Найти корень уравнения ах2 вх с 0

Программа Вычислить корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 с заданными коэффициентами а, b и с (предполагается, что а ≠ 0

Ваш ответ

решение вопроса

Квадратные уравнения. Углубленное изучение свойств квадратных уравнений

Разделы: Математика

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний, углубленное изучение свойств квадратных уравнений.

Образовательные цели урока: обеспечить закрепление теоремы Виета, обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений ах 2 + вх + с = 0, в которых а+в+с=0; привить навыки устного решения таких уравнений.

Воспитательные цели урока: способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов, развивать самостоятельность и творчество.

Ход урока

1. Организационный момент.

Учащимся сообщаются задачи урока:

Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило)
Решение задач на применение прямой и обратной теорем Виета.
Изучение нового свойства квадратных уравнений.

2. Повторение пройденного материала.

1) Решить уравнение (работа у доски): 7х 2 — 9х + 2 =0

Решение: D = в 2 – 4ас, D = 25, х₁ = , х₂ = 1. Ответ: х₁ = , х₂ = 1.

2) Тест “ Квадратные уравнения”:

Вариант 1

. уравнением называется уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а,в,с – заданные числа, а 0, х – переменная.
Уравнение х 2 = а, где а > 0, имеет корни х₁ = . ; х₂ = .
Уравнение ах 2 = 0, где а 0, называется . .
Уравнение ах 2 + вх + с = 0, где а 0, в 0, называется . квадратным уравнением.
Если ах 2 + вх + с = 0 — квадратное уравнение (а 0), то “в” называют . коэффициентом.
Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х = . .
Приведенное квадратное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = . в = . с = . .
Если х₁ и х₂ — корни уравнения х 2 + рх + q = 0, то справедливы формулы х₁ + х₂ =. ; х₁ * х₂ = .

Вариант 2

Если ах 2 + вх + с = 0 — квадратное уравнение, то а называют . коэффициентом, с — . членом.
Уравнение х 2 = а, где а 2 + с = 0, где а 0, с 0, называется . квадратным уравнением.
Корни квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 вычисляют по формуле х₁ = . ; х₂ = . .
Квадратное уравнение ах 2 + вх + с = 0 имеет два различных действительных корня, если в 2 – 4ас . 0.
Квадратное уравнение вида х 2 + рх + q = 0 называют . .
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна . коэффициенту, взятому с . знаком, а произведение корней равно . числу.
Если числа p, q, х_1, х ₂ таковы, что х₁ + х₂ = — Р; х₁ * х₂ = . то х₁ и х₂ — корни уравнения.

3. Задание на определение вида уравнения (устно).

— Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?

Неполные квадратные уравнения

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

если D 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:

Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0.
Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0.
Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0.

Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три формулы неполных квадратных уравнений:

ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax² + c = 0, при b = 0;
ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Записывайся на дополнительные уроки по математике онлайн, с нашими лучшими преподавателями! Для учеников с 1 по 11 класса!

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax² = — c,
разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах

Неполное квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Разделим обе части на 9:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Разделим обе части на -1:

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.

Решить линейное уравнение:

Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

источники:

http://urok.1sept.ru/articles/658252

http://skysmart.ru/articles/mathematic/nepolnye-kvadratnye-uravneniya