Найти каноническую систему и каноническое уравнение поверхности
Пусть в декартовой системе координат дан вектор n = и точка М 0 =( x 0 , y 0 , z 0 ).
Построим плоскость Π, проходящую через т. М 0 , перпендикулярную вектору n (этот вектор называют нормальным вектором или нормалью плоскости).
Утверждение 1: М Π ó М 0 М n .
М 0 М= < x-x 0 , y-y 0 , z-z 0 > n ó A( x-x 0 )+B( y-y 0 )+C( z-z 0 )=0. (*)
Каноническое уравнение плоскости в пространстве:
Аx+By+Cz+D=0, где D = -A x 0 -B y 0 -C z 0 .
Замечание 1: формула (*) используется при непосредственном решении задач, после упрощения получается искомое каноническое уравнение плоскости.
Пример 1. Написать каноническое уравнение плоскости, перпендикулярной вектору n= <3,1,1>и проходящей через точку М(2,-1,1).
Пример 2. Написать каноническое уравнение плоскости, содержащей точки K(2,1,-2), L(0,0,-1), M(1,8,1).
Пусть в декартовой системе координат дан вектор a =
и точка М 0 =( x 0 , y 0 , z 0 ).
Построим прямую l , проходящую через т. М 0 , параллельную вектору a (этот вектор называют направляющим вектором прямой).
Утверждение 2: М l ó М 0 М || a .
М 0 М= < x-x 0 , y-y 0 , z-z 0 >|| a ó t R , т.ч. М 0 М=t ·a =>
Параметрические уравнения прямой в пространстве:
(**)
Вы никогда не сталкивались с параметрическим заданием кривых? Поясним на примере: представьте себе, что по заранее намеченному маршруту с известной скоростью движется турист (автомобиль, самолёт, подводная лодка, как Вам больше понравится). Тогда, зная точку начала его путешествия, мы в любой момент времени знаем, где он находится. Таким образом, его положение на маршруте определяется всего одним параметром – временем.
В нашем случае турист движется по бесконечной прямой в пространстве, в момент времени t 0 =0 он находится в точке М 0 , в любой другой момент времени t его координаты в пространстве вычисляются по формулам (**).
Теперь несколько преобразуем формулы (**).
Выразим из каждой строчки параметр t:
Канонические уравнения прямой в пространстве:
Замечание 2: Эта компактная запись на самом деле содержит три уравнения.
Замечание 3: Это формальная запись и выражение вида в данном случае допустимо.
Замечание 4: Надо понимать, что для уравнения плоскости (прямой) играет роль именно направление перпендикулярного (направляющего) вектора, а не он сам. Т.о. вполне допустимо из каких-либо соображений заменять данный (или полученный в ходе решения) вектор на пропорциональный ему. Целесообразно также упрощать полученное уравнение, деля все его коэффициенты на общий множитель.
Пример 3. Написать канонические и параметрические уравнения прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через заданную точку.
Пример 4. Написать канонические уравнения прямой, заданной пересечением двух плоскостей.
Пример 5. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Пусть в декартовых координатах плоскость Π задана уравнением: Ax+By+Cz+D=0, а точка М 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ).
Утверждение 3: расстояние от точки М 1 до плоскости Π вычисляется по формуле:
Пример 6. Найти расстояние от точки до плоскости.
Пусть в декартовой системе координат М 1 =(x 1 ,y 1 ,z 1 ), М 2 =(x 2 ,y 2 ,z 2 ) .
Утверждение 4: Координаты т. М, т.ч. М 1 М=λ∙ММ 2 , находятся по следующим формулам:
.
Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter
Поверхности второго порядка: их виды, уравнения, примеры
Общее уравнение поверхности второго порядка и инварианты поворота и переноса декартовой прямоугольной системы координат
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид
Для определения вида поверхности второго порядка по общему уравнению и приведения общего уравнения к каноническому, нам понадобятся выражения, которые называются инвариантами. Инварианты — это определители и суммы определителей, составленные из коэффициентов общего уравнения, которые не меняются при переносе и повороте системы координат. Эти инварианты следующие:
Следующие два выражения, называемые семиинвариантами, являются инвариантами поворота декартовой прямоугольной системы координат:
В случае, если I 3 = 0 , K 4 = 0 , семиинвариант K 3 будет также и инвариантом переноса; в случае же I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 семиинвариант K 2 = 0 будет также и инвариантом переноса.
Виды поверхностей второго порядка и приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому
I. Если I 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 , λ 2 , λ 3 — корни характеристического уравнения
.
В зависимости от того, какие знаки у чисел λ 1 , λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 , определяется вид поверхности второго порядка.
Эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 одного знака, а K 4 /I 3 имеет знак им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно переписать в следующем виде:
.
Тогда полуоси эллипсоида будут
, , .
Поэтому каноническое уравнение эллипсоида имеет вид
.
Мнимый эллипсоид
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 и K 4 /I 3 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллипсоид.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого эллипсоида:
,
, , .
Мнимый конус
Если числа λ 1 λ 2 , λ 3 , а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый конус.
После решения характеристического уравнения общее уравнение можно привести к каноническому уравнению мнимого конуса:
,
, , .
Однополостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, а третий корень и K 4 /I 3 имеют знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет однополостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни характеристического уравнения, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
, , ,
то каноническое уравнение однополостного гиперболоида будет иметь вид
.
Двуполостный гиперболоид
Если два корня характеристического уравнения и K 4 /I 3 имеют один и тот же знак, а третий корень характеристического уравнения им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет двуполостный гиперболоид.
Обозначая в этом случае через λ 1 и λ 2 корни, имеющие один знак, общее уравнение можно переписать в виде:
.
Последняя запись и есть каноническое уравнение двуполостного гиперболоида.
Конус
Если два корня характеристического уравнения имеют один знак, третий корень имеет знак, им противоположный, а K 4 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет конус.
Считая, что одинаковый знак имеют корни λ 1 и λ 2 , общее уравнение можно переписать в виде:
,
известном как каноническое уравнение конуса.
II. Если I 3 = 0 , а K 4 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический параболоид.
Общее уравнение можно переписать в виде:
.
Выбирая перед корнем знак, противоположный знаку λ 1 и λ 2 , и полагая
,
,
получим каноническое уравнение эллиптического параболоида:
.
Гиперболический параболоид
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический параболоид.
Обозначая через λ 1 положительный корень, а через λ 2 — отрицательный и беря перед корнем знак минус, переписываем уравнение в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение гиперболического параболоида:
.
III. Если I 3 = 0 , а K 4 = 0 , I 2 ≠ 0 то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 и λ 2 — отличные от нуля корни характеристического уравнения.
Эллиптический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 одного знака, а K 3 /I 2 имеет знак, им противоположный, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение эллиптического цилиндра:
.
Мнимый эллиптический цилиндр
Если λ 1 , λ 2 и K 3 /I 2 одного знака, то общее уравнение поверхности второго порядка определяет мнимый эллиптический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
Последняя запись — каноническое уравнение мнимого эллиптического цилиндра.
Мнимые пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют один знак, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
.
, ,
получим каноническое уравнение мнимых пересекающихся плоскостей:
.
Гиперболический цилиндр
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет гиперболический цилиндр.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, каноническое уравнение гиперболического цилиндра:
.
Пересекающиеся плоскости
Если λ 1 и λ 2 имеют разные знаки, а K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две пересекающиеся плоскости.
Переписываем уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, в виде:
,
, .
Таким образом, пересекающихся плоскостей:
.
IV. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 ≠ 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
где λ 1 = I 1 — отличный от нуля корень характеристического уравнения.
Параболический цилиндр
Уравнение, получившееся после решения характеристического уравнения, можно переписать в виде:
,
.
Это уравнение параболического цилиндра, в каноническом виде оно записывается так:
.
V. Если I 3 = 0 , K 4 = 0 , I 2 = 0 , K 3 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка при помощи поворота и переноса прямоугольной системы координат может быть приведено к следующему виду:
,
.
Параллельные плоскости
Если K 2 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Мнимые параллельные плоскости
Если K 2 > 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две мнимые параллельные плоскости.
,
перепишем его в виде
.
Совпадающие плоскости
Если K 2 = 0 , то общее уравнение поверхности второго порядка определяет две совпадающие плоскости:
.
Решение примеров на определение вида поверхности второго порядка
Пример 1. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
(как вычислить определитель).
I 1 = 1 + 5 + 1 = 7 ,
Следовательно, данная поверхность — однополостный гиперболоид.
.
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
;
.
,
, , .
Пример 2. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Решение. Найдём I 3 :
.
.
Следовательно, общее уравнение определяет эллиптический параболоид.
.
I 1 = 2 + 2 + 3 = 7 .
Решаем характеристическое уравнение:
.
.
,
, .
Пример 3. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
,
,
,
I 1 = 5 + 2 + 5 = 12 .
Так как I 3 = К 4 = 0 , I 2 > 0 , I 1 K 3 , то данное общее уравнение определяет эллиптический цилиндр.
.
.
Определить вид поверхности второго порядка самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Определить вид и составить каноническое уравнение поверхности, заданной относительно прямоугольной системы координат общим уравнением
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
- Каноническое уравнение поверхности второстепенный Определяет его геометрическую форму в соответствии с заданным уравнением квадратичной поверхности (т. Е. Поверхности, у которой уравнение декартовой системы координат является квадратичным алгебраическим уравнением). фДля этого мы применяем так называемый метод section.
1. эллипсоид Изучите поверхность, заданную уравнением x2 y2 z2 Рассмотрим сечение (1) поверхности с плоскостью, параллельной плоскости xOy. Уравнение для такой плоскости: z = A, где h — любое число. Линия, полученная в сечении, определяется двумя уравнениями x2. £ _ n h2 7 + V
1 «(2) z = h. Изучите уравнение (2): 2 а) Если / / i |> c, c> 0, то + pr Людмила Фирмаль
2 2 б) если \ h \ = c, т.е. h = ± c, ^ r + pg
0-пересечение (2) Уменьшите до двух точек (0; 0; c) и (0; 0; -c). Плоскости z-c и r = -c касаются указанной поверхности. c) Если | | i | Примеры решения и задачи с методическими указаниями
Решение задач | Лекции |
Сборник и задачник | Учебник |
- fx2 h2 [* 2 i, y2 u = U = l. Как видите, эта линия представляет собой полуосевой эллипс b1 = + и 6, = 1 + Полуось ai достигает минимального значения при Л = 0. Qi = a, & i = 6. По мере увеличения полуось эллипса увеличивается.Если вы пересекаете грань (3) с плоскостью x = h или y = A, вы получите гиперболу в поперечном сечении. Например, найдите пересечение поверхности (3), которая является уравнением (x = 0), и плоскости Ойза. Эта линия пересечения является уравнением Как видите, эта линия — гипербола. Анализ этих разделов показывает, что поверхность, определяемая уравнением (3), имеет бесконечно расширяющуюся форму трубки.
Примечание. Вы можете доказать, что в любой точке (3) на гиперболоиде есть две линии. 2 гиперболоида Поверхность задается уравнением 2-, 2 2 Jr + Jr-FR — 1-. (4) Если поверхность (4) пересекает плоскость r = h, линия пересечения определяется уравнением (X2 l Y1 h2 + P
7 «lj (5) (Z- / г. Это так. а) Если если | / i | Людмила Фирмаль
c) Для \ h > c уравнение (5) можно переписать в виде:f + f8 i 1 Эти уравнения определяют эллипс, полуось которого равна [A | Пересечение поверхности (4) с координатными плоскостями Oyz (x = 0) и Oagg (y = 0) приводит к уравнению в гиперболическом сечении.У каждого есть форма .2 2 x2 б Z _ 1 — t — 1 и -g _ 1 ? В обеих гиперболах действительной осью является ось O-g.
Используя метод поперечного сечения, поверхность, определенная уравнением (4), может быть нарисована как поверхность, состоящая из двух полостей с бесконечной выпуклой формой чаши. Поверхность (4) называется двухрезонаторным гиперболоидом. 3. Параболоид Эллиптический параболоид Изучите поверхность, заданную уравнением -4- = 2z, P I Где p> 0, q> 0. Разрезать поверхность (б) в плоскости сечения d и уравнение (6) ч. в
П я z = h. Если h 0, сечение Имеет эллипс уравнений + J / 1 = 1 2pK + 2qh ‘ .g = ч Его полуось увеличивается с увеличением h. При пересечении поверхности (6) в координатной плоскости g2 y2 Oxz и Oyz получают parabola.r = u и 2 = u соответственно. Следовательно, поверхность, определяемая уравнением (b), имеет форму выпуклой бесконечной чаши. Поверхность (6) называется эллиптическим параболоидом.
Гиперболическая парабола Изучите поверхность, определяемую уравнением X2 U2 —— = (7) П я Где p> 0, q> 0. Разрезать плоскость (7) с плоскостью z = h. Вы получаете кривую 2 ph 2 qh ‘z = h Это гипербола для всех значений h ^ 0. Если h> 0, то Действительная ось параллельна оси Ox. если h
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
http://function-x.ru/surfaces_of_the_second_order.html
http://lfirmal.com/kanonicheskie-uravneniya-poverhnostej-vtorogo-poryadka/