Нахождение координат вектора
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
| Для плоских задач | Для трехмерных задач | Для n-мерных векторов |  Координаты вектора записываются в фигурных скобках p → x ; y . На рисунке вектор O A → имеет координаты 2 ; 1 , а вектор b → имеет координаты 3 ; — 2 . Нулевой вектор представляется в виде 0 → 0 ; 0 . Если векторы a → и b → равны, то и y 1 = y 2 . Запишем это так: a → = x 1 i → + y 1 j → = b → = x 2 i → + y 2 j → , значит x 1 = x 2 , y 1 = y 2 . Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны. Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на O x y заданы координаты точек начала и конца A B → : A x a , y a , B x b , y b . Найти координаты заданного вектора. Изобразим координатную ось.
Из формулы сложения векторов имеем O A → + A B → = O B → , где O – начало координат. Отсюда следует, что A B → = O B → — O A → . O A → и O B → – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения O A → = x a , y a , O B → = x b , y b . По правилу операций над векторами найдем A B → = O B → — O A → = x b — x a , y b — y a .
Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек. Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала. Найти координаты O A → и A B → при значении координат точек A ( 2 , — 3 ) , B ( — 4 , — 1 ) . Для начала определяется радиус-вектор точки A . O A → = ( 2 , — 3 ) . Чтобы найти A B → , нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца. Получаем: A B → = ( — 4 — 2 , — 1 — ( — 3 ) ) = ( — 6 , 2 ) . Ответ: O A → = ( 2 , — 3 ) , A B → = ( — 6 , — 2 ) . Задано трехмерное пространство с точкой A = ( 3 , 5 , 7 ) , A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) . Найти координаты конца A B → . Подставляем координаты точки A : A B → = ( x b — 3 , y b — 5 , z b — 7 ) . По условию известно, что A B → = ( 2 , 0 , — 2 ) . Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: x b — 3 = 2 y b — 5 = 0 z b — 7 = — 2 Отсюда следует, что координаты точки B A B → равны: x b = 5 y b = 5 z b = 5 Ответ: B ( 5 , 5 , 5 ) . Как найти координаты вектораФормулаЧтобы найти координаты вектора $\overline $, если заданы координаты его начала и конца, необходимо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. В случае если точки заданы на плоскости и имеют соответственно координаты $A\left(x_ ; y_\right)$ и $B\left(x_ ; y_\right)$, то координаты вектора $\overline $ вычисляются по формуле: Примеры нахождения координат вектораЗадание. Даны точки $A(5 ; 1)$ и $B(4 ;-3)$. Найти координаты векторов $\overline $ и $\overline $ Решение. Точки заданны на плоскости, поэтому координаты вектора $\overline $ вычислим по формуле: Подставляя координаты заданных точек, получим: Для нахождения вектора $\overline $ исходная формула примет вид: Ответ. $\overline=(-1 ;-4), \overline=(1 ; 4)$
Задание. Даны точки $A(4 ; 3 ; 2)$, $B(-3 ; 2 ;-1)$ и $C(-1 ; 0 ; 1)$ . Найти координаты вектора $\overline $, $\overline Решение. Точки заданны в пространстве, поэтому для нахождения координат искомых векторов будем пользоваться формулой Подставляя заданные координаты, получим: Для вектора $\overline Ответ. $\overline=(-7 ;-1 ;-3), \overline источники: http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie_kordinat_vectora/ http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_6.php |
