 4. Написать канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей.
Пример 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Пусть в декартовых координатах плоскость Π задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а точка М 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ).
Утверждение 3: расстояние от точки М 1 до плоскости Π вычисляется по формуле:
Пример 6. Найти расстояние от точки до плоскости.
Пусть в декартовой системе координат М 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ), М 2 =(x 2 ,y 2 ,z 2 ) .
Утверждение 4: Координаты т. М, т.ч. М 1 М=λ∙ММ 2 , находятся по следующим формулам:
.
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Касательной плоскостью к поверхности σ в её точке М0 называется плоскость, в которой лежат касательные ко всем кривым, проведённым на поверхности σ через точку М0.
Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением z = f(x,y) , в точке M0(x0,y0,z0) имеет вид:
Пример №1 . Поверхность задана уравнением x 3 +5y . Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(0;1).
Решение. Запишем уравнения касательной в общем виде: z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 0 , y0 = 1 , тогда z0 = 5
Найдем частные производные функции z = x^3+5*y :
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’x = 3•x 2
f’x(x,y) = (x 3 +5•y)’y = 5
В точке М0(0,1) значения частных производных:
f’x(0;1) = 0
f’y(0;1) = 5
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 5 = 0(x — 0) + 5(y — 1) или -5•y+z = 0
Пример №2 . Поверхность задана неявным образом y 2 -1/2*x 3 -8z. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности в точке M0(1;0;1).
Решение. Находим частные производные функции. Поскольку функция задана в неявном виде, то производные ищем по формуле:
Для нашей функции:
Тогда:
В точке М0(1,0,1) значения частных производных:
f’x(1;0;1) = -3 /16
f’y(1;0;1) = 0
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0: z — 1 = -3 /16(x — 1) + 0(y — 0) или 3 /16•x+z- 19 /16 = 0
Пример . Поверхность σ задана уравнением z= y/x + xy – 5x 3 . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.
Найдем частные производные функции z= f(x, y) = y/x + xy – 5x 3 :
fx’(x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’x = – y/x 2 + y – 15x 2 ;
fy’ (x, y) = (y/x + xy – 5x 3 )’y = 1/x + x.
Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:
Пример №1 . Дана функция z=f(x,y) и две точки А(х0, y0) и В(х1,y1). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В исходя из значения z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке C(x0,y0,z0).
Решение.
Запишем уравнения касательной в общем виде:
z — z0 = f’x(x0,y0,z0)(x — x0) + f’y(x0,y0,z0)(y — y0)
По условию задачи x0 = 1, y0 = 2, тогда z0 = 25
Найдем частные производные функции z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’x = 2•x+3•y 3
f’x(x,y) = (x 2 +3•x•y•+y 2 )’y = 9•x•y 2
В точке М0(1,2) значения частных производных:
f’x(1;2) = 26
f’y(1;2) = 36
Пользуясь формулой, получаем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке М0:
z — 25 = 26(x — 1) + 36(y — 2)
или
-26•x-36•y+z+73 = 0
Пример №2 . Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллиптическому параболоиду z = 2x 2 + y 2 в точке (1;-1;3).
Скачать решение
http://old.exponenta.ru/EDUCAT/CLASS/courses/an/theme3/theory.asp
http://math.semestr.ru/math/tangent-plane.php