2.2.3. Как найти направляющий вектор
по общему уравнению прямой?
Если прямая задана общим уравнением 
, то вектор 
является направляющим вектором данной прямой.
Примеры нахождения направляющих векторов прямых: 
Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: так, уравнение 
задаёт прямую, которая параллельна оси 
и координаты полученного направляющего вектора 
удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор 
в качестве направляющего вектора. Аналогично, уравнение 
задаёт прямую, параллельную оси 
, и, разделив координаты вектора 
на 5, получаем направляющий вектор 
.
Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения!
Теперь выполним проверку Задачи 61. Решение уехало вверх, поэтому напоминаю, что в ней мы составили уравнение прямой 
по точке 
и направляющему вектору 
. Проверка состоит в двух действиях:
Во-первых, по уравнению прямой 
восстанавливаем её направляющий вектор: 
– всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат).
Во-вторых, координаты точки 
должны удовлетворять уравнению 
. Подставляем их в уравнение: 
– получено верное равенство, чему мы очень рады.
Вывод: задание выполнено правильно.
Задача 62
Составить уравнение прямой по точке 
и направляющему вектору 
Это задача для самостоятельного решения. И проверка, проверка, проверка!
Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике.
Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать!
В том случае, если одна из координат направляющего вектора равна нулю, поступают очень просто:
Задача 63
Составить уравнение прямой по точке 
и направляющему вектору 
.
Решение: формула 
не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Но выход прост! Используя свойства пропорции, перепишем уравнение в виде 
, и дальнейшее покатилось по глубокой колее: 
переставим части местами: 
Ответ: 
Проверка:
1) Восстановим направляющий вектор найденной прямой 
:
– полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору 
.
2) Подставим координаты точки 
в уравнение 
: 
– получено верное равенство, значит, точка 
удовлетворяет уравнению.
Вывод: задание выполнено правильно
Возникает вопрос: зачем маяться с формулой 
, если существует универсальная версия 
, которая сработает в любом случае?
Причин две. Во-первых, формула в виде дроби 
гораздо лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной формулы 
состоит в том, что здесь повышается риск запутаться при подстановке координат.
Задача 64
Составить уравнение прямой по точке 
и направляющему вектору 
, выполнить проверку.
Это задача для самостоятельного решения. Кстати, проверку можно выполнять и графически – решили задачу и изобразили всё на чертеже. Правда, такой способ бывает неудобен или трудновыполнИм, и поэтому всё-таки «рулит» аналитика.
Нахождение координат вектора
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.
Нахождение координат вектора
Для того, чтобы найти координаты вектора AB , нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).
Формулы для определения координат вектора
| Для плоских задач | Для трехмерных задач | Для n-мерных векторов |  Задание. Даны точки $A(4 ; 3 ; 2)$, $B(-3 ; 2 ;-1)$ и $C(-1 ; 0 ; 1)$ . Найти координаты вектора $\overline $, $\overline Решение. Точки заданны в пространстве, поэтому для нахождения координат искомых векторов будем пользоваться формулой Подставляя заданные координаты, получим: Для вектора $\overline Ответ. $\overline=(-7 ;-1 ;-3), \overline источники: http://microexcel.ru/koordinaty-vektora/ http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_6.php |