Найти корень уравнения с точностью 0 0001

Численные методы решения нелинейных уравнений

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.

Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн

Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $\varepsilon = 10^<-2>$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $\varepsilon=10^<-4>$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.

Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$

Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 \sin x =0.$$

Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ \sqrt — \cos 0.387 x =0.$$

Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$\sqrt=\frac<1>.$$

Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.

Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.

Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1)\, x^3-12x-5=0\, (x \gt 0), \, 2)\, \tan x -1/x=0. $$

Метод Ньютона онлайн

Данный онлайн калькулятор находит корень уравнения приближённо. В основе алгоритма его работы лежит метод Ньютона. Чтобы начать работу, необходимо ввести исходные данные своей задачи.

Методом Ньютона, найти корень (

максимальное кол-во итераций:

критерий останова вычислений:

Метод Ньютона является численным, т.е. корень уравнения находится приближенно. При этом можно заранее задать точность его нахождения.

Пусть нам дано уравнение

Формула для поиска корня уравнения выглядит следующим образом:

и — приближённые значения корня уравнения на -ой и ( )-ой итерациях соответственно, — значение функции в точке , — значение производной функции в точке .

Как видно, для того чтобы начать работу необходимо задать точку — начальное приближение для корня уравнения . От выбора точки зависит сойдётся ли алгоритм к решению или нет. Сходимость метода квадратичная, но она резко ухудшается если мы ищем кратный корень уравнения, т.е. если и одновременно , где — кратный корень уравнения .

Вычисления по приведённой выше формуле можно продолжать до бесконечности, соответственно на практике необходим некоторый критерий, который будет определять нужно ли нам продолжать вычисления или нет. Как правило, используется критерий останова вычислений на основе приращения или же на основе близости функции к нулю в некоторой точке .

Критерий останова вычислений на основе приращения задаётся следующей формулой:

т.е. различие (по модулю) между двумя последовательными приближениями к корню уравнения ( и ) должны быть меньше, некоторой наперёд заданной величины .

Критерий останова вычислений на основе близости функции к нулю определяется следующей формулой:

т.е. отличие (по модулю) между функцией в некоторой точке и нулём меньше .

В тоже время, если последовательность к корню не сходится, то критерии останова не сработают и процесс поиска корня будет продолжаться бесконечно. Чтобы предотвратить такую ситуацию, на практике вычисления прекращают после некоторого, заданного количества итераций.

На рисунке ниже приведена геометрическая интерпретация процесса поиска корня уравнения методом Ньютона.

В точке мы строим касательную к графику функции . Уравнение касательной в этой точке имеет вид:

Находим точку пересечения полученной касательной с осью абсцисс, т.е. рассматриваем точку с координатами . Подставляя координаты указанной точки в уравнение касательной, получаем следующее соотношение:

Из данного уравнения находим :

Продолжая данный процесс, получим формулу метода Ньютона, приведенную выше. Из-за того, что на каждой итерации фактически происходит построение касательной, метод Ньютона также иногда называют методом касательных.

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Найти корень уравнения с точностью 0 0001

1. Приближенное решение нелинейных уравнений

Пусть дано уравнение с одним неизвестным

, (1.1)

где f ( x ) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.

Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная , логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения х , которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

В общем случае не существует формул, по которым определяются точные значения корней уравнения (1.1). Для отыскания корней используют приближенные методы, при этом корни находятся с некоторой заданной точностью ε . Это означает, что если x — точное значение корня уравнения, а x ’ — его приближенное значение с точностью ε , то | x — x ’ | ≤ ε . Если корень найден с точностью ε , то принято писать x = x ± ε .

Будем предполагать, что уравнение (1.1) имеет лишь изолированные корни, то есть для каждого корня существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f ( x ), в каждом из которых содержится только один корень уравнения (1).

2. Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.

Для того , чтобы графически отделить корни уравнения (1.1), строят график функции y = f ( x ). Абсциссы точек его пересечения с осью Ox есть действительные корни уравнения (рис. 1). Практически бывает удобнее заменить уравнение (1.1) равносильным ему уравнением

, (1.2)

где Φ( x ) и Ψ( x ) — более простые функции, чем f ( x ). Абсциссы точек пересечения графиков функций y = Φ( x ) и y = Ψ( x ) дают корни уравнения (1.2), а значит и исходного уравнения (1.1) (рис.2).

Аналитическое отделение корней основано на следующей теореме: если непрерывная на отрезке [ a , b ] функция y = f ( x ) принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. f ( a )· f ( b ) f ( x ) = 0; если при этом производная f ’ ( x ) сохраняет знак внутри отрезка [ a , b ], то корень является единственным.

Уточнение корней заключается в сужении интервала изоляции корня и выполняется одним из специальных методов. Рассмотрим самый простой из них — метод половинного деления.

Пусть корень отделён и принадлежит отрезку [ a , b ]. Находим середину отрезка [ a , b ] по формуле

Если f ( c ) = 0, то с — искомый корень. Если f ( c ) ≠ 0, то в качестве нового отрезка изоляции корня [ a ₁ , b ₁ ] выбираем ту половину [ a , c ] или [ c , b ], на концах которой f ( x ) принимает значения разных знаков. Другими словами, если f ( a ) ∙ f ( c ) a , c ], если f ( a ) ∙ f ( c ) — отрезку [ c , b ]. Полученный отрезок снова делим пополам, находим c₁ ,

вычисляем f ( c ₁ ), выбираем отрезок [ a ₂ , b ₂ ] и т.д. Длина каждого нового отрезка вдвое меньше длины предыдущего, то есть за n шагов отрезок сократится в 2 n раз. Как только будет выполнено условие