Примеры по дифференциальным уравнениям в частных производных
Немного теории
Дифференциальным уравнением с частными производными (ДУ с ЧП) называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных (ФНП) и ее частных производных. Наивысший порядок частных производных (существенно входящих в уравнение) называется порядком этого уравнения.
ДУ с ЧП называется линейным (ЛДУ с ЧП), если неизвестная функция и ее производные входят в это ДУ линейно (в первой степени).
В этом разделе вы найдете подробно решенные задачи по темам: классификация и приведение к каноническому виду ДУ с ЧП второго порядка с двумя переменными, определение типа уравнения, решение уравнений и систем ДУ в ЧП.
ДУ с ЧП находят широкое применение в прикладных науках: квантовая механика, электродинамика, термодинамика, теория теплои массопереноса и др. при математическом описании и моделировании различных физических процессов. Поэтому такие уравнения изучаются под общим названием уравнений математической физики (примеры решений 16 задач).
Приведение к каноническому виду
Задача 1. Привести к каноническому виду уравнение
Задача 2. Привести уравнение к каноническому виду.
Задача 3. Найти общее решение уравнения, приведя его к каноническому виду:
Решение ДУ в ЧП
Задача 4. Решить уравнение Пфаффа
$$ z^2 dx +zdy +(3zx +2y)dz=0. $$
Задача 5. Решить задачу Коши для уравнения в частных производных
$$ u_-2\Delta u =(x^2+y^2+z^2)t; \quad u(t=0)=xyz, u_t(t=0)=x-y. $$
Задача 6. Найти общее решение уравнения в частных производных
Задача 7. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка.
$$ xy u_x +(x-2u)u_y = yu. $$
Задача 8. Найти решение задачи Коши для уравнения в частных производных
$$ y u_x -xy u_y=2xu, \quad u(x+y=2)=1/y. $$
Задача 9. Решить систему дифференциальных уравнений в частных производных
Разные задачи на исследование ДУ в ЧП
Задача 10. Найти поверхность, удовлетворяющую данному уравнению и проходящую через данную линию
Задача 11. Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от $l$, где $l$ – числовой параметр.
Задача 12. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса $R$ c центром в начале координат и такую, что
Помощь с решением ДУ в ЧП
Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.
Уравнение нелинейной регрессии
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Уравнение множественной регрессии
Виды нелинейной регрессии
Вид | Класс нелинейных моделей |
| Нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам |
| Нелинейные по оцениваемым параметрам |
Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение), отражающая влияние всех неучтенных факторов.
Уравнению регрессии первого порядка - это уравнение парной линейной регрессии.
Уравнение регрессии второго порядка это полиномальное уравнение регрессии второго порядка: y = a + bx + cx 2 .
Уравнение регрессии третьего порядка соответственно полиномальное уравнение регрессии третьего порядка: y = a + bx + cx 2 + dx 3 .
Чтобы привести нелинейные зависимости к линейной используют методы линеаризации (см. метод выравнивания):
- Замена переменных.
- Логарифмирование обеих частей уравнения.
- Комбинированный.
y = f(x) | Преобразование | Метод линеаризации |
y = b x a | Y = ln(y); X = ln(x) | Логарифмирование |
y = b e ax | Y = ln(y); X = x | Комбинированный |
y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | Замена переменных |
y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | Замена переменных. Пример |
y = aln(x)+b | Y = y; X = ln(x) | Комбинированный |
y = a + bx + cx 2 | x1 = x; x2 = x 2 | Замена переменных |
y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x1 = x; x2 = x 2 ; x3 = x 3 | Замена переменных |
y = a + b/x | x1 = 1/x | Замена переменных |
y = a + sqrt(x)b | x1 = sqrt(x) | Замена переменных |
Пример . По данным, взятым из соответствующей таблицы, выполнить следующие действия:
- Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.
- Рассчитать параметры уравнений линейной, степенной, экспоненциальной, полулогарифмической, обратной, гиперболической парной регрессии.
- Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.
- Дать с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.
- Оценить с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.
- Оценить с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп. 4, 5 и данном пункте, выбрать лучшее уравнение регрессии и дать его обоснование.
- Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 15% от его среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости α=0,05 .
- Оценить полученные результаты, выводы оформить в аналитической записке.
Год | Фактическое конечное потребление домашних хозяйств (в текущих ценах), млрд. руб. (1995 г. - трлн. руб.), y | Среднедушевые денежные доходы населения (в месяц), руб. (1995 г. - тыс. руб.), х |
1995 | 872 | 515,9 |
2000 | 3813 | 2281,1 |
2001 | 5014 | 3062 |
2002 | 6400 | 3947,2 |
2003 | 7708 | 5170,4 |
2004 | 9848 | 6410,3 |
2005 | 12455 | 8111,9 |
2006 | 15284 | 10196 |
2007 | 18928 | 12602,7 |
2008 | 23695 | 14940,6 |
2009 | 25151 | 16856,9 |
Решение. В калькуляторе последовательно выбираем виды нелинейной регрессии. Получим таблицу следующего вида.
Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e bx
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + bx
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.000162, a = 7.8132
Уравнение регрессии: y = e 7.81321500 e 0.000162x = 2473.06858e 0.000162x
Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x b
После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x)
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.9626, a = 0.7714
Уравнение регрессии: y = e 0.77143204 x 0.9626 = 2.16286x 0.9626
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
После линеаризации получим: y=bx + a
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 21089190.1984, a = 4585.5706
Эмпирическое уравнение регрессии: y = 21089190.1984 / x + 4585.5706
Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Эмпирические коэффициенты регрессии: b = 7142.4505, a = -49694.9535
Уравнение регрессии: y = 7142.4505 ln(x) - 49694.9535
http://math.semestr.ru/corel/noncorel.php