Найти линейную скорость и тангенциальное уравнение

Движение материальной точки по окружности. Центростремительное ускорение.

Линейная и угловая скорости

Движение по окружности нас окружает постоянно – это может быть мотоциклист на мототреке, вращение грузика на веревке, движение по выгнутому круглому мосту, любой поворот на дороге тоже можно рассматривать, как движение по части окружности и т.д.

Давайте представим, что мы смотрим сверху на мототрек (см. рис.1.). Пусть точка \(А\) это мотоциклист, который движется с постоянной линейной скоростью \(\vec\), и за какое-то время \(t\) он переместится по дуге окружности \(^<’>\) в точку \(^<’>\). Его пройденный путь будет равен длине дуги окружности \(^<’>\).

Определение Линейная скорость – это путь, который проходит мотоциклист за единицу времени (например, за секунду):

Понятно, что чем больший путь (большую длину дуги) успевает пройти тело за одно и тоже время, тем быстрее оно движется, тем больше его линейная скорость. Линейная скорость — это обычная скорость, к которой мы все привыкли. Обратите внимание, что вектор линейной скорости всегда направлен по касательной к траектории, в нашем случае – по касательной к окружности. Чуть позже нам это пригодится.

И так, при движении по окружности можно двумя способами измерять скорость – при помощи линейной скорости (какое расстояние проходит тело за единицу времени) и при помощи угловой скорости (на какой угол поворачивается тело за единицу времени). Эти скорости, очевидно, должны быть связаны между собой.

Но прежде чем, вывести это соотношение, представьте, что отрезок \(AO\) вращается по окружности (см.Рис.1.) и за время \(t\) переходит в отрезок \(^<’>O\) — точка \(A\) переходит в точку \(^<’>\), а точка \(B\) – в точку \(^<’>\).

При этом точка \(A\) проходит за время \(t\) расстояние равное длине дуги окружности \(^<’>\), а точка \(B\) за тоже самое время (ведь обе точки лежат все время на одной прямой) расстояние \(^<’>\).

А на какой угол успевают повернуться точки \(A\) и \(B\) за одно и тоже время \(t\)?

Из рисунка 1 видно, что они обе поворачиваются на один и тот же угол \(\Delta\varphi\). А так как угловая скорость по определению, это отношение угла ко времени, то угловые скорости точек \(A\) и \(B\) одинаковые.

И так, что мы имеем – оказывается, что при удалении линейная скорость растет, а угловая скорость при этом не меняется. Тогда логичной выглядит следующая формула, связывающая угловую и линейную скорости:

где \(V\) – линейная скорость,

\(\omega\) – угловая скорость,

\(R\) – радиус вращения.

Период и частота вращения

Важными характеристиками любого вращательного движения являются частота и период:

Определение Период – время, за которое тело совершает полный оборот.

В нашем примере с мотоциклистом, период – это время, за которое мотоциклист проезжает один полный круг.

Из курса геометрии вспоминаем, что длину дуги окружности можно посчитать как \(2*\pi*R\), где \(R\) – радиус окружности. Тогда в случае равномерного движения период можно посчитать по формуле, как расстояние деленое на скорость: $$T=\frac<2*\pi*R>;$$ Подставив сюда формулу \((1)\) для линейной скорости через угловую: $$T=\frac<2*\pi><\omega>;$$ Где \(V\) –линейная скорость вращения.

В системе СИ период измеряется в \([^<-1>]\).

Определение Частота – количество оборотов за единицу времени.

В случае с мотоциклистом, частота – это сколько кругов он успевает проехать, например, за один час. Обычно частоту измеряют в оборотах в секунду.

Период и частота вращения связаны между собой выражением: $$T=\frac<1><\nu>;$$ Отсюда можно получить формулы для частоты, подставив период: $$\nu=\frac<2*\pi*R>=\frac<\omega><2*\pi>;$$

Скорость точки, находящейся на краю вращающегося диска равна \(V_A=15(м/с)\), а точки, расположенной на 0,2 (м) ближе к центру вращения равна \(V_B=10(м/с)\). Найти частоту вращения и радиус диска.

Решение: Точка \(А\) находится дальше от центра на \(20 (см)\), а значит ее скорость больше, чем у точки \(В\). По условию так и есть. Так как обе точки находятся на одном радиусе, то угловые скорости у них одинаковые. Распишем угловые скорости для точек \(А\) и \(В\) и приравняем: $$\omega_A=\frac;$$ $$\omega_B=\frac;$$ $$\omega_A=\omega_B;$$ $$\frac=\frac;$$ Из условия \(A0=BO+0.2\): $$\frac=\frac;$$ $$\frac<15>=\frac<10>;$$ $$15*BO=(BO+0,2)*10;$$ $$5*BO=2;$$ $$BO=0,4.$$ Мы нашли радиус окружности по которой вращается точка \(В\), тогда радиус точки \(А\) будет на \(0,2(м)\) больше — \(0,6(м)\).

Для того, чтобы найти частоту, воспользуемся формулой: $$\nu=\frac<2*\pi*R_A>=\frac<15><2*3,14*0,6>=3,98(об/сек);$$ Ответ: \(R=0,6(м)\) и \(\nu=3,98(об/сек).\)

Центростремительное (нормальное) ускорение

Вернемся к нашему примеру с мотоциклистом, двигающимся по мототреку в форму окружности. (См. Рис.3.) Для начала, представим, что линейная скорость у мотоциклиста постоянна, то есть он двигается равномерно, а значит его ускорение должно быть равно нулю. Это действительно так, но при движении по окружности (или любой другой криволинейной траектории) даже с постоянной скоростью возникает новый вид ускорения – центростремительное, еще его называют «нормальное», ускорение. Оно появляется по причине изменения направления вектором скорости.

На самом деле, для решения задач понимать природу центростремительного ускорения совсем необязательно. Достаточно просто помнить, что при любом криволинейном движении появляется такое ускорение. Его можно вычислить по формуле: $$a_n=\frac;$$ где \(V\) –линейная скорость;

\(R\) – радиус окружности.

Подставим сюда линейную скорость через угловую — \(V=\omega*R\). И получим еще одну формулу для центростремительного ускорения: $$a_n=\omega^2*R;$$ Важно! Центростремительное ускорение всегда перпендикулярно скорости и направлено к центру окружности.

Тангенциальное ускорение

Теперь представим, что мотоциклист едет по круглому мототреку не с постоянной скоростью, а равноускорено/равнозамедлено. В этом случае говорят, говорят, что мотоциклист движется с тангенциальным ускорением.

Тангенциальное ускорение – это обычное ускорение, к которому мы привыкли в курсе кинематики. Оно показывает на сколько успевает измениться скорость за единицу времени, например, за секунду.

Тангенциальное ускорение всегда направлено по касательной к траектории. Если тело ускоряется, то оно сонаправлено с линейной скоростью, а если замедляется, то направлено в противоположную сторону. (см.Рис.3, показано синей стрелкой \(\vec>\))

При равноускоренном\равнозамедленном движении тангенциальное ускорение можно посчитать по формуле: $$a_<\tau>=\frac;$$ где \(V_к\) – конечная скорость;

\(V_н\) – начальная скорость;

\(t\) – время, за которое скорость изменилась с \(V_н\) до \(V_к\).

При любом неравномерном движение по криволинейной траектории (окружности), у тела обязательно есть два вида ускорений – нормальное, направленное к центру, перпендикулярно скорости, и тангенциальное, направленное по касательной к траектории. Нормальное ускорение отвечает за изменение направления вектора линейной скорости, а тангенциальное за изменение величины линейной скорости.

Если тело движется с постоянной скоростью, то тангенциальное ускорение равно \(0\).

Если тело движется по прямой, то нормальное ускорение равно \(0\).

Векторно сложим эти два ускорения по правилу параллелограмма, и получим вектор общего ускорения, которым обладает тело при движении по окружности. (см. Рис.3., фиолетовая стрелка \(\vec\)).

Колесо радиуса R вращается с постоянной скоростью. Во сколько раз отличаются центростремительные ускорения двух точек расположенный на расстояниях \(R/2\) и \(R/3\) от центра колеса

Решение: Так как любая точка колеса вращается с одинаковой угловой скоростью \(\omega\), то воспользуемся формулой для центростремительного ускорения через угловую скорость: $$a_n=\omega^2*r;$$ Пусть точка А вращается по окружности радиусом \(R/2\), а точка В — \(R/3\). $$a_=\omega^2*\frac<2>;$$ $$a_=\omega^2*\frac<3>;$$ $$\frac>>=\frac<\omega^2*\frac<2>><\omega^2*\frac<3>>=\frac<2>*\frac<3>=1,5$$ Ответ:\(\frac>>=1.5.\)

Понятия о скорости, тангенциальном и нормальном ускорениях. Формулы

Чтобы уметь решать различные задачи на движение тел по физике, необходимо знать определения физических величин, а также формулы, с помощью которых они связаны. В этой статье будут рассмотрены вопросы, что такое тангенциальная скорость, что такое полное ускорение и какие компоненты его составляют.

Понятие о скорости

Двумя основными величинами кинематики перемещения тел в пространстве являются скорость и ускорение. Скорость описывает быстроту перемещения, поэтому математическая форма записи для нее имеет следующий вид:

Вам будет интересно: Что такое туча? Определение

Здесь l¯ — является вектором перемещения. Иными словами, скорость — это производная по времени от пройденного пути.

Как известно, всякое тело движется по воображаемой линии, которая называется траекторией. Вектор скорости всегда направлен по касательной к этой траектории, в какой бы точке не находилось движущееся тело.

Существует несколько названий величины v¯, если рассматривать ее совместно с траекторией. Так, поскольку направлена она по касательной, то ее называют тангенциальной скоростью. Также о ней могут говорить, как о линейной физической величине в противоположность угловой скорости.

Вычисляется скорость в метрах в секунду в СИ, однако на практике часто пользуются километрами в час.

Понятие об ускорении

В отличие от скорости, которая характеризует быстроту прохождения телом траектории, ускорение — это величина, описывающая быстроту изменения скорости, что математически записывается так:

Как и скорость, ускорение — это векторная характеристика. Однако его направление не связано с вектором скорости. Оно определяется изменением направления v¯. Если в процессе движения скорость не изменяет своего вектора, тогда ускорение a¯ будет направлено вдоль той же линии, что и скорость. Такое ускорение называют тангенциальным. Если же скорость будет менять направление, сохраняя при этом абсолютное значение, то ускорение будет направлено к центру кривизны траектории. Оно называется нормальным.

Измеряется ускорение в м/с2. Например, известное всем ускорение свободного падения является тангенциальным при вертикальном подъеме или падении объекта. Его величина вблизи поверхности нашей планеты составляет 9,81 м/с2, то есть за каждую секунду падения скорость тела увеличивается на 9,81 м/с.

Причиной появления ускорения является не скорость, а сила. Если сила F оказывает действие на тело массой m, то она неминуемо создаст ускорение a, которое можно вычислить так:

Эта формула является прямым следствием из второго закона Ньютона.

Полное, нормальное и тангенциальное ускорения

Скорость и ускорение как физические величины были рассмотрены в предыдущих пунктах. Теперь мы подробнее изучим, какие компоненты составляют полное ускорение a¯.

Предположим, что тело движется со скоростью v¯ по криволинейной траектории. Тогда будет справедливо равенство:

Вектор u¯ имеет единичную длину и направлен вдоль касательной линии к траектории. Воспользовавшись таким представлением скорости v¯, получим равенство для полного ускорения:

a¯ = dv¯/dt = d(v*u¯)/dt = dv/dt*u¯ + v*du¯/dt.

Полученное в правом равенстве первое слагаемое называется тангенциальным ускорением. Скорость связана с ним тем фактом, что она количественно определяет изменение абсолютного значения величины v¯, не принимая во внимание ее направление.

Второе слагаемое — это нормальное ускорение. Оно количественно описывает изменение вектора скорости, не принимая во внимание изменение ее модуля.

Если обозначить как at и an тангенциальную и нормальную составляющие полного ускорения a, тогда модуль последнего можно вычислить по формуле:

Связь тангенциального ускорения и скорости

Соответствующую связь описывают кинематические выражения. Например, в случае движения по прямой с постоянным ускорением, которое является тангенциальным (нормальная составляющая равна нулю), справедливы выражения:

В случае движения по окружности с постоянным ускорением эти формулы так же справедливы.

Таким образом, какой бы ни была траектория перемещения тела, тангенциальное ускорение через тангенциальную скорость рассчитывается, как производная по времени от ее модуля, то есть:

Например, если скорость изменяется по закону v = 3*t3 + 4*t, тогда at будет равно:

at = dv/dt = 9*t2 + 4.

Скорость и нормальное ускорение

Запишем в явном виде формулу для нормальной компоненты an, имеем:

an¯ = v*du¯/dt = v*du¯/dl*dl/dt = v2/r*re¯

Где re¯ — единичной длины вектор, который к центру кривизны траектории направлен. Это выражение устанавливает связь тангенциальной скорости и нормального ускорения. Видим, что последнее зависит от модуля v в данный момент времени и от радиуса кривизны r.

Нормальное ускорение появляется всегда, когда изменяется вектор скорости, однако оно равно нулю, если этот вектор сохраняет направление. Говорить о величине an¯ имеет смысл только тогда, когда кривизна траектории является конечной величиной.

Выше мы отмечали, что при движении по прямой линии нормальное ускорение отсутствует. Однако в природе существует тип траектории, при движении по которой an имеет конечную величину, а at = 0 при |v¯| = const. Этой траекторией является окружность. Например, вращение с постоянной частотой металлического вала, карусели или планеты вокруг собственной оси происходит с постоянным нормальным ускорением an и нулевым тангенциальным ускорением at.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

теория по физике 🧲 кинематика

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

1. Траектория движения тела есть окружность.
2. Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
3. Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
4. Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет

Вид — группа особей, сходных по морфолого-анатомическим, физиолого-экологическим, биохимическим и генетическим признакам, занимающих естественный ареал, способных свободно скрещиваться между собой и давать плодовитое потомство.

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

• У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
• У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
• Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с 2 ). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10 3 секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10 6 . Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Записать формулу для определения искомой величины.
3. Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

• Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
• Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза б) уменьшить в 2 раза в) увеличить в 4 раза г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

1. Записать исходные данные.
2. Определить, что нужно найти.
3. Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
4. Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
5. Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Это значит, чтобы центростремительное ускорение осталось неизменным после увеличения радиуса окружности в 4 раза, частота должна уменьшиться вдвое. Верный ответ: «б».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить