Найти наименьший корень уравнения комбинированным методом

Вычисление комбинированным методом действительного корня заданного уравнения

Страницы работы

Содержание работы

Министерство образования и науки Украины

Национальный аэрокосмический университет им.Н.Е.Жуковского

Отчёт по лабораторной работе №3

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений комбинированным методом

Цель: вычислить комбинированным методом с точностью до действительный корень заданного уравнения.

1. Графически найти интервал изоляции корня для заданного уравнения

2. Нахождение корня уравнения методом хорд:

— интервал изоляции корня уравнения

Неподвижной является точка, в которой знак функции и второй производной совпадает.

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

3. Нахождение корня уравнения методом Ньютона (метод касательных):

— интервал изоляции корня уравнения

Неподвижной является точка, в которой знак функции и второй производной совпадает.

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

4. Нахождение корня уравнения модифицированным методом Ньютона:

— интервал изоляции корня уравнения

Неподвижной является точка, в которой знак функции и второй производной совпадает.

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

5. Нахождение корня уравнения методом секущих:

Если итерации и достаточно близки друг к другу то, производная

в алгоритме Ньютона можно заменить её приближённым значением в виде отношения:

Для использования этого метода необходимо знать два начальных приближения и .

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

6. Нахождение корня уравнения комбинированным методом:

— интервал изоляции корня уравнения

Вычисления до заданной точности проводятся, пока не выполнится неравенство:

Электронная библиотека

Метод Ньютона называют также методом касательных. Комбинируя метод хорд и метод Ньютона, можно построить метод отыскания вещественных корней уравнения f(x) = 0, в котором при прежних предположениях относительно f(x) на каждом шаге итерационного процесса мы получаем два приближения к корню и , причем где с –точное значение корня.

1. Условия на применение метода те же, что и в методе Ньютона.

Пусть известен отрезок [a, b], который содержит один корень уравнения: f(x) = 0. Функция f(x) является дважды непрерывно дифференцируемой на [a, b] (f(x) Î C 2 [a, b]). Функция f принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков (f(a)×f(b) 0, то слева применяем метод Ньютона, а справа метод хорд.

· если f(b)×f ¢¢(x) > 0, то слева применяем метод хорд, а справа метод Ньютона (метод касательных).

В качестве точек начального приближения выбираются: x₀ = a, .

4. Условие остановки итерационного процесса: , при выполнении этого условия любая точка из отрезка [ ] приближает корень уравнения с точностью e.

Чаще всего принимают: .

На рис. 2.8. иллюстрируется применение комбинированного ме­тода хорд и касательных. В рас­сматриваемом случае справа при­меняется метод Ньютона, а слева – метод хорд.

Рис. 2.8. Геометрический смысл комбинированного метода хорд и касательных

Построить алгоритм для уточнения корня уравнения x 3 + 3x – 1 = 0 комбинированным методом хорд и касательных с точностью e на отрезке [0.1, 1].

1. В предыдущих примерах мы проверили, что отрезок [0.1, 1] содержит один корень уравнения, и выполняются все условия для применения метода Ньютона:

2. Определим, какой из методов нужно применять слева, а какой справа:

Следовательно, слева применяем метод хорд, а справа – метод касательных (Ньютона). Запишем формулы:

3. Точки начального приближения:

4. Условие остановки итерационного процесса:

При выполнении условия остановки итерационного процесса х_* является приближенным значением корня уравнения, полученным комбинированным методом хорд и касательных с точностью e.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00