Найти координаты вершины параллелограмма по уравнениям сторон

Найти четвертую вершину параллелограмма

Как найти координаты 4-й вершины параллелограмма, зная координаты трёх других его вершин?

В декартовых координатах эту задачу можно решить, используя свойство диагоналей параллелограмма.

Из трёх известных вершин две являются концами одной диагонали. Находим координаты середины этой диагонали. Точка пересечения диагоналей является серединой каждой из них. Для второй диагонали находим второй конец по известным одному концу и середине.

Дано: ABCD — параллелограмм,

1) Найдём координаты точки O — середины диагонали AC.

2) По свойству диагоналей параллелограмма, точка O также является серединой BD:

Дано: ABCD — параллелограмм,

1) Ищем координаты точки O — середины отрезка BD:

2) Точка O также является серединой AC:

2 Comments

А как вы получили -14 в первом примере.

Можно применить основное свойство пропорции: 12+xD=2∙(-1), xD=-2-12=-14.

Задача 55562 Найдите координаты всех вершин.

Условие

Найдите координаты всех вершин параллелограмма, если известны координаты одной вершины А(1;0) и уравнения двух его сторон: — 3x+7y-5=0 и 5x-9y+3=0

Решение

Точка А не принадлежит ни одной из данных прямых, так как

при подстановке координат точки А в данные уравнения не получается верных равенств:

-3*1+7*0-5=0 — неверно
5*1-9*0+3=0 — неверно

Найдем точку пересечения двух сторон, заданных уравнениями:

Умножаем первое уравнение на 5, второе на 3
[m]\left\<\begin-15x+35y-25=0\\15x-27y+9=0 \end\right.[/m].

Складываем, т. е одно из данных уравнений оставляем без изменения, а вместо второго
— сумму двух последних
[m]\left\<\begin-3x+7y-5=0\\7y-16=0 \end\right.[/m].

Тогда составляем уравнение сторон, параллельных данным и проходящих через точку А:

( см. решение аналогичной задачи https://reshimvse.com/question/5fad897f322e6f41f4eb6685 )

-3x+7y-5=0 ⇒ Семейство параллельных ей прямых -3x+7y+m=0 ⇒ -3*1+7*0+m=0 ⇒ m=3

5x-9y+3=0⇒ Семейство параллельных ей прямых 5x-9y+n=0 ⇒5*1-9*0+n=0 ⇒n=-5

Находим двух других вершин как точки пересечения прямых:
[m]\left\<\begin-3x+7y-5=0\\5x-9y-5=0 \end\right.[/m] и [m]\left\<\begin-3x+7y+3=0\\5x-9y+3=0 \end\right.[/m].

Найти координаты вершины параллелограмма по уравнениям сторон

Даны уравнения двух сторон параллелограмма 8х+3у+1=0, 2х+у-1=0 и уравнение одной из его диагоналей 3х+2у+3=0. Определить координаты вершин этого параллелограмма.

Выразим у:

Мы видим, что в уравнениях сторон коэффициенты при х не равны, значит прямые, определяемые этими уравнениями, не параллельны. То есть пересекаются, образуя одну из вершин. Пусть это будет вершина А. И пусть первое уравнение – сторона АВ, второе – А D .

Для нахождения точки А приравняем эти два уравнения:

А(-2;5)

Мы видим, что уравнение 3х+2у+3=0 задает диагональ BD . Поэтому, приравняв сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения, найдем соответственно точки D и В.

Итак В (1;-3) D (5;-9)

Как известно в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то есть коэффициенты k при х равны. Поэтому для сторон ВС и CD остаются неизвестными только свободные члены d . Найдем их, подставив в уравнения прямых их известные точки D и В соответственно:

Теперь для нахождения точки С приравняем уравнения сторон BC и CD

С(8;-17)