Найти корень методом итераций для уравнения

Метод итераций

Правила ввода функции

2. Примеры
   ≡ x^2/(1+x)
   cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
   ≡ x+(x-1)^(2/3)

На рис.1а, 1б в окрестности корня |φ′(x)| 1, то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис.2).

Достаточные условия сходимости метода итерации

Процесс нахождения нулей функции методом итераций состоит из следующих этапов:

1. Получить шаблон с омощью этого сервиса.
2. Уточнить интервалы в ячейках B2 , B3 .
3. Копировать строки итераций до требуемой точности (столбец D ).

Примечание: столбец A — номер итерации, столбец B — корень уравнения X , столбец C — значение функции F(X) , столбец D — точность eps .

Метод итераций (метод последовательных приближений)

Отыскание корней функциональных уравнений методом итераций (последовательных приближений).

Метод итераций (метод последовательных приближений) применяется для отыскания корней функциональных уравнений вида

Собственно, сам метод применяется очень просто — выбирается некоторое начальное приближение и строится итерационная последовательность вида

При определенных условиях эта итерационная последовательность сходится к корню уравнения и поэтому ее элементы могут быть взяты за приближенные значения этого корня. Если операция, задаваемая функцией F, удовлетворяет этим условия, то эта операция называется сжатием. Теорию могу порекомендовать посмотреть здесь

Калькулятор ниже просто выполняет итеративное вычисление x по заданной формуле и останавливается, когда достигнута необходимая точность, то есть значения, полученные двумя последовательными итерациями, отличаются на величину, меньшую заданной.

Кстати сказать, в качестве примера взята функция
,
которая на самом деле является итерационной функцией для вычисления квадратного корня числа а, первым алгоритмом для приближенного вычисления квадратного корня, известным из истории. Его еще называют «вавилонским методом», так как его применяли еще в древнем Вавилоне, или «методом Герона», так как греческий математик Герон был первым, кто явно описал этот способ.

3.2.1. Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

Метод реализует стратегию постепенного уточнения значения корня.

Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение (3.1). Корень отделен x* Î [a;b]. Требуется уточнить корень с точностью ε.

Уравнение ( 3.1) преобразуем к эквивалентному виду x=φ(x), (3.7)

Что можно сделать всегда и притом множеством способов.

Выберем начальное приближение x0Î [a;b].

Вычислим новые приближения:

Xi=φ(xi-1) , i=1,2,… где i − номер итерации. (3.8)

Последовательное вычисление значений xi по формуле (3.8) называется итерационным процессом метода простых итераций, а сама формула — формулой итерационного процесса метода.

Если , то итерационный процесс Сходящийся .

Условие сходимости (3.9)

Точное решение x* получить невозможно, так как требуется Бесконечный Итерационный процесс.

Можно получить Приближенное Решение, прервав итерационный (3.8) при достижении условия

, (3.10)

Где ε — заданная точность; i — номер последней итерации.

В большинстве случаев условие завершения итерационного процесса (3.10) обеспечивает близость значения xi к точному решению:

Рассмотрим геометрическую иллюстрацию метода простых итераций.

Уравнение (3.7) представим на графике в виде двух функций: y1 = x и y2= φ(x).

Возможные случаи взаимного расположения графиков функций, и соответственно, видов итерационного процесса показаны на рис. 3.7 – 3.10.

Рис. 3.7 Итерационный процесс для случая 0 1 xÎ[a, b].

Рис. 3.10 Итерационный процесс для случая £ — 1 xÎ[a, b].

Из анализа графиков следует, что скорость сходимости растет при уменьшении значения

Метод достаточно прост, обобщается на системы уравнений, устойчив к погрешности округления (она не накапливается).

При разработке алгоритма решения нелинейного уравнения методом простых итераций следует предусмотреть защиту итерационного процесса от зацикливания: использовать в качестве дополнительного условия завершения итерационного процесса превышение заданного максимального числа итераций.

Рис 3.11. Алгоритм решения нелинейного уравнения методом
простых итераций:

Основной проблемой применения метода является обеспечение сходимости итерационного процесса: нужно найти такое эквивалентное преобразование (3.1) в (3.7), чтобы обеспечивалось условие сходимости (3.9) .

Простейшие эквивалентные преобразования, например:

F(x) = 0 => x+f(x) = x, т. е. φ(x) = x + f(x)

Или выразить явно x из (3.1)

F(x) = 0 => x — φ(x) = 0 => x = φ(x)

Не гарантируют сходимость.

Рекомендуется следующий способ получения формулы Сходящегося итерационного процесса.

Пусть .

Если это не так, переписать уравнение (3.1) в виде

Умножить обе части уравнения на и к обеим частям прибавить x:

Константу l вычислить по формуле:

(3.11)

Такое значение λ гарантирует сходящийся итерационный процесс по формуле

Xi = xi+1− λ f(x) (3.12)

Где i=1,2,… — номер итерации, x0Î[a, b] – начальное приближение.

Методом простых итераций уточнить корень уравнения x3=1-2 x с точностью ε=0,001. Корень отделен ранее (см. пример 3.1), x* Î [0;1].

Сначала нужно получить формулу сходящегося итерационного процесса.

Из уравнения выразим явно x:

Проверим условия сходимости для полученной формулы:

, ,

для x Î (0;1].

Условие сходимости не соблюдается, полученная формула не позволит уточнить корень.

Воспользуемся описанным выше способом получения формулы итерационного процесса (формулы 3.11, 3.12).

, , для всех x Î [0;1].

Наибольшее значение принимает при x = 1, т. е.

Следовательно .

Формула Сходящегося итерационного процесса

Уточним корень с помощью данной формулы.

Выберем начальное приближение на [0;1], например x0=0,5 (середина отрезка).

Вычислим первое приближение

Проверим условие завершения итерационного процесса

Расчет следует продолжить.

X6 = 0,453917 − ответ, т. к.

Проверим полученное значение, подставив в исходное уравнение:

Значение f(x) близко к 0 с точностью, близкой к ε, следовательно, корень уточнен правильно.