Найти корень линейного уравнения блок схема

Основные блок-схемы решения линейных и квадратичных задач с параметрами

Разделы: Математика

Задачи с параметрами (ЗсП) традиционно являются наиболее сложными для учащихся, поскольку требуют от них умения логически рассуждать и проводить анализ решения. Подобные задачи являются первыми исследовательскими задачами, с которыми встречаются школьники. Для их решения не требуются знания, выходящие за пределы школьной программы, но недостаточно применения лишь стандартных приемов, а необходимо глубокое понимание всех разделов элементарной математики.

В данной статье предпринята попытка систематизации и формализации (в форме блок-схем) наиболее часто встречающихся и наиболее типичных ЗсП. При этом выделены классы задач, решаемых по единой методике.

Рассматриваются аналитические методы решения ЗсП, сводящиеся к исследованию линейных или квадратных уравнений (неравенств), а также квадратного трехчлена. Такой выбор обусловлен тем, что курс школьной математики ограничен «вглубь», по существу, «теорией квадратичного».

Линейные уравнения

Определение. Уравнение вида ax=b, где a, b принадлежат множеству всех действительных чисел, будем называть стандартным видом линейного уравнения. Всевозможные варианты, возникающие при решении линейных уравнений, отразим в блок–схеме I.

Количество корней линейного уравнения отразим в блок-схеме II:

Пример 1. Для всех действительных значений параметра m решите уравнение m 2 x–2=4x+m.

Решение. Приведем заданное линейное уравнение к стандартному виду:

m 2 x–2=4x+m, m 2 x–4x=m+2, (m 2 –4)x=m+2.(1)

Следуя схеме I, рассмотрим два случая для коэффициента при x:

1)если m 2 – 4 не равно 0, m не равно ±2, то x=(m+2)/(m 2 -4), x=1/(m–2);

а) при m = –2 уравнение (1) примет вид 0х=0, отсюда х – любое действительное число;

б) при m = 2 уравнение (1) примет вид 0х= 4, отсюда следует, что корней нет.

Ответ. Если m 2 то x=1/(m–2); если m= – 2, то x – любое действительное число; если m=2, то корней нет.

Пример 2. При каких значениях параметра k уравнение 2(k–2x)=kx+3 не имеет корней?

Решение. 2(k–2x)=kx+3, (k+4)x=2k–3. В силу схемы II уравнение не имеет корней, если k+4=0 и 2k–3 не равно 0 => k= –4 и k не равно 1,5 => k = –4.

Ответ. k=–4.

Системы линейных уравнений

Определение 1. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Определение 2. Система называется несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Количество решений системы линейных уравнений отразим в блок-схеме III.

Замечание. Так как уравнение прямой y=kx+b в общем виде записывается следующим образом ax+by+c=0, то взаимное расположение двух прямых отразим в блок-схеме IV.

Пример. При каких значениях параметра c система из двух уравнений c 2 x+(2–c)y–4=c3 и (2c–1)y+cx+2=c 5 совместна?

Решение. Запишем систему в стандартном виде: c 2 x+(2–c)y=c 3 +4 и cx+(2c–1)y=c 5 –2. Сначала найдем значения c, при которых эта система не имеет решений. В силу схемы III имеем условие,

c 2 /с=(2-с)/(2с–1), с не равно (c 3 +4)/(c 5 –2),

которое равносильно системе из уравнения и неравенства

с=(2–с)/(2с–1) и с не равно (c 3 +4)/(c 5 –2).

Решением системы является с=1. Итак, система имеет решения при всех действительных значениях с, кроме с=1.

Ответ. с — любое действительное число, с не равно 1.

Линейные неравенства

Определение. Неравенство вида ax>b, ax b, ax b, отразим в блок-схеме V.

Пример. Для всех значений параметра m решите неравенство 5x–m>mx–3.

Решение. 5x–m>mx–3, (5–m)x>m–3.

Следуя схеме V, рассмотрим три случая для коэффициента при х:

2)если 5–m 5, то x 2. Откуда следует, что решений нет.

Ответ. Если m (m–3)/(5–m); если m=5, то решений нет; если m>5, то х 2 +bx+c=0, где a, b, c — любые действительные числа, a>0, называется квадратным уравнением относительно действительного переменного x.

Ситуации, возникающие при решении квадратных уравнений, отразим в блок–схеме VI.

Пример. При каких значениях параметра c уравнение (c–2)x 2 +2(с–2)x+2=0 не имеет корней?

Решение. Рассмотрим два случая:

1) если с–2 не равно 0, c не равно 2, то D 2 –2(c–2) 2 +(c+4)x+c+7=0 имеет только отрицательные корни?

Решение. В силу условия задачи необходимо рассмотреть два случая (линейный и квадратичный):

1) если c–1=0, c=1, то уравнение примет вид 5x+8=0, x= –5/8 – отрицательный корень;

2) если c–1 не равно 0, c не равно 1, то, следуя схеме VII, получим систему

Решением ее являются промежутки –22/3 2 +bx+c, где a не равно 0, называется квадратичной. График квадратичной функции называется параболой.

Абсциссы точек пересечения параболы y=ax 2 +bx+c с осью (Ox) являются корнями уравнения ax 2 +bx+c=0.

Учитывая это, отразим взаимное расположение параболы и оси (Ox) в следующей схеме:

Замечание. Если уравнение параболы имеет вид y=a(x–p) 2 +q, то (p; q) – координаты вершины параболы.

Пример 1. При каких значениях параметра a вершина параболы y=(x–7a) 2 +a 2 –10+3a лежит в III координатной четверти?

Решение. Пусть (x₀, y₀) – координаты вершины параболы. В силу замечания имеем x₀=7a, y₀=a 2 –10+3a. Так как вершина параболы лежит в третьей четверти, то

Ответ. –5

Пример 2. При каких значениях параметра b график функции y=(4–b 2 )x 2 +2(b+2)x–1 лежит ниже оси (Ox)?

Решение. Рассмотрим два случая.

1. Пусть 4–b 2 =0, b= + 2;

1) если b=2, то прямая y=8x–1 не лежит ниже оси (Ox);

2) если b= –2, то прямая y= –1 лежит ниже оси (Ox).

2. Пусть 4–b 2 не равно 0. Тогда в соответствии со схемой VIII получим

Объединяя ответы, получим b 2 +bx+c=0. Введем функцию y(x)= ax 2 +bx+c. Тогда расположение корней этого уравнения на числовой оси отразим в блок–схеме IX.

Следствие. С учетом схемы IX схема VII для знаков корней квадратного уравнения примет следующий вид:

Пример. При каких значениях параметра a корни уравнения x 2 –2(a+3)x+a 2 +6,25a+8=0 больше 2?

Решение. Введем функцию y(x)=x 2 –2(a+3)x+a 2 +6,25a+8; x₀ – абсцисса вершины этой параболы. Так как корни уравнения находятся справа от числа 2, то в соответствии со схемой IX имеем:

Решение. Данная задача равносильна следующей: при каких значениях параметра b система

имеет одно решение?

Решим неравенство (2): 2x 2 –2x–1>0, x_1,2=0,5(1±(3) 1/2 ), x 1/2 ) или x>0,5(1+(3) 1/2 ).

Найдем корни уравнения (1): D=(2b–7) 2 , x₁=2, x₂=2b–5. Поскольку корень x₁=2 удовлетворяет неравенству (2), то система имеет одно решение в следующих случаях:

1) если x₂=2b–5 не удовлетворяет неравенству (2), то 0,5(1–(3) 1/2 ) 1/2 ) или 0,25(11–O3) 1/2 );

Ответ. 0,25(11–(3) 1/2 ) 1/2 ), b=3,5.

Пример 2. При каких значениях параметра p уравнение 5–4sin 2 x–8cos 2 (x/2)=3p имеет корни?

Решение. Преобразуем заданное уравнение:

5– 4sin 2 x–8cos 2 (x/2)=3p => 5–4(1–cos2x)–4(1+cosx)=3p => 4cos 2 x–4cosx–3p–3=0.

Сделаем замену cosx=t. Тогда заданная задача равносильна следующей: при каких значениях p система

4t2–4t–3p–3=0, (1)
-1 2 –4t–3p–3; t₀–вершина этой параболы. В силу схемы IX случаи 1, 2 и 3 описываются следующей совокупностью:

Блок-схема линейного алгоритма

Линейный алгоритм – это алгоритм, в котором блоки выполняются последовательно сверху вниз от начала до конца.

На рисунке 1 приведен пример блок-схемы алгоритма вычисления периметра Р и площади S квадрата со стороной длины A.

Блок-схема алгоритма состоит из шести блоков. Выполнение алгоритма начинается с блока 1 «Начало». Этот блок символизирует включение автомата, настройку его на выполнение алгоритма и выделение памяти под все переменные, которые задействованы в алгоритме. В алгоритме рисунка 1 таких переменных три: A, Р, S. Следовательно, под каждую из них алгоритмом будет выделено по одной ячейке памяти. На этом блок 1 будет отработан.

Как видно из рисунка, блок 1 связан вертикальной линией потока с блоком 2. Эта линия не имеет стрелки, указывавшей направление потока. Следовательно, этот поток направлен вниз. Таким образом, после выполнения блока 1 управление будет передано на блок 2. Блок 2 «Перфокарта» ( см. табл. 1) показывает, что переменной A следует присвоить значение. Это означает, что в ячейку, отведенную автоматом под эту переменную, нужно поместить константу. На реальной компьютере эта константа может быть введена самыми разными способами. Способ зависит от того, как запрограммирован данный фрагмент. Можно, например, потребовать ввод константы с клавиатура или получить его из заранее подготовленного файла. Возможно эта константа будет получена через внешние источники данных, например, от физической установки, подключенной к компьютеру.

Для данного примера способ передачи константы не имеет значения, важно лишь то, что при выполнении блока 2 в ячейку с адресом А будет занесена конкретная константа. Пусть такой константой является число 5.

Далее управление по линии потока передается к блоку 3 «Процесс». В этом блоке при выполнении размещенной в ней команды число 4 умножается на константу, помещенную в ячейку А (т. е. 5), и результат (т. е. 20) присваивается переменной Р (т. е. константа 20 записывается в ячейку по адресу Р). После выполнения этих операций управление передается к блоку 4.

В блоке 4 аналогичным образом производится умножение значений переменной А и результат (константа 25) присваивается переменной S (в ячейку по адресу S будет занесена константа 25). После этого выполняется переход к блоку 5.

При выполнении команд блока 5 выводятся (например, на экран, бумагу, во внешний файл и т. д.) значения переменных А, Р, S, которые сохранились в соответствующих ячейках к этому моменту. Понятно, что для конкретного примера А = 5 будут выведена константы 5, 20, 25, т. е. длина сторона квадрата, его периметр и площадь. Далее управление передается последнему блоку 6.

В блоке б “Конец” производится освобождение ячеек памяти, которые были зарезервированы под переменные А, P, S, и алгоритм заканчивает работу.

Понятно, что при новом запуске этого же алгоритма можно получить совсем другие числа. Так, если в блоке 2 переменной А присвоить значение 20, то алгоритм выдаст в блоке 5 константы 20, 80, 400.

Детальное описание алгоритма рисунка 1 приведено для того, чтобы показать, в какой последовательности автомат выполняет предписанные операции и как при этом меняется состояние памяти автомата, т. е. для того, чтобы объяснить суть происходящих в автомате процессов. Из сказанного нужно уяснить, что автомат выполняет предписанную ему работу шаг за шагом. Всякий шаг обрабатывается процессором. Помимо вычислений процессор при необходимости отдает команды считывавшей/записывавшей головке, что и куда записывать, откуда читать. Конечный результат следует искать в ячейках памяти, каждая из которых до окончания алгоритма имеет известный адрес и хранит записанную в нее константу.

При выполнении проектов нет нужды давать столь подробное описание алгоритма. Тем не менее, описание должно быть выполнено с той степенью полноты, которая позволяет дать ясное представление о всех сторонах и особенностях алгоритмического процесса.

Линейный алгоритм. Понятие и особенности. Блок-схема

Каждый человек на протяжении своей жизни решает множество задач разной сложности. Но даже самые простые из задач выполняются последовательно, то есть за несколько шагов. Эту последовательность можно назвать алгоритмом. Последовательности бывают разные, но начинать их изучение лучше всего с линейных.

Прежде чем приступить к рассмотрению основной темы статьи, следует сделать краткое отступление и сказать несколько слов про алгоритмический язык.

Алгоритмический язык

Представьте, что человеку, работающему за компьютером, поставлена некая вычислительная задача. В языке программирования решение этой задачи выполняется с помощью алгоритмизации. Решение предполагает: — разбиение на этапы; — разработку алгоритма; — составление программы решения на алгоритмическом языке; — ввод данных; — отладку программы (возможны ошибки — их надо исправить); — выполнение на ПК; — анализ результатов.

Алгоритмический язык является средством описания алгоритмов, а уже алгоритм, в свою очередь, представляет собой чёткое описание определённой последовательности действий, направленных на решение необходимой задачи.

Свойства алгоритма

Их несколько: — конечность. Любой алгоритм должен быть завершённым, а окончание наступает после выполнения определённого числа шагов; — однозначность, понятность. Не допускается разных толкований, неопределённости и двусмысленности — всё должно быть чётко и ясно, а также понятно исполнителю — и правила выполнения действий линейного алгоритма, и сами действия; — результативность. Итог работы — результат, полученный за конечное число шагов; — универсальность, массовость. Качественный алгоритм способен решать не одну задачу, а целый класс задач, имеющих схожую постановку/структуру.

Линейная структура

Любой алгоритм составляется из ряда базовых структур. Простейшей базовой структурой является следование — структура с линейными характеристиками. Из этого можно сформулировать определение.

Линейный алгоритм — это алгоритм, образуемый командами, которые выполняются однократно и именно в той последовательности, в которой записаны. Линейная структура, по сути, проста. Записать её можно как в текстовой, так и в графической форме.

Представим, что у нас стоит задача пропылесосить ковёр в комнате. В текстовой форме алгоритм будет следующим: — принести пылесос к месту уборки; — включить; — пропылесосить; — выключить; — унести пылесос.

И каждый раз, когда нам надо будет пылесосить, мы будем выполнять один и тот же алгоритм.

Теперь поговорим про графическую форму представления.

Блок-схема

Для изображения алгоритма графически используют блок-схемы. Они представляют собой геометрические фигуры (блоки), соединённые стрелками. Стрелки показывают связь между этапами и последовательность их выполнения. Каждый блок сопровождается надписью.

Рассмотрим фигуры, которые используются при визуализации типичной линейной последовательности.

Блок ввода-вывода данных (отображает список вводимых и выводимых переменных):

Арифметический блок (отображает арифметическую операцию/группу операций):

Условный блок (позволяет описать условие). Алгоритмы с таким блоком используются при графической визуализации алгоритмов с ветвлением:

Условного блока нет в классическом линейном алгоритме, так как в нём, как уже было сказано ранее, все операции выполняются последовательно, то есть одна за другой. В линейном алгоритме размещение блоков выглядит следующим образом:

А вот, как решается задача по нахождению площади треугольника по формуле Герона. Здесь a, b, c – это длины сторон, S – площадь треугольника, P – периметр.

Следует обратить внимание, что запись «=» — это не математическое равенство, а операция присваивания. В результате этой операции переменная, стоящая слева от оператора, получает значение, которое указано справа. Значение не обязательно должно быть сразу определено (a = 3) — оно может вычисляться посредством выражения (a = b + z), где b = 1, a z = 2.

Примеры линейных алгоритмов

Если рассмотреть примеры решения на языке Pascal (именно этот язык до сих пор используется для изучения основ алгоритмизации и программирования), то можно увидеть следующую картину:

И, соответственно, блок-схема программы линейной структуры будет выглядеть следующим образом:

Как составить программу линейной структуры?

Порядок следующий: — определите, что именно относится к исходным данными, а также каков типы/класс этих данных, выберите имена переменных; — определите, каков тип данных будет у искомого результата, выберите название переменных (переменной); — определите, какие математические формулы связывают результат и исходные данные; — если требуется наличие промежуточных данных, определите класс/типы этих данных и выберите имена; — опишите все используемые переменные; — запишите окончательный алгоритм. Он должен включать в себя ввод данных, вычисления, вывод результатов.

На этом всё, в следующий раз рассмотрим на примерах программу разветвлённой структуры. Если же вас интересует тема алгоритмизации в контексте разработки программного обеспечения, ждём вас на профессиональном курсе OTUS!