Найти корень уравнения log 5 4x 2

Решение логарифмического уравнения. Задание В6 (2015)

Задание B7 (№ 26647) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Найдите корень уравнения log₅(4+x)=2
Решим это уравнение двумя способами.
1. Первый способ.
Чтобы решить это уравнение, вспомним определение логарифма:

Логарифмом числа b по основанию a (log_ab) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b:
Т.е. если log_ab=х, то a x =b

Для нашего уравнения log₅(4+x)=2, по определению логарифма получим:

Решим последнее уравнение:

х=21
Ответ: 21

2. Второй способ.
Рассмотрим логарифмическое уравнение вида:

Заметим, что в левой и правой части уравнения стоят логарифмы с одинаковым основанием.

Два логарифма с одинаковым основанием равны, если равны выражения, стоящие под знаком логарифма.
Следовательно,

f(x)=g(x) .

Внимание! Переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма может привести к появлению посторонних корней. Поэтому, после того, как мы найдем корни, нужно сделать проверку: подставить найденные корни в исходное уравнение, и проверить, получится ли у нас верное равенство.

1. В правой части нашего уравнения log₅(4+x)=2 стоит число 2. Представим это число в виде логарифма по основанию 5.

Так как log_aa=1, то 2=2log₅5=log₅5 2 =log₅25, и наше уравнение приводится к виду:

Приравниваем выражения, стоящие под знаком логарифма:

Решение логарифмических уравнений

Данный калькулятор позволяет найти решение логарифмических уравнений.
Логарифмическое уравнение – это уравнения, в которых переменная величина находится под знаком логарифма. Логарифмическая функция всегда монотонна и может принимать любые значения. Кроме того, переменный аргумент логарифма должен быть больше нуля и переменное основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

При решении логарифмических уравнений зачастую необходимо логарифмировать или потенцировать обе части уравнения. Логарифмировать алгебраическое выражение — выразить его логарифм через логарифмы отдельных чисел, входящих в это выражение. Потенцирование – нахождение выражения, от которого получен результат логарифмирования.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно ввести это уравнение в ячейку и нажать на кнопку «Вычислить». В ответе отображаются корни уравнения и график логарифмической функции.

Калькулятор поможет найти решение логарифмических уравнений онлайн.
Для получения полного хода решения нажимаем в ответе Step-by-step.

• : x^a

Логарифм. Основные способы решения логарифмических уравнений.

Логарифмическими уравнениями называют уравнения, в котором представлены неизвестные величины под знаком логарифма.

Логарифмические уравнения, так же как и показательные, относятся к трансцендентным.

Самым простым логарифмическим уравнением представлено уравнение следующее непосредственно из формулировки логарифма:

где а и b — заданные числа,

х — неизвестная переменная.

Если а – не отрицательное и не равное единице число, то у такого уравнения существует единственный корень:

При решении более трудных логарифмических уравнений, обыкновенно, приводим их или к решению алгебраических уравнений, или к решению уравнений типа Log_аx=b.

Проанализируем это на нескольких отдельных уравнениях.

Найдем корни уравнения:

Отталкиваясь от формулировки логарифма из вышеприведенного уравнения получаем, что:

решив его имеем х = 2.

х= 2 — решение указанного уравнения.

Для нахождения ответа аналогичных уравнений применяем нижеследующее свойство логарифмов: если логарифмы двух чисел по одному и тому же основанию равны, то равны и сами эти числа.

И соответственно имеем, что если только у данного уравнения есть корни, то они будут удовлетворять уравнению:

Осуществим подстановку для проверки при х = 5

Следовательно, х= 5 — корень выбранного уравнения.

При х = -4 левая и правая части данного уравнения не существуют, поскольку x 2 — 17= — 1 2 x — 3log₃x — 10 = 0.

Если log₃x приравнять к у, то уравнение станет квадратным:

решив его получим:

Выполнив проверку видим, что эти две величины будут решением выбранного уравнения.

Отдельные уравнения решаются методом почленного логарифмирования. Так же в случае необходимости применяют формулу для перехода от одного основания логарифмов к другому.