Задание №7 ЕГЭ по математике базового уровня
Простейшие уравнения
В задании №7 базового уровня ЕГЭ по математике необходимо решить
Простейшие (Protozoa) — тип одноклеточных животных.
Разбор типовых вариантов заданий №7 ЕГЭ по математике базового уровня
Вариант 7МБ1
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Алгоритм выполнения
- Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
- Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
- Преобразовать левую часть.
- Преобразовать правую часть.
- Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.
Решение:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.
(x + 3) 2 = x 2 + 2 · x · 3 + 3 2 = x 2 + 6x + 9
Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.
(x – 9) 2 = x 2 – 2 · x · 9 + 9 2 = x 2 – 18x + 81
После преобразования выражение примет
Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.
x 2 + 6x + 9 = x 2 – 18x + 81
Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую. При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.
x 2 + 6x – x 2 + 18x = 81 – 9
Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x 2 и x.
x 2 + 6x – x 2 + 18x = (x 2 – x 2 ) + (6x +18x) = 0 + 24x = 24x
Выражение примет вид:
Преобразуем правую часть. 81 – 9 = 72
Выражение примет вид:
Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.
Решение в общем виде:
Вариант 7МБ2
Алгоритм выполнения
- Раскрыть скобки с левой и с правой стороны равенства, применив формулы приведения.
- Все, выражения, содержащие переменную перенести в левую часть, а не содержащие в правую.
- Преобразовать левую часть.
- Преобразовать правую часть.
- Решить уравнение относительно x, то есть найти неизвестный множитель.
Решение:
Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.
(x + 2) 2 = x 2 + 2 · x · 2 + 2 2 = x 2 + 4x + 4
Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.
(x – 8) 2 = x 2 – 2 · x · 8 + 8 2 = x 2 – 16x + 64
После преобразования выражение примет вид:
x 2 + 4x + 4 = x 2 – 16x + 64
Все выражения, содержащие переменную перенесем в левую часть, а не содержащие – в правую. При переносе из одной части равенства в другую знак меняется на противоположный.
x 2 + 4x – x 2 + 16x = 64 – 4
Преобразуем левую часть. Приведем подобные слагаемые. Объединим в скобки, сохранив знаки, те выражения, где содержится x 2 и x.
x 2 + 4x – x 2 + 16x = (x 2 – x 2 ) + (4x +16x) = 0 + 20x = 20x
Выражение примет вид:
Преобразуем правую часть. 64 – 4 = 60
Выражение примет вид:
Решим уравнение относительно x, то есть найдем неизвестный множитель. Для того чтобы найти неизвестный множитель нужно произведение разделить на известный множитель.
Решение в общем виде:
Вариант 7МБ3
Алгоритм выполнения
- Перенести вычитаемое в правую сторону равенства с противоположным знаком.
- Преобразовать правую часть с учетом свойства: logax + logay = loga (x · y).
- Приравнять логарифмические выражения. Можно так поступить, так как основания логарифмов в левой и правой части одинаковы.
- Решить уравнение относительно x.
Решение:
Вариант 7МБ4
Найдите корень уравнения 3 x− 3 = 81.
Алгоритм выполнения
- Привести выражения в степенях к одинаковому основанию. В данном случае – это 3. Теперь необходимо вспомнить, какой степенью тройки является 81.
- Когда основания равны, можно приравнять значения степеней
Если вы забыли, то для этого необходимо делить 81 на 3 до тех пор, пока не получим 3. Чтобы получить три из 81, нам нужно поделить 81 на 3 три раза: при первом делении мы получим 27, при втором – 9, при третьем – три.
Значит, 81 это три в четвертой степени. Запишем это:
Решение:
Ответ: 7
Вариант 7МБ5
Найдите корень уравнения log2( x − 3) = 6 .
Алгоритм выполнения
- Логарифм по основанию два показывает нам число, в степень которого нам необходимо возвести основание, то есть двойку, чтобы получить число под логарифмом.
Решение:
Вариант 7МБ6
Найдите отрицательный корень уравнения x 2 − x − 6 = 0.
Алгоритм выполнения
- Вычислить дискриминант
- Найти корни
- Выбрать необходимый корень
Решение:
D = -(1) 2 − 4 • 1 • (-6) = 25
Так как нам необходим отрицательный корень – ответ -2
Вариант 7МБ7
Решите уравнение х 2 = –2х + 24.
Если уравнение имеет больше одного
Корень — осевой, обычно подземный вегетативный орган высших сосудистых растений, обладающий неограниченным ростом в длину и положительным геотропизмом. Корень осуществляет закрепление растения в почве и обеспечивает поглощение и проведение воды с растворёнными минеральными веществами к стеблю и листьям.
Алгоритм выполнения
- Переносим влево часть ур-ния, стоящую справа от знака «=». Получаем кв.уравнение стандартного вида.
- Поскольку уравнение является приведенным, используем для нахождения корней т.Виета.
- Записываем в качестве ответа большее из полученных 2 чисел.
Решение:
Поскольку требуется указать больший из корней, то ответом будет 4.
Вариант 7МБ8
Найдите корни уравнения 4 х–6 = 64.
Алгоритм выполнения
- Представляем 64 как степень с основанием 4, т.е. приводим выражения справа и слева к степеням с одинаковым основанием.
- Опускаем одинаковые основания и переходим к равенству показателей. Ур-ние стало простейшим линейным.
- Находим корень ур-ния.
Решение:
Вариант 7МБ9
Найдите корень уравнения log3 (2x – 5) = 2.
Алгоритм выполнения
- Преобразуем часть уравнения справа от знака «=», используя св-ва логарифмов logxx=1 и logxy n =nlogxy.
- Переходим от равенства логарифмов к равенству выражений, стоящих под их знаками.
- Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:
Вариант 7МБ10
Найдите корень уравнения
Алгоритм выполнения
- Преобразовываем обе части ур-ния: приводим их к степеням с основанием 3. Для этого используем св-во степеней (1/а) х =а –х .
- Поскольку основания степеней слева и справа в ур-нии теперь одинаковы, то можем их опустить и приравнять показатели.
- Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:
Вариант 7МБ11
Найдите корень уравнения (х – 8) 2 = (х – 2) 2 .
Алгоритм выполнения
- Раскрываем скобки слева и справа, используя ф-
Луб — это сложная проводящая ткань, по которой продукты фотосинтеза (органические вещества) транспортируются из листьев ко всем органам растения (к корневищам, плодам, семенам и т. д.).
Решение:
х 2 – 2 · х ·8 + 8 2 = х 2 – 2 · х · 2 + 2 2
Вариант 7МБ12
Найдите корень уравнения
Алгоритм выполнения
- Преобразовываем обе части ур-ния так, чтобы привести их к степеням с одинаковым основанием 7. Для выражения слева применяем св-во степеней (1/а) х =а –х .
- Применяем св-во показат.уравнений: если степени с одинаковыми основаниями равны, то равны и их показатели. Отсюда переходим к линейному ур-нию.
- Решаем его.
Решение:
Вариант 7МБ13
Решите уравнение х 2 – 25 = 0
Алгоритм выполнения
- Переносим 25 в правую часть ур-ния.
- Выражаем из ур-ния х путем извлечения корня из 25.
- Определяем корни, сравниваем их, определяем больший.
Решение:
Для ответа берем 5.
Вариант 7МБ14
Найдите корень уравнения
Алгоритм выполнения
- Применим св-во логарифмических равенств: если логарифмы с одинаковыми основания равны, то равны и их подлогарифменные выражения. В результате получаем равенство из выражений, стоящих под знаком логарифма.
- Решаем полученное линейное ур-ние.
Решение:
Вариант 7МБ15
Найдите корень уравнения
Алгоритм выполнения
- Приводим обе части ур-ния к степеням с основанием 2. При этом для преобразования выражения слева используем св-во степеней (1/а) х =а –х .
- Получив слева и справа степени с одинаковым основанием, опускаем это основание и приравниваем показатели этих степеней. Получаем линейное ур-ние.
- Решаем его.
Решение:
Вариант 7МБ16
Найдите корень уравнения
Найдите корень уравнения — Задание 5 ЕГЭ
Сегодня мы будем тренировать навык решения задания 5 ЕГЭ — найдите корень уравнения. Будем искать корень уравнения. Рассмотрим примеры решения такого рода заданий. Но для начала, давайте вспомним — что значит — найти корень уравнения?
Это значит найти такое, зашифрованное под х число, которое мы подставим вместо x и наше уравнение будет верным равенством.
Например, 3x=9 — это уравнение, а 3 . 3=9 — это уже верное равенство. То есть в данном случае, мы вместо x подставили число 3 — получили верное выражение или равенство, это означает, что мы решили уравнение, то есть нашли данное число x=3, которое превращает уравнение в верное равенство.
Вот этим мы и займемся — будем находить корень уравнения.
Задание 1 — найдите корень уравнения 2 1-4x =32
Это показательное уравнение. Оно решается следующим образом — нужно чтобы и слева, и справа от знака «равно» была степень с одинаковым основанием.
Слева у нас основание степени 2, а справа — степени нет вовсе. Но мы знаем, что 32 — это 2 в пятой степени. То есть, 32=2 5
Таким образом, наше уравнение будет выглядеть так: 2 1-4х =2 5
Слева и справа у нас основания степени одинаковы, значит, чтобы у нас было равенство, должны быть равны и показатели степени:
Получаем обыкновенное уравнение. Решаем обычным способом — все неизвестные оставляем слева, а известные переносим вправо, получим:
Делаем проверку: 2 1-4(-1) =32
Мы нашли корень уравнение. Ответ: х=-1.
Самостоятельно найдите корень уравнения в следующих заданиях:
Задание 2 — найдите корень уравнения 2 5-x = 1/16
Уравнение решаем аналогично — путем приведения левой и правой частей уравнения к одному основанию степени. В нашем случае — к основанию степени 2.
Используем следующее свойство степени:
По этому свойству мы получим для правой части нашего уравнения:
Тогда наше уравнение запишется в виде:
Если равны основания степени, значит, равны и показатели степени:
Сделаем проверку — подставим найденное значение х в исходное уравнение — если мы получим верное равенство, значит, мы решили уравнение правильно.
Мы нашли корень уравнения правильно.
Задание 3 — найдите корень уравнения
Заметим, что справа у нас стоит 1/8, а 1/8 — это
Тогда наше уравнение запишется в виде:
Если основания степени равны, значит, равны и показатели степени, получим простое уравнение:
Ответ: х=5. Проверку сделайте самостоятельно.
Задание 4 — найдите корень уравнения log3(15-х)=log32
Это уравнение решается также как и показательное. Нам нужно, чтобы основания логарифмов слева и справа от знака «равно» были одинаковыми. Сейчас они одинаковы, значит, приравниваем те выражения, которые стоят под знаком логарифмов:
Задание 5 — найдите корень уравнения log3(3-x)=3
Число 3 — это log327. Чтобы было понятно внизу нижним индексом под знаком логарифма стоит число которое возводится в степень, в нашем случае 3, под знаком логарифма стоит число, которое получилось при возведении в степень — это 27, а сам логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.
Смотрите на картинке:
Таким образом, любое число можно записать в виде логарифма. В данном случае очень удобно записать число 3 в виде логарифма с основанием 3. Получим:
Основания логарифмов равны, значит, равны и числа, стоящие под знаком логарифма:
Задания по теме «Простейшие уравнения»
Открытый банк заданий по теме простейшие уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)
Задание №887
Условие
Найдите корень уравнения 5^<\log_<25>(10x-8)>=8.
Решение
Найдем ОДЗ: 10x-8>0.
10x-8=64, значит, условие 10x-8>0 выполняется.
Ответ
Задание №886
Условие
Найдите корни уравнения \cos\frac<\pi(x+5)><6>=0,5. В ответе напишите наибольший отрицательный корень.
Решение
а) \frac<\pi(x+5)><6>=\frac<\pi><3>+2\pi k, \frac
Наибольший отрицательный корень данного вида x=-3.
б) \frac<\pi(x+5)><6>=-\frac<\pi><3>+2\pi k , \frac
Наибольший отрицательный корень данного вида x=-7.
Значит, наибольший отрицательный корень уравнения x=-3.
http://repetitor-mathematics.ru/naydite-koren-uravneniya-zadanie-5-ege/
http://academyege.ru/theme/prostejshie-uravneniya.html