Найти корни уравнения маткад прайм

Найти корни уравнения маткад прайм

Уравнение и системы уравнений в математическом пакете Mathcad в символьном виде решаются с использованием специального оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства, который может быть также введен с рабочей панели “Символика”. Например:

Аналогичные действия при решении уравнений в Mathcad можно выполнить, используя меню “Символика”. Для этого необходимо записать вычисляемое выражение. Затем выделить переменную, относительно которой решается уравнение, войти в меню Символика, Переменная, Разрешить. Например:

В случае, если необходимо упростить полученный результат, используется знак равенства [=]. Например:

При решении некоторых уравнений, результат включает большое количество символов. Mathcad сохраняет его в буфере, а на дисплей выводитcя сообщение: “This array has more elements than can be displayed at one time. Try using the “submatrix” function” – “Этот массив содержит больше элементов, чем может быть отображено одновременно. Попытайтесь использовать функцию “submatrix””. В этом случае рекомендуется использовать численное решение. Или, в случае необходимости, символьное решение может быть выведено и отображено на дисплее.

Символьное решение может быть получено с использованием блока given … find. В этом случае при записи уравнения для связи его левой и правой части использует символ логического равенства “=” с панели инструментов Boolean, например:

Аналогичным способом решаются системы уравнений в символьном виде. Ниже приводятся примеры решения систем уравнений в символьном виде различными способами. При использовании оператора символьного решения solve в сочетании со знаком символьного равенства система уравнений должна быть задана в виде вектора, который вводится вместо левого маркера оператора solve, а перечень переменных, относительно которых решается система, вместо правого маркера. Например:

Пример использования блока given…find для решения системы уравнений:

Нахождение корней уравнения в MathCad

Дата добавления: 2015-07-23 ; просмотров: 18087 ; Нарушение авторских прав

Цель работы:нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенных функций root,polyroots, символьного решения.

Указания к выполнению лабораторной работы:

IНахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции root

1. Запустить программу MathCad .

2. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни.

3. Создать цикл из точек интервала, на котором определяются корни, и вычислить в этих точках функцию f(х). Построить график функции f(х) и график функции х0=0 (т.е. ось х).

4. Определить точки пересечения двух кривых f(х) и х0, которые будут приближением к корням уравнения.

4.1. Использовать для определения на графике значений корней в контекстном меню (рис.17, a) опцию Trace (рис. 17,б), установить флажок в окне Track Data Poіnt.

4.2. Подвести курсор мыши к точкам пересечения кривых, координаты точек пересечения кривых, т.е. корни, будут представлены в окнах Х-Value и У- Value, а на графике отобразится вертикальная прямая.

5. Задать для независимой переменной х начальное приближение, которое выбирается как значение точки пересечения кривых f(х) и х0. Обратиться ко встроенной в MathCad функции root(f(x), x) (функция root возвращает значение независимой переменной х, для которой f(х) равняется 0) и найти корень х1.

6. Найти второй (х2) и третий (х3) корни уравнения f(х)=0 (уравнение третьей степени имеет не больше трех действительных корней), задав для них соответственно их начальные значения как координаты точек пересечения кривых f(х) и х0 и использовав функцию root.

Рисунок 17 – Диалоговые окна для определения координат точек пересечения кривых

ІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием встроенной функции polyroots, которая возвращает вектор, имеющий все корни уравнения, коэффициенты уравнения при этом задаются вектором.

1. Записать на рабочем листе MathCad вид функции f(х), для которой необходимо найти на заданном интервале корни.

2. Записать как вектор v все коэффициенты уравнения, расположить их в порядке увеличения степеней.

3. Найти корни, обратившись ко встроенной функции r:=polyroots(v), результат будет получено относительно трансформированного вектора r T .

4. Для интервала нахождения корня и количества элементов вектора r T создать соответствующие циклы и вычислить значение функции в точках цикла.

5. Построить график функции в точках цикла, а также в найденных точках корней, в которых функция будет иметь значения, равные нулю.

ІІІ Нахождение корней уравнения в программе MathCad с использованием символьных решений уравнений.

1. Ввести левую часть уравнения.

2. Ввести знак равенства с использованием панели управления Evaluatіon (Выражения) или с помощью нажатия клавиш Ctrl + =.

3. За знаком равенства ввести правую часть уравнения.

4. Выделить переменную, относительно которой решается уравнение.

5. Выбрать команду Symbolіc/Varіable/Solve.

По окончанию решения корни уравнения выводятся в виде вектора.

ІV Найти приближенное решение с использованием функции mіnerr(x1. ).

1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1.

2. Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.

3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения.

4. Обратиться к функции mіnerr( x). Корень будет найдено.

Таблица 1.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 1

Пример

І Для уравнения найти корни на интервале [-1, 1], шаг изменения переменной х равен 0.1.

1 Записать цикл из точек интервала х:=-1, -0.9..1.

2 Записать функции и х0=0.

3 Построить графики для этих функций.

4 Определить на графике точки пересечения кривых и х0=0.

5 Задать как приближение значения точек пересечения х1, х2, х3. В примере х1=-0.9, х2=0.2, х3= 0.7.

6 Вычислить значение корней с помощью формул: root (f(x1),x1), root (f(x2),x2), root (f(x3),x3). Полученные значения корней такие: х1=-0.92, х2=0.21, х3= 0.721 (рис. 18).

Рисунок 18 – Результат нахождения корней с использованием функции root

II Для уравнения найти корни на интервале [-1.1, 7.1] , шаг изменения переменной х равен 0.1.

1. Создать вектор из коэффициентов уравнения, используя панель управления Matrix (Матрица) (рис.19) и задав один столбец и четыре строки для коэффициентов уравнения.

Рисунок 19 – Диалоговое окно для определения вектора из коэффициентов уравнения

Вектор из коэффициентов уравнения будет иметь следующий вид

2. С помощью встроенной функции r:=polyroots(v) найти корни уравнения и представить их в виде вектора r T , транспонированного по отношению к r, то есть преобразованного из столбца в строку.

3. Создать циклы для переменной х и количества найденных корней:

4. Построить графики для функции и определить функцию в точках корней. В точках корней значения функции равны нулю.

5. Определить значения корней на графике (рис. 20).

Рисунок 20 – Результат нахождения корней с использованием функции polyroots

III Для уравнения найти корни с использованием символьных решений уравнений.

1. Записать левую часть уравнения

.

2. Поставить логический знак «=» и в правой части записать 0.

3. Выделить переменную х.

4. Обратиться в главном меню MathCad к команде Symbolic/Variable/ Solve.

Найдены корни уравнения запишутся в виде вектора:

IV Найти приближенное решение вышеприведенного уравнения с использованием функции minerr( x1,…).

1. Задать приближение последовательно для первого корня х:=1.

2. Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3. Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения.

4. Обратиться к функции minerr( x). Корень будет найдено.

5. Аналогические действия выполнить для двух других корней уравнения, поскольку уравнения третьей степени имеет не больше трех корней.

Контрольные вопросы

1 Какие встроенные функции позволяют находить корни уравнения?

2 Как выполняется символьное нахождение корней уравнений?

Лабораторная работа №3
Действия с матрицами в MathCad

Цель работы:выполнение действий с матрицами в программе MathCad .

Указания к выполнению лабораторной работы:

1. Запустить программу MathCad .

2. Создать матрицы , , , , , из коэффициентов a, b, c, m, k, n в соответствии с вариантом задания.

3. Выполнить действия с матрицами в соответствии с вариантом задания.

4. Найти ранг матрицы А.

5. В символьном виде выполнить транспонирование матрицы В, инвертирование матрицы А.

6. Найти обратную матрицу К. Найти детерминант матрицы А.

Таблица 2.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 2

Продолжение табл. 2.1

Пример

Выполнить действия с матрицами, создав их из заданных коэффициентов a=1, b=2, c= 3, m=4, k=5, n=6. Матрицы имеют следующий вид:

1. Создать матрицы.

1.1. Выбрать панель управления Matrіx (Матрица).

1.2. Определить число строк и столбцов для каждой матрицы (рис.21).

Рисунок 21 — Диалоговое окно для определения размера матрицы

1.3. Матрицы в примере имеют такие размеры: А — (3´3), В — (3´2), С(2´2), М(1´2), К(3´3).

1.4. Заполнить матрицы соответствующими параметрами (рис. 29).

2 Выполнить следующие действия с матрицами:

1) А+n·K; 2)A·B; 3) A 2 ; 4) A·D; 5)D·M; 6) D-1.

3 Найти ранг матрицы А (ранг матрицы -наибольший порядок минора этой матрицы, который отличный от нуля): rank(A).

4 В символьном виде выполнить транспонирование матрицы В, т.е. заменить местами строки и столбцы матрицы В.

4.1 Выделить матрицу В.

4.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc / Matrіx/Transpose (рис. 28).

5 В символьном виде выполнить инвертирование матрицы А (т.е. найти матрицу, которая будет обратной к матрице А) .

5.1 Выделить матрицу A.

5.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc/Matrіx/Іnvert (рис.28).

6 В символьном виде найти обратную матрицу К.

6.1 Выделить матрицу К.

6.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc / Matrіx/Іnvert (рис.28).

7 В символьном виде найти детерминант (определитель) матрицы А.

7.1 Выделить матрицу A.

7.2 Обратиться в главном меню к команде Symbolіc/Matrіx/Determіnant (рис.22).

Рисунок 22 – Меню Symbolic для работы с матрицами в символьном виде

Рисунок 23 – Результаты вычисления матриц

Контрольные вопросы

1 Як можно создать матрицу и вектор?

2 Какие действия выполняются с матрицами?

3 Как определяются элементы матрицы?

Лабораторная работа №4
Нахождение решений системы линейных уравнений в MathCad

Цель работы:нахождение решений системы линейных уравнений в программе MathCad .

Указания к выполнению лабораторной работы:

I Найти решение системы линейных уравнений с использованием функции soln.

1 Запустить программу MathCad.

2 Создать матрицу А из коэффициентов при неизвестных.

3 Создать вектор b из свободных членов.

4 Обратиться к встроенной программе решения линейных уравнений soln и записать soln₁:=А -1 ×b.

5 Получить решение линейного уравнения у векторному виде

.

IIНайти решение системы линейных уравнений с использованием так званого «блоку решений».

1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении.

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели управления Evaluation (Выражения).

4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.

IIIНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции lsolve.

1Создать матрицу А из коэффициентов при неизвестных.

2 Создать вектор b из свободных членов.

4 Обратиться к встроенной программе решения линейных уравнений lsolve и записать lsolve(А,b).

5 Получить результат решения линейного уравнения в векторном виде

.

IVНайти приближенное решение с использованием функции minerr(x1,…).

1 Задать приближение последовательно для значений переменной х1, х2,… хn.

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать систему уравнений, используя знак логического равенства между правой и левой частями каждого уравнения.

4 Обратиться к функции minerr( x1,x2. ). Значения неизвестных будут найдены.

Таблица 3.1 – Варианты заданий к лабораторной работе № 3

Пример

I Найти решение системы уравнений с использованием функции soln

1 Создать матрицу А

А:= .

2 Создать вектор b

b:= .

3 Найти решение системы, используя функцию soln

.

4 Результат решения

II Найти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием так званого «блоку решений»

1 Задать начальные значения переменным, которые присутствуют в уравнении

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения из панели управления Evaluation (Выражения).

4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.

5 Результат решения

IIIНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции lsolve.

1 Создать матрицу А

.

2 Создать вектор b

.

3 Найти решение системы, используя функцию lsolve:

IVНайти решение вышеприведенной системы уравнений с использованием функции minerr (x,у,z).

1 Задать начальные условия для неизвестных, например, x=1,у=1,z=1.

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели.

4 Обратиться к функции minerr (x,у,z). Решение системы уравнений будет найдено.

Контрольные вопросы

1 Какие встроенные функции позволяют найти решение системы линейных уравнений?

2 В каком виде представляются результаты решения системы линейных уравнений?

Лабораторная работа №5
Нахождение решений системы нелинейных уравнений в MathCad

Цель работы: нахождение решений системы нелинейных уравнений в программе MathCad .

Указания к выполнению лабораторной работы:

І Найти решение системы нелинейных уравнений с использованием так называемого «блока решений».

1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении.

2 Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.

3 Записать уравнение, используя знак логического равенства между правой и левой частями уравнения из панели управления.

4 Ввести ключевое слово fіnd (найти), которым заканчивается блок решений.

ІІ. Найти приближенное решение с использованием функции mіnerr(x1. ).

1 Задать приближение последовательно для значений переменной х1, х2. хn.

2 Ввести ключевое слово gіven (дано), из которого начинается блок решений.

3 Записать систему уравнений, используя знак логического равенства между правой и левой частями каждого уравнения.

4 Обратиться к функции mіnerr( x1,x2. ). Значение неизвестных будет найдено.

Таблица 4.1 – Варианты задания к лабораторной работе №4

№ варианта	Система уравнений	№ варианта	Система уравнений

Пример

Найти решение системы нелинейных уравнений с использованием так называемого «блока решений».

1 Задать начальные значения переменным, которые есть в уравнении

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать уравнения, используя знак логического равенства между правой и левой частью уравнения из панели управления

4 Ввести ключевое слово find (найти), которым заканчивается блок решений.

5 Результат решения

IIНайти приближенное решение с использованием функции minerr(x1,…).

1 Задать приближения последовательно для значений переменной х=1, y=1.

2 Ввести ключевое слово given (дано), с которого начинается блок решений.

3 Записать систему уравнений, используя знак логического равенства между правой и лево частью каждого уравнения.

4 Обратится к функции minerr( x,y.). Значение неизвестных будет найдено.

.

Контрольные вопросы

1 Какие встроенные функции позволяют найти решение системы нелинейных уравнений?

2 В каком виде представляются результаты решения системы нелинейных уравнений?

3 Нужно ли задавать начальные приближения при решении системы нелинейных уравнений?

Лабораторная работа № 6
Символьные действия математического анализа в MathCad

Цель работы:определение неопределенных и определенных интегралов и производных в программе MathCad с использованием символьных операций.

Указания к выполнению лабораторной работы:

1 Запустить программу MathCad.

2 Записать на рабочем листе в соответствии с номером варианта формулы для определения неопределенных интегралов, определенных интегралов, производных первого порядка. От производных первого порядка определить производные второго, третьего порядков.

3 Применить последовательно к каждой функции команды меню Symbolic/Simplify, отметив последовательно каждую из функций.

Таблица 5.1 – Варианты задания к лабораторной работе №5

Номер варианта	Неопределенные интегралы	Определенные интегралы	Производные

Продолжение табл. 5.1

Продолжение табл. 5.1

Примеры

1 Найти неопределенный интеграл .

Результат :

2 Найти определенный интеграл .

Результат .

3 Найти производные первого порядка .

Результат .

4 Найти производные высокого порядка .

Результат

Контрольные вопросы

1 Как найти в символьном виде определенные и неопределенные интегралы?

2 Можно ли применять символьные операции к интегралам по области, к трехмерным интегралам, к контурным интегралам?

3 Можно ли в символьному виде найти производные высоких порядков?

Не нашли то, что искали? Google вам в помощь!

Найти корни уравнения маткад прайм

Глава 4. Решение уравнений

4.1 Функция root

Функция root используется для решения одного уравнения с одним неизвестным. Перед началом решения желательно построить график функции, чтобы проверить, есть ли корни, то есть пересекает ли график ось абсцисс. Начальное приближение лучше всего выбрать по графику поближе к корню, так как итерационные методы весьма чувствительны к выбору начального приближения.

Обращение к функции осуществляется следующим образом:

root ( f ( x ), x ), где f ( x ) – выражение, равное нулю; x – аргумент, варьируя который, система ищет значение, обращающее в нуль ( рис. 4.1 ).

Уравнение

начальное приближение

решение

или

другие корни

Задан интервал поиска корней

Рис. 4. 1 Использование функции root

Функция f ( x ) и аргумент x должны быть скалярами, то есть результат вычисления функции – число, а не вектор или матрица. Функция root использует метод секущих. Корень уравнения – ближайшее к начальному приближению значение x , обращающее функцию f ( x ) в нуль. Если корней несколько, то для отыскания каждого корня необходимо задавать свое начальное приближение.

Mathcad позволяет вместо начального приближения задавать диапазон значений аргумента, в котором лежит значение искомого корня. В этом случае обращение к функции root должно иметь четыре параметра:

root ( f ( x ), x , а, b ),

где a и b – границы интервала, в котором лежит один корень уравнения. Внутри интервала не должно быть больше одного корня, так как Mathcad выводит на экран лишь один корень, лежащий внутри интервала.

Значение функции на границах интервала должно быть разного знака, иначе, возможно, корень не будет найден.

Если уравнение не имеет действительных корней, то есть на графике функция f ( x ) нигде не равна нулю, то для вывода комплексных корней надо ввести начальное приближение в комплексной форме (рис. 4.2) .

Если функция имеет мнимый корень,

то начальное приближение задается комплексным числом

— начальное приближение

Рис. 4. 2 Решение уравнения с комплексными корнями

Для ввода мнимой единицы надо ввести с клавиатуры 1 i или 1 j .

Если уравнение имеет несколько корней, то для их нахождения можно использовать разложение функции f ( x ) на простые множители:

где x _1, x ₂ , , x_n – корни уравнения. Начальное приближение можно задать только для первого корня. В качестве функции f ( x ) нужно взять

,

где ,

и т. д. (рис. 4.3)

у этой функции 3 корня

диапазон значений х для вывода графика

Рис. 4. 3 Определение трех корней уравнения

Если функция f ( x ) имеет малый наклон вблизи искомого корня, то функция root ( f ( x ), x ) может сходиться к значению, довольно далеко отстоящему от корня. В таком случае для уточнения корня необходимо уменьшить значение погрешности вычислений, задаваемое встроенной переменной TOL . Для этого:

1) в стандартном меню Mathcad выберите команду Tools → Worksheet Options → Built – In Variables (Инструменты → Параметры документов → Встроенные переменные);

2) в открывшемся окне поменяйте значение Convergence Tolerance ( TOL ) (Погрешность сходимости).

Чем меньше константа TOL , тем ближе к нулю будет значение функции при найденном корне уравнения, но тем больше будет время вычисления корня.

Для повышения точности расчета корня можно заменить f ( x ) на

.

Корень можно найти и по графику, увеличив масштаб. Для этого необходимо:

1) выделить график, щелкнув левой кнопкой мыши внутри графика;

2)в главном меню Mathcad выбрать команду Format → Graph → Zoom (Формат→График→Масштаб);

3) при нажатии левой кнопки мыши обвести пунктирной линией область графика вблизи искомого корня, которую надо увеличить;

4) в открытом окне X – Y Zoom (Масштаб по осям X – Y ) нажать кнопку Zoom .

Прямо с графика можно передать в буфер обмена численное значение корня. Для этого выполните следующие действия:

1) Выделите график, щелкнув левой кнопкой мыши внутри графика,

2) в главном меню Mathcad выберите команду Format → Graph → Trace (Формат→График→Трассировка),

3) щелкните левой кнопкой мыши внутри графика – появится перекрестье осей,

4) двигая мышь при нажатой левой кнопке, установите перекрестье на пересечении графика с осью абсцисс. При этом численные значения координат перекрестья появляются в открытом окне X – Y Trace (Трассировка X и Y ).

5) правильно выбрав положение перекрестья, нажмите кнопки Copy X и Copy Y – численные значения будут помещены в буфер

6) вне поля графика запишите имя, которое хотите дать корню, и оператор присваивания :=. Нажмите кнопку Paste (Вставить) в стандартном меню Mathcad или в контекстном меню, открывающемся при нажатии правой кнопки мыши.

Рис. 4. 4 Определение корня уравнения по графику

В окне X – Y Trace есть пункт Track Data Points (Отмечать расчетные точки). Если установить этот флажок, при перемещении мыши пунктирное перекрестье на графике будет перемещаться скачками, отмечая расчетные значения функции. Если флажок снять, движение перекрестья становится плавным.

При работе с Mathcad постоянно пользуйтесь правой кнопкой мыши (в контекстном меню каждый раз появляются новые, наиболее нужные в данный момент функции). Щелкните правой кнопкой мыши на графике: в открывшемся контекстном меню есть пункты Zoom и Trace .