Найти корни квадратного уравнения маткад

Электронный курс по MathCAD

Лекция 5.
Решение уравнений и систем.

5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.

5.2 Решение дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и граничные задачи).

5.3 Задание.

5.1 Решение алгебраических (и других) уравнений и систем.

Линейные алгебраические уравнения.

Определение: Уравнение вида ax+b=0 с заданным базовым множеством G_x, a из G_a , b из G_b называется линейным уравнением.

Этапы решения при помощи Mathcad:

Ввести уравнение (знак «=» вводится при помощи комбинации [Ctrl++]).
Выделить курсором переменную, относительно которой должно быть решено уравнение.
Выбрать команду Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы).

При решении линейных уравнений (без параметров) или дробных уравнений, которые сводятся к линейным, MathCAD находит все существующие решения. Однако при этом следует правильно интерпретировать сообщения, выдаваемые системой.

Нормальный случай.

В качестве решения MathCAD выдает число — это означает,

что уравнение однозначно разрешимо (однозначное решение линейного уравнения над множеством действительных чисел, которое одновременно является областью определения этого уравнения).

Рассмотрим другой пример:

После выполнения описанных выше действий для нахождения решения Mathcad выдает сообщение о том, что решение не найдено.

Проанализировав данное уравнение приходим к выводу, что выданное Mathcad сообщение означает, что решений нет L=<>.

MathCAD выдает сообщение «Решение не найдено», даже если уравнение имеет «формальное решение», которое не принадлежит области определения (смотри примеры ниже).

Многозначность.
Если в качестве решения MathCAD выдает имя переменной, это означает, что множество решений уравнения совпадает с областью определения. Однако, такие понятия, как множество решений уравнения и область определения, отсутствуют в MAthCAD и он не выписывает оболасть определения. Вы можете найти область определения, решая с помощью Mathcad систему неравенств или уравнений

Такой результат, выданный Mathcad после выполнения действий по решению уравнения, означает, что любое значение x из базового множества удовлетворяет этому уравнению, т. е. L=R.

Дробные уравнения

Команда Solve (Вычислить) из подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы)выдает множество решений: L = .

Решение 6 копируем в буфер, а затем выделяем маркером переменную x и активизируем команду Substitute (Замена) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы) для замены переменной значением 6.

Рассмотрим другой пример:

Последнее уравнение (рисунок справа) условно эквивалентно уравнению:2x=4. Решение уравнения Mathcad: 2. Формальное решение x = 2 не входит в область допустимых значений. Mathcad выдает правильное сообщение!

Здесь также правильное решение: множество решений совпадает с областью допустимых значений L = D. Только следует учесть, что D=>.

Квадратные уравнения и алгебраические уравнения высших порядков.

Определение: Уравнение P(x)=0 называется алгебраическим уравнением n-го порядка, если P(x) представляет собой полином степени n, при n=2 данное уравнение называется квадратным уравнением.

При решении такого рода уравнения необходимо выполнить те же действия, что и при решении линейных уравнений.

Квадратное уравнение.

Команда Solve (Вычислить) подменю Variable (Переменные) меню Symbolics (Символы) дает решение в виде вектора: L= .

Иррациональное уравнения (уравнения с радикалами).

Корни (радикалы) могут вычисляться в MathCAD либо при помощи знака корня (клавиши [Ctrl+\]), либо как степени (клавиша [^] с дробными показателями. Знак квадратного корня вводится нажатием клавиши [\]. Знак корня и квадратный корень можно найти на панели Calculator (Калькулятор). Последовательность действий при решении уравнений с радикалами та же, что и при решении рассмотренных ранее уравнений.

С точки зрения теории, между решениями уравнений с радикалами и решением алгебраических уравнений имеется два важных различия, по крайней мере, при нахождении действительных решений.

Радикалы определены не везде в действительной области. Это обстоятельство приводит к необходимости находить область определени, прежде чем решать само уравнение. Данная проблема справедливо игнорируется MathCAD, поскольку он не может знать, во множестве каких чисел (действительных или комплексных) вы намерены решать уравнение. Выход: вы можете самостоятельно найти область определения, воспользовавшись при этом возможностями MathCAD, связанными с решениями неравенств.
Вторая проблема, возникающая при решении уравнений с радикалами, имеет принципиальный характер. Функция x 2 (как и любая другая функция с четным показателем) на является инъективной (проблема главных значений). В связи с этим возведение в квадрат обеих частей уравнения, содержащего квадратные корни, не является эквивалентным преобразованием. Как всегда, при применении к обеим частям уравнения не инъективного преобразования увеличивается множество решений. В результате в него могут войти «фиктивные» решения. Как ни удивительно, MAthCAD сам производит проверку решений на «фиктивность».

Классический случай решения уравнения с радикалами.

Mathcad распознает «фиктивные» решения (которые могут возникнуть в результате неэквивалентного преобразования «возведение в квадрат») и выдает верное сообщение: Решение не найдено. L =

В приведенных примерах демонстрируется способность MathCAD находить область определения иррационального уравнения путем решения неравенств.

Уравнения с радикалами третьей степени, как и уравнения с комплексными коэффициентами, не представляют для MathCAD никакой сложности.

Уравнения с параметрами.
При решении уравнений с параметрами MathCAD ведет себя по-разному, в зависимости от того, каким образом производятся символьные вычисления — с помощью символьного знака равенства или команд меню Symbolics.

В данном примере использование палитры символьных преобразований позволяет решить уравнение (solve) и упрстить результат (simplify)

MathCAD — это просто! Часть 2. Уравнения

Решение уравнений на бумаге — это задача, с которой каждый знаком еще со школьной скамьи. Сначала мы учились решать простые линейные уравнения, деля а на b и получая x, потом — системы уравнений, затем переходили к квадратным уравнениям. Находим дискриминант, извлекаем корень, делим, складываем… Все это вам знакомо, не так ли? Знакомы, наверное, и трансцендентные уравнения: тригонометрические, логарифмические (они же показательные), смешанные…

Системы трансцендентных уравнений — это вообще песня, причем песня из серии «этот стон у нас песней зовется». Люди давно уже пришли к выводу, что решать уравнения с помощью компьютера — отнюдь не роскошь, а вполне разумный подход к делу. Только раньше каждый, кто желал решить уравнение, должен был уметь программировать и владеть при этом какими-нибудь численными методами — например, методом Гаусса для решения систем линейных уравнений или методом Зейделя для решения трансцендентных. Сейчас эти все методы, конечно, тоже используются, но большая часть пользователей могут забыть их как страшный сон — все эти вычисления возможны в MathCAD’е, и именно о том, как их выполнять в этом замечательном математическом пакете, я сейчас и расскажу.

Аналитическое решение уравнений

Довольно значительное число уравнений поддаются аналитическому решению — т.е. решению в обобщенном виде, когда корни уравнения представляются в виде какой-то формулы, выражающей их зависимость от входящих в уравнение функций и различных коэффициентов перед ними. При этом, однако, надо заметить, что такой подход применим отнюдь не ко всем уравнениям — большая часть трансцендентных уравнений не может быть решена аналитически. Поэтому мы сейчас будем говорить преимущественно о полиномиальных уравнениях, известных также под названием алгебраических. Алгебраическим называется уравнение, которое можно преобразовать так, что в левой части будет многочлен от одной или нескольких неизвестных, а в правой — нуль. Степень многочлена называется степенью уравнения. Простейшие алгебраические уравнения: линейное уравнение — уравнение 1-й степени с одним неизвестным ax + b = 0, имеющее один действительный корень; квадратное уравнение — уравнение 2-й степени ax2 + bx + c = 0, которое в зависимости от значения коэффициентов может иметь либо два различных, либо два совпадающих действительных корня либо не иметь действительных корней. Вообще алгебраическое уравнение степени n не может иметь более n корней, что доказывается в рамках основной теоремы алгебры, которую в ВУЗах проходят в курсе математического анализа.

Что ж, давайте, пожалуй, перейдем к практике. То есть запустим MathCAD, включим панель символьных вычислений (Symbolic) — о том, как это сделать, уже было рассказано ранее в первой статье про MathCAD. На этой панели нам с вами понадобится оператор solve — именно он отвечает за аналитическое решение уравнений. Общий вид этого оператора такой: уравнение solve, переменная > решение. Здесь уравнение — это именно то уравнение, решение которого мы хотим найти в общем виде, а переменная — это символ, обозначающий в нашем уравнении переменную величину. Его нужно указывать для того, чтобы MathCAD (не такой уж он умный, как иногда кажется!) мог отличить переменную от коэффициентов. Давайте попробуем найти решение обычного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0. Для этого нажмите на кнопку Solve на панели инструментов символьных вычислений и на то место, где должно быть записано уравнение, введите наше квадратное уравнение. Здесь есть два тонких момента. Во-первых, чтобы записать «x2», нужно после x нажать Shift + 6 — тогда вы перейдете от записи переменных к записи показателя степени. Чтобы затем переключиться в режим записи других слагаемых в уравнении, достаточно нажать на клавиатуре стрелку вправо. Вообще навигация по записям в MathCAD при помощи стрелок вполне прозрачная — вы передвигаетесь стабильно в том направлении, куда указывает стрелка, и перескакиваете в показатели степени и индексы автоматически. Во-вторых, при записи уравнения в операторе solve «равно» нужно не обычное, а логическое — оно записывается с клавиатуры комбинацией Ctrl + =. При этом, если правая часть вашего уравнения равна нулю, то и ноль, и знак равенства можно опускать — MathCAD посчитает, что уравнение записано в стандартном виде, и успешно (если это, конечно, возможно) решит его. Итак, давайте посмотрим, что получилось от «скармливания» оператору solve нашего с вами квадратного уравнения.

Как видите, ничего неожиданного не произошло: MathCAD честно воспользовался известными всем еще из школьного курса алгебры формулами Виета, а решения уравнения записал в виде вектора-столбца. Несложно самостоятельно убедиться в том, что MathCAD знает и формулы Кордано для решения кубических уравнений — их он также может решать с произвольными коэффициентами. Правда, конечно, решения получаются несравненно более громоздкими, а потому я их здесь не буду приводить. Это же справедливо и для уравнений четвертой степени, для которых также существуют аналитические решения. Решение других видов уравнений (например, показательных) в аналитическом виде также вполне возможно. Например, если мы запишем уравнение eax + b = 0, то MathCAD совершенно справедливо сообщит, что решением этого уравнения будет выражение ln(-b)/a. Точно так же можно решать простые тригонометрические уравнения.

Численное решение уравнений с помощью функции solve

Но, конечно, такие красивые результаты в максимально обобщенной форме мы сможем получать далеко не всегда. Уже на уравнениях пятой степени MathCAD спотыкается, и произвольные коэффициенты приходится заменять постоянными. Впрочем, в этом ничего страшного нет — даже уравнения третьей степени со всеми произвольными коэффициентами решать вряд ли имеет смысл, поскольку гораздо проще подставить коэффициенты и получить нормальные числа в решении — в конце концов, общие формулы для решения алгебраических выражений используются именно из-за того, что живому человеку гораздо проще подставить числа в готовую формулу, чем подбирать каждый раз корни уравнения. С компьютерами дело обстоит в большинстве случаев с точностью до наоборот — получить численное решение уравнения зачастую гораздо проще, чем аналитическое. Оператор solve умеет находить и численные решения уравнений. Если аналитическое решение получить не удается, он автоматически подключает систему нахождения численных решений уравнений. Так что, если мы запишем совершенно невообразимое для нормального человека уравнение x25 + sin(x) + ln(x) + ex + 1/x = 0, то MathCAD, и глазом не моргнув, выдаст нам результат вычислений.

Но численное решение уравнений с помощью функции solve — честно говоря, не лучшая идея. Некоторые виды уравнений она решает из рук вон плохо — в первую очередь, конечно же, это относится к уравнениям тригонометрическим. Начнем с того, что эта функция выдает решение только для одного периода в то время, как большая часть решений тригонометрических уравнений описывается с помощью специального целочисленного параметра, выражающего номер периода. Но это, в общем-то, не самое худшее, поскольку иногда использование solve приводит к получению совершенно неверного результата, который при подстановке его в уравнение дает совершенно неверное значение. Конечно, это является минусом MathCAD’а, но положение дел совсем не фатально. Если использовать специальные методы решения трансцендентных уравнений, то численные результаты будут совершенно адекватными. Можно также пойти по другому пути, например, преобразуя выражения с помощью символьного процессора MathCAD (о том, как это делается, я еще расскажу в дальнейшем), а затем уже решая с помощью solve более простые уравнения, получившиеся в результате этих преобразований. Численное решение уравнений требует от пользователя понимания того, что он ожидает в результате этого решения получить. Поэтому прежде, чем приступать к рассказу о самом процессе численного решения, я расскажу об одной полезной функции, которая пригодится для численного решения простых трансцендентных уравнений.

Решение уравнений с помощью функции root

Эта очень хорошая и полезная во всех смыслах функция имеет лишь одно ограничение — она может найти всего один корень. К сожалению, несущественным это ограничение назвать, честно говоря, сложно. Впрочем, вы увидите, что и его запросто можно обойти — разработчики MathCAD, по крайней мере, предусмотрели такую возможность, и ею вполне можно воспользоваться, если, конечно, в этом есть необходимость. Функция root имеет следующий вид: root(функция, переменная). Функция — это фактически левая часть уравнения в стандартном виде, т.е. уравнения, в котором левая часть равна нулю. Переменная — это, конечно же, тот символ, который обозначает в функции переменную величину. Для использования функции root нужно задать начальное приближение — то есть число, отталкиваясь от которого, функция root будет искать корни нашего уравнения. От начального приближения может весьма существенно зависеть и сам результат работы функции root, особенно если искомые корни уравнения находятся сравнительно близко. Начальное приближение задается очень просто: набираем имя нашей переменной до функции root, ставим двоеточие (MathCAD самостоятельно преобразует его в знак присвоения «:=»), пишем число, соответствующее нашему начальному приближению.

В принципе, вместо начального приближения можно задать интервал, в пределах которого должно лежать решение, отыскиваемое нами с помощью функции root. Для этого после имени переменной в списке параметров функции нужно (через запятую, конечно же) указать начало и конец интервала, на котором должно располагаться решение. У этого способа есть только одно существенное но: числа, определяющие начало и конец этого интервала, должны иметь разные знаки. При этом, если уравнение не имеет действительных корней, то и интервал нужно задавать в комплексной форме. Мнимая единица при этом записывается как i или как j.

Как видите, для численного нахождения уравнений с помощью функции root необходимо довольно точно представлять, где именно должны располагаться корни уравнения — сделать это можно, например, с помощью графика функции, на котором с помощью трассировки можно определить нули функции. Но о том, как строить графики и как ими потом пользоваться, как-нибудь в другой раз.

Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 14 за 2008 год в рубрике soft

Нахождение корней уравнения в MathCad

Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 18067 ; Нарушение авторских прав

Цель работы:нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенных функций root,polyroots, символьного решения.

Указания к выполнению лабораторной работы:

IНахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции root

1. Запустить программу MathCad .

2. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни.

3. Создать цикл из точек интервала, на котором определяются корни, и вычислить в этих точках функцию f(х). Построить график функции f(х) и график функции х0=0 (т.е. ось х).

4. Определить точки пересечения двух кривых f(х) и х0, которые будут приближением к корням уравнения.

4.1. Использовать для определения на графике значений корней в контекстном меню (рис.17, a) опцию Trace (рис. 17,б), установить флажок в окне Track Data Poіnt.

4.2. Подвести курсор мыши к точкам пересечения кривых, координаты точек пересечения кривых, т.е. корни, будут представлены в окнах Х-Value и У- Value, а на графике отобразится вертикальная прямая.

5. Задать для независимой переменной х начальное приближение, которое выбирается как значение точки пересечения кривых f(х) и х0. Обратиться ко встроенной в MathCad функции root(f(x), x) (функция root возвращает значение независимой переменной х, для которой f(х) равняется 0) и найти корень х1.

6. Найти второй (х2) и третий (х3) корни уравнения f(х)=0 (уравнение третьей степени имеет не больше трех действительных корней), задав для них соответственно их начальные значения как координаты точек пересечения кривых f(х) и х0 и использовав функцию root.

Рисунок 17 – Диалоговые окна для определения координат точек пересечения кривых

ІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции polyroots, которая возвращает вектор, имеющий все корни уравнения, коэффициенты уравнения при этом задаются вектором.

1. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни.

2. Записать как вектор v все коэффициенты уравнения, расположить их в порядке увеличения степеней.

3. Найти корни, обратившись ко встроенной функции r:=polyroots(v), результат будет получено относительно трансформированного вектора r T .

4. Для интервала нахождения корня и количества элементов вектора r T создать соответствующие циклы и вычислить значение функции в точках цикла.

5. Построить график функции в точках цикла, а также в найденных точках корней, в которых функция будет иметь значения, равные нулю.

ІІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием символьных решений уравнений.

1. Ввести левую часть уравнения.

2. Ввести знак равенства с использованием панели управления Evaluatіon (Выражения) или с помощью нажатия клавиш Ctrl + =.

3. За знаком равенства ввести правую часть уравнения.

4. Выделить переменную, относительно которой решается уравнение.

5. Выбрать команду Symbolіc/Varіable/Solve.

По окончанию решения корни уравнения выводятся в виде вектора.

ІV Найти приближенное решение с использованием функции mіnerr(x1. ).

1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1.

2. Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.

3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения.

4. Обратиться к функции mіnerr( x). Корень будет найдено.

Таблица 1.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 1

№ варианта	Интервал нахождения корней	Уравнение
[-1; 3]	x 3 -2,92x 2 +1,4355x+0,791=0
[-2; 3]	x 3 -2,56x 2 -1,325x+4,395=0
[-3,5; 2,5]	x 3 +2,84x 2 -5,606x-14,766=0
[-2,5; 2,5]	x 3 +1,41x 2 -5,472x-7,38=0

[-1,6; 1,1]	x 3 +0,85x 2 -0,432x+0,044=0
[-1,6; 1,6]	x 3 -0,12x 2 -1,478x+0,192=0
[-1,6; 0,8]	x 3 +0,77x 2 -0,251x-0,017=0
[-1,4; 1]	x 3 +0,88x 2 -0,3999x-0,0376=0
[-1,4; 2,5]	x 3 +0,78x 2 -0,827x-0,1467=0
[-2,6; 1,4]	x 3 +2,28x 2 -1,9347x-3,90757=0
[-2,6; 3,2]	x 3 -0,805x 2 -7x+2,77=0
[-3; 3]	x 3 -0,345x 2 -5,569x+3,15=0
[-2; 3,4]	x 3 -3,335x 2 -1,679x+8,05=0
[-1; 2,8]	x 3 -2,5x 2 +0,0099x+0,517=0
[-1,2; 3]	x 3 -3x 2 +0,569x+1,599=0
[-2,5; 2,5]	x 3 -2,2x 2 +0,82x+0,23=0
[-1,2; 4,6]	x 3 -5x 2 +0,903x+6,77=0
[-1; 7,4]	x 3 -7,5x 2 +0,499x+4,12=0
[-1.6; 9]	x 3 -7,8x 2 +0,899x+8,1=0
[-3,4; 2]	x 3 +2x 2 -4,9x-3,22=0
[-3,4; 1,2]	x 3 +3x 2 -0,939x-1,801=0
[-4,6; 3,0]	x 3 +5,3x 2 +0,6799x-13,17=0
[-2,4; 8,2]	x 3 -6,2x 2 -12,999x+11,1=0
[-3,2; 2,7]	x 3 -0,34x 2 -4,339x-0,09=0
[-1; 3]	x 3 -1,5x 2 +0,129x+0,07=0
[-1; 3]	x 3 -5,5x 2 +2,79x+0,11=0
[-1; 3]	x 3 -5,7x 2 -6,219x-2,03=0
[-1; 3]	x 3 -3,78x 2 -7,459x-4,13=0
[-1; 3]	x 3 -5x 2 -9,9119x+0,01=0
[-1; 3]	x 3 -7x 2 -1,339x-7,55=0

Пример

І Для уравнения найти корни на интервале [-1, 1], шаг изменения переменной х равен 0.1.

1 Записать цикл из точек интервала х:=-1, -0.9..1.

2 Записать функции и х0=0.

3 Построить графики для этих функций.

4 Определить на графике точки пересечения кривых и х0=0.

5 Задать как приближение значения точек пересечения х1, х2, х3. В примере х1=-0.9, х2=0.2, х3= 0.7.

6 Вычислить значение корней с помощью формул: root (f(x1),x1), root (f(x2),x2), root (f(x3),x3). Полученные значения корней такие: х1=-0.92, х2=0.21, х3= 0.721 (рис. 18).

Рисунок 18 – Результат нахождения корней с использованием функции root

II Для уравнения найти корни на интервале [-1.1, 7.1] , шаг изменения переменной х равен 0.1.

1. Создать вектор из коэффициентов уравнения, используя панель управления Matrix (Матрица) (рис.19) и задав один столбец и четыре строки для коэффициентов уравнения.

Рисунок 19 – Диалоговое окно для определения вектора из коэффициентов уравнения

Вектор из коэффициентов уравнения будет иметь следующий вид

2. С помощью встроенной функции r:=polyroots(v) найти корни уравнения и представить их в виде вектора r T , транспонированного по отношению к r, то есть преобразованного из столбца в строку.

3. Создать циклы для переменной х и количества найденных корней:

4. Построить графики для функции и определить функцию в точках корней. В точках корней значения функции равны нулю.

5. Определить значения корней на графике (рис. 20).

Рисунок 20 – Результат нахождения корней с использованием функции polyroots

III Для уравнения найти корни с использованием символьных решений уравнений.

1. Записать левую часть уравнения

2. Поставить логический знак «=» и в правой части записать 0.

3. Выделить переменную х.

4. Обратиться в главном меню MathCad к команде Symbolic/Variable/ Solve.

Найдены корни уравнения запишутся в виде вектора:

IV Найти приближенное решение вышеприведенного уравнения с использованием функции minerr( x1,…).

1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1.

2. Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения.

4. Обратиться к функции minerr( x). Корень будет найдено.

5. Аналогические действия выполнить для двух других корней уравнения, поскольку уравнения третьей степени имеет не больше трех корней.

Контрольные вопросы

1 Какие встроенные функции позволяют находить корни уравнения?

2 Как выполняется символьное нахождение корней уравнений?

Лабораторная работа №3
Действия с матрицами в MathCad

Цель работы:выполнение действий с матрицами в программе MathCad .

Указания к выполнению лабораторной работы:

1. Запустить программу MathCad .

2. Создать матрицы , , , , , из коэффициентов a, b, c, m, k, n в соответствии с вариантом задания.

3. Выполнить действия с матрицами в соответствии с вариантом задания.

4. Найти ранг матрицы А.

5. В символьном виде выполнить транспонирование матрицы В, инвертирование матрицы А.

6. Найти обратную матрицу К. Найти детерминант матрицы А.

Таблица 2.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 2

Номер варианта	Значение элементов матриц	Действия с матрицами
a=1; b=0.5; c=-1; m=2; k=-2.1;n=-0.8	1) A+A×M; 2) B×C; 3) M 3 ; 4)D+m×K; 5)A×D+D×M; 6)K -2
a=-2; b=1; c=1.5; m=-3; k=-0.1;n=1.8	1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3
a=-1; b=5; c=1.3; m=0.9; k=0.1;n=-0.5	1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2
a=1; b=0.5; c=1; m=0.2; k=0.27 ;n=0.7	1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2
a=3; b=2.1; c=0.91; m=1.2; k=1; n=3	1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2
a=4; b=-0.5; c=-1; m=3.2; k=1.1;n=1.8	1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3
a=1; b=2.5; c=0.3; m=1; k=-2.1;n=-0.8	1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2
a=2; b=0.5; c=-1.1; m=2; k=1.9 ;n=-3.8	1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2
a=3; b=-2.5; c=4; m=3; k=-2.1;n=0.8	1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2
a=3.1; b=1.5; c=2.1; m=3.2; k=1.1;n=-1.6	1) A+A×M; 2) B×C; 3) M 3 ; 4)D+m×K; 5)A×D+D×M; 6)K -2
a=-2; b=1; c=1.5; m=-3; k=-0.1;n=1.8	1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3
a=-1; b=5; c=1.3; m=0.9; k=0.1;n=-0.5	1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2
a=1; b=0.5; c=1; m=0.2; k=0.27 ;n=0.7	1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2
a=3; b=2.1; c=0.91; m=1.2; k=1; n=3	1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2
a=4; b=-0.5; c=-1; m=3.2; k=1.1;n=1.8	1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3
a=1; b=2.5; c=0.3; m=1; k=-2.1;n=-0.8	1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3

Продолжение табл. 2.1

a=2; b=0.5; c=-1.1; m=2; k=1.9 ;n=-3.8	1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2
a=3; b=-2.5; c=4; m=3; k=-2.1;n=0.8	1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2
a=3.1; b=1.5; c=2.1; m=3.2; k=1.1;n=-1.6	1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2
a=1; b=0.5; c=-1; m=2; k=-2.1;n=-0.8	1) A+A×M; 2) B×C; 3) M 3 ; 4)D+m×K; 5)A×D+D×M; 6)K -2
a=-2; b=1; c=1.5; m=-3; k=-0.1;n=1.8	1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3
a=-1; b=5; c=1.3; m=0.9; k=0.1;n=-0.5	1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2
a=1; b=0.5; c=1; m=0.2; k=0.27 ;n=0.7	1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2
a=3; b=2.1; c=0.91; m=1.2; k=1; n=3	1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2
a=4; b=-0.5; c=-1; m=3.2; k=1.1;n=1.8	1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3
a=1; b=2.5; c=0.3; m=1; k=-2.1;n=-0.8	1) A+A×M; 2) B×C; 3) M 3 ; 4)D+m×K; 5)A×D+D×M; 6)K -2
a=2; b=0.5; c=-1.1; m=2; k=1.9 ;n=-3.8	1) A+B×M; 2) M×C; 3) B 3 ; 4)C+m×K; 5)AB+D×K 6)D -3
a=3; b=-2.5; c=4; m=3; k=-2.1;n=0.8	1) A-M; 2) B-a×C 3) M 2 -B; 4)D-×K; 5)A+7×D; 6)A -2
a=3.1; b=1.5; c=2.1; m=3.2; k=1.1;n=-1.6	1) A 2 ; 2) B×C+M; 3) n×M 2 ; 4)D-K; 5)A×B-D×C; 6)D -2
a=-2; b=1; c=1.5; m=-3; k=-0.1;n=1.8	1) A 2 +M; 2) B-M; 3) b×C -3 ; 4)D+3K; 5)A×K-D; 6)M -2

Пример

Выполнить действия с матрицами, создав их из заданных коэффициентов a=1, b=2, c= 3, m=4, k=5, n=6. Матрицы имеют следующий вид:

1. Создать матрицы.

1.1. Выбрать панель управления Matrіx (Матрица).

1.2. Определить число строк и столбцов для каждой матрицы (рис.21).

Рисунок 21 — Диалоговое окно для определения размера матрицы

1.3. Матрицы в примере имеют такие размеры: А — (3´3), В — (3´2), С(2´2), М(1´2), К(3´3).

1.4. Заполнить матрицы соответствующими параметрами (рис. 29).

2 Выполнить следующие действия с матрицами:

1) А+n·K; 2)A·B; 3) A 2 ; 4) A·D; 5)D·M; 6) D-1.

3 Найти ранг матрицы А (ранг матрицы -наибольший порядок минора этой матрицы, который отличный от нуля): rank(A).

4 В символьном виде выполнить транспонирование матрицы В, т.е. заменить местами строки и столбцы матрицы В.

4.1 Выделить матрицу В.

4.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc / Matrіx/Transpose (рис. 28).

5 В символьном виде выполнить инвертирование матрицы А (т.е. найти матрицу, которая будет обратной к матрице А) .

5.1 Выделить матрицу A.

5.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc/Matrіx/Іnvert (рис.28).

6 В символьном виде найти обратную матрицу К.

6.1 Выделить матрицу К.

6.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc / Matrіx/Іnvert (рис.28).

7 В символьном виде найти детерминант (определитель) матрицы А.

7.1 Выделить матрицу A.

7.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc/Matrіx/Determіnant (рис.22).

Рисунок 22 – Меню Symbolic для работы с матрицами в символьном виде

Рисунок 23 – Результаты вычисления матриц

Контрольные вопросы

1 Як можно создать матрицу и вектор?

2 Какие действия выполняются с матрицами?

3 Как определяются элементы матрицы?

Лабораторная работа №4
Нахождение решений системы линейных уравнений в MathCad

Цель работы:нахождение решений системы линейных уравнений в программе MathCad .

Указания к выполнению лабораторной работы:

I Найти решение системы линейных уравнений с использованием функции soln.

1 Запустить программу MathCad.

2 Создать матрицу А из коэффициентов при неизвестных.

3 Создать вектор b из свободных членов.

4 Обратиться к встроенной программе решения линейных уравнений soln и записать soln₁:=А -1 ×b.

5 Получить решение линейного уравнения у векторному виде

IIНайти решение системы линейных уравнений с использованием так званого «блоку решений».

1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении.

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели управления Evaluation (Выражения).

4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.

IIIНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции lsolve.

1Создать матрицу А из коэффициентов при неизвестных.

2 Создать вектор b из свободных членов.

4 Обратиться к встроенной программе решения линейных уравнений lsolve и записать lsolve(А,b).

5 Получить результат решения линейного уравнения в векторном виде

IVНайти приближенное решение с использованием функции minerr(x1,…).

1 Задать приближение последовательно для значений переменной х1, х2,… хn.

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать систему уравнений, используя знак логического равенства между правой и левой частями каждого уравнения.

4 Обратиться к функции minerr( x1,x2. ). Значения неизвестных будут найдены.

Таблица 3.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 3

№ варианта	Коэффициенты при неизвестных	Свободные члени
a₁₁ а₂₁ а₃₁ а₄₁	а₁₂ а₂₂ а₂₃ а₂₄	а₁₃ а₂₃ а₃₃ а₃₄	а₁₄ а₂₄ а₃₄ а₄₄	в₁ в₂ в₃ в₄
0,12	-0,43	0,14	0,64	-0,17
-0,07	0,34	-0,72	0,32	0,62
1,18	-0,08	-0,25	0,43	1,12
1,17	0,53	-0,84	-0,53	1,15
0,12	-0,43	0,14	0,64	-0,17
-0,07	0,34	-0,72	0,32	0,62
1,18	-0,08	-0,25	0,43	1,12
1,17	0,53	-0,84	-0,53	1,15
3,7	5,6	9,5
3,36	31,1	1,5
7,93	4,2	6,3	4,4
42,7	3,7	6,2
1,3	1,6	2,2
4,4	6,7	2,5
2,8	0,73	67,8
3,4
5,3	1,6	5,5	3,3
4,1	6,4	3,9
2,1	3,3	2,04	4,9
3,1
0,2
8,3	5,3
2,6	6,1	4,1
0,93	3,8
34,7
3,6
3,4	4,2
44,7
5,1	0,2
3,4	5,34
2,7	6,7
3,3
2,5	1,3
5,2	0,78
6,11	4,2
6,78	3,76
2,3
3,4	2,5
0,2
1,25
3,3	8,2
1,2
1,3
5,9
6,6
3,3	2,1
4,8
0,4
0,2
1,3	1,5	2,22	3,2
3,4	5,55	1,3
3,3	2,2	6,77
4,9	3,6	6,88
0,4
0,3
3,3	7,6	5,5
5,4
9,2
3,2
0,44
0,67

3,35	5,3
4,22	6,7	3,5
2,8	3,8	2,9
2,34	3,44
5,23
13,4	6,33	5,1	2,11	3,33
4,66	6,1	3,33	5,44	0,11
2,22	2,55	6,33	4,44
2,98	3,78	6,11	3,33

Пример

I Найти решение системы уравнений с использованием функции soln

1 Создать матрицу А

А:= .

2 Создать вектор b

b:= .

3 Найти решение системы, используя функцию soln

4 Результат решения

II Найти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием так званого «блоку решений»

1 Задать начальные значения переменным, которые присутствуют в уравнении

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения из панели управления Evaluation (Выражения).

4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.

5 Результат решения

IIIНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции lsolve.

1 Создать матрицу А

2 Создать вектор b

3 Найти решение системы, используя функцию lsolve:

IVНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции minerr (x,у,z).

1 Задать начальные условия для неизвестных, например, x=1,у=1,z=1.

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели.

4 Обратиться к функции minerr (x,у,z). Решение системы уравнений будет найдено.

Контрольные вопросы

1 Какие встроенные функции позволяют найти решение системы линейных уравнений?

2 В каком виде представляются результаты решения системы линейных уравнений?

Лабораторная работа №5
Нахождение решений системы нелинейных уравнений в MathCad

Цель работы: нахождение решений системы нелинейных уравнений в программе MathCad .

Указания к выполнению лабораторной работы:

І Найти решение системы нелинейных уравнений с использованием так называемого «блока решений».

1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении.

2 Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.

3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения из панели управления.

4 Ввести ключевое слово fіnd (найти), которым заканчивается блок решений.

ІІ. Найти приближенное решение с использованием функции mіnerr(x1. ).

1 Задать приближение последовательно для значений переменной х1, х2. хn.

2 Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.

4 Обратиться к функции mіnerr( x1,x2. ). Значение неизвестных будет найдено.

Таблица 4.1 – Варианты задания к лабораторной работе №4

№ варианта	Система уравнений	№ варианта	Система уравнений

Пример

Найти решение системы нелинейных уравнений с использованием так называемого «блока решений».

1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели управления

4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.

5 Результат решения

IIНайти приближенное решение с использованием функции minerr(x1,…).

1 Задать приближения последовательно для значений переменной х=1, y=1.

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать систему уравнений, используя знак логического равенства между правой и лево частью каждого уравнения.

4 Обратится к функции minerr( x,y.). Значение неизвестных будет найдено.

Контрольные вопросы

1 Какие встроенные функции позволяют найти решение системы нелинейных уравнений?

2 В каком виде представляются результаты решения системы нелинейных уравнений?

3 Нужно ли задавать начальные приближения при решении системы нелинейных уравнений?

Лабораторная работа № 6
Символьные действия математического анализа в MathCad

Цель работы:определение неопределенных и определенных интегралов и производных в программе MathCad с использованием символьных операций.

Указания к выполнению лабораторной работы:

1 Запустить программу MathCad.

2 Записать на рабочем листе в соответствии с номером варианта формулы для определения неопределенных интегралов, определенных интегралов, производных первого порядка. От производных первого порядка определить производные второго, третьего порядков.

3 Применить последовательно к каждой функции команды меню Symbolic/Simplify, отметив последовательно каждую из функций.

Таблица 5.1 – Варианты задания к лабораторной работе №5