VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Применения операционного исчисления
Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами
Пример 1.
Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin
Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin
Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: \begin . \end Пример 2. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin Запишем операторное уравнение: \begin Пример 3. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Пример 4. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Решаем полученное уравение: \begin . \end Пример 5. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin Запишем изображения: \begin , \,\, 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1> . \end Операторная система уравнений принимает вид: \begin , \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1> .\\ \end Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin \risingdotseq x(t)=-4+5e^<2t>. \end \risingdotseq y(t)=\displaystyle\frac34-\displaystyle\frac52\,e^<2t>+\displaystyle\frac74\,e^<4t>. \end Пример 6. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \begin . &\\ \end Операторная система уравнений принимает вид: \begin .\\ \end Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin \risingdotseq x(t)=\frac49-\frac43\,t+\frac59\,e^<6t>. \end \risingdotseq y(t)=-\displaystyle\frac<5><18>+\displaystyle\frac13\,t+\displaystyle\frac<5><18>\,e^<6t>. \end Пример 7. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin Операторная система уравнений принимает вид: \begin , \\ X(p)+(p+2)Y(p) &= \frac<1> .\\ \end Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin +\displaystyle\frac<4> -\displaystyle\frac<2p+3> \risingdotseq x(t)=2+4t-2\,\mbox +\displaystyle\frac<2> \risingdotseq y(t)=-2t+2\,\mbox Введем обозначения: Запишем алгоритм решения. ,\\ h(p)=p^n+a_1p^ 2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)\cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде \begin Пример 8. Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. \begin 2. Исходное уравнение в операторном виде: \begin . \end \,\, \Rightarrow \,\, p^2+2p=\frac<1> Теперь по формуле Дюамеля получаем: \begin Пример 9 Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). \begin Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: \begin -\frac . \end Находим изображение для $\displaystyle\frac<1> $ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: \begin \risingdotseq \mbox \risingdotseq \int\limits_0^t\,\mbox $ по теореме запаздывания будет равно: \begin \risingdotseq (-\mbox Решение заданного уравнения: \begin Пример 10 Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). \begin Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: \begin (1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end (1-2e^<-p>+e^<-2p>)\,\, \Rightarrow\\ &X(p)=\frac<2> (1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: \begin =\frac<1><2p^2>-\frac<2> <4(p^2+4)>\risingdotseq \frac12t-\frac14\,\mbox Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда. Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: \begin Решение дифференциальных уравнений операционным методом Постановка задачи а) линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами: где — порядок дифференциального уравнения; — заданные коэффициенты; — заданная функция; б) начальные условия: Требуется найти решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет начальным условиям (решить задачу Коши (5.24),(5.25)). Замечание 5.6. Переменная в задачах анализа динамических систем имеет смысл времени. Поэтому будем использовать следующие обозначения производных: а) система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, записанная в нормальной форме: (5.26) где — вектор неизвестных; матрица коэффициентов; — заданная вектор-функция; б) начальные условия (где — вектор начальных значений): (5.27) Требуется найти решение системы, которое удовлетворяет начальным условиям (решение задачи Коши (5.26),(5.27)). Во многих учебниках изложены классические аналитические и численные методы решения задачи Коши. Здесь будем предполагать, что заданная функция и искомая функция принадлежат классу оригиналов. Для решения задач (5.24),(5.25) и (5.26),(5.27) можно применить аппарат операционного исчисления метода решения задач, суть которого состоит в следующем. Поставленная в классе оригиналов задача переводится с помощью преобразования Лапласа в задачу для изображений. Эта задача решается, и определяете изображение искомой функции. Затем применяется обратное преобразование Лапласа и находится оригинал — решение поставленной задачи. Алгоритм решения задачи Коши операционным методом 2. Решить полученное уравнение (систему): найти изображение искомого решения. 3. Применить обратное преобразование Лапласа: найти оригинал для полученного в п.2 изображения. 1. Преимущество операционного метода заключается в том, что при его применении функции из пространства оригиналов и производимые над ними операции заменяются функциями и операциями в пространстве изображений, которые оказываются более простыми. Так, вместо дифференциальных уравнений решаются алгебраические уравнения. 2. Начальные условия при записи уравнений в изображениях учитываются автоматически, и нет необходимости решать систему для нахождения произвольных постоянных, как это делается при применении классического метода. 3. Операционное исчисление позволяет найти не только частное, но и общее решение уравнения (5.24). Для этого достаточно положить . При нахождении общего решения системы (5.26) следует принять . 4. Операционное исчисление можно применять для широкого класса кусочно-непрерывных функций и функций, заданных графически; для решения уравнений с переменными коэффициентами, уравнений в частных производных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений; для вычисления несобственных интегралов и суммирования рядов. 5. При решении уравнения (системы) для изображений не следует приводить дроби к общему знаменателю, так как следующий этап — нахождение оригинала — связан с представлением дробей в виде суммы Как решить дифференциальное уравнение методом операционного исчисления? Основная суть операционного исчисления состоит в следующем: функция действительной переменной с помощью преобразования Лапласа отображается в функцию комплексной переменной : Терминология и обозначения:функция называется оригиналом; функция называется изображением;заглавной буквой обозначается преобразование Лапласа. Действительную функцию (оригинал) по определённым правилам нужно превратить в комплексную функцию (изображение). Стрелочка обозначает именно это превращение. А сами «определенные правила» и являются преобразованием Лапласа, которое рассмотрим лишь формально, чего для решения задач будет вполне достаточно. Осуществимо и обратное преобразование Лапласа, когда изображение превращается в оригинал: В ряде задач высшей математики бывает очень выгодно перейти от оригиналов к изображениям , поскольку в этом случае решение задания значительно упрощается. Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях . Примечание: иногда дифференциальное уравнение может быть и однородным: , для него в вышеизложенной формулировке также применим метод операционного исчисления. Однако в практических примерах однородное ДУ 2-го порядка встречается крайне редко, и далее речь пойдёт о неоднородных уравнениях. Как известно, неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка можно решить методом подбора частного решения по виду правой части либо методом вариации произвольных постоянных. И сейчас будет разобран третий способ – решение ДУ с помощью операционного исчисления. Ещё раз подчеркиваю то обстоятельство, что речь идёт о нахождении частного решения, кроме того, начальные условия строго имеют вид («иксы» равны нулям). К слову, об «иксах». Уравнение можно переписать в следующем виде: , где «икс» – независимая переменная, а «игрек» – функция. В рассматриваемой задаче чаще всего используются другие буквы: То есть роль независимой переменной играет переменная «тэ» (вместо «икса»), а роль функции играет переменная «икс» (вместо «игрека») Понимаю, неудобно конечно, но лучше придерживаться обозначений, которые встречаются в большинстве задачников и методичек. Итак, наша задача с другими буквами записывается следующим образом: Найти частное решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами при заданных начальных условиях . Смысл задания нисколько не изменился, изменились только буквы. Как решить данную задачу методом операционного исчисления? Прежде всего, потребуется таблица оригиналов и изображений. Это ключевой инструмент решения, и без неё не обойтись. Поэтому, по возможности, постарайтесь распечатать указанный справочный материал. Сразу же поясню, что обозначает буква «пэ»: комплексную переменную (вместо привычного «зет»). Хотя для решения задач этот факт не имеет особого значения, «пэ» так «пэ». С помощью таблицы оригиналы и необходимо превратить в некоторые изображения. Далее следует ряд типовых действий, и используется обратное преобразование Лапласа (тоже есть в таблице). Таким образом, будет найдено искомое частное решение. Все задачи, что приятно, решаются по достаточно жесткому алгоритму. С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. , , Решение: На первом шаге перейдем от оригиналов к соответствующим изображениям. Используем левую сторону таблицы оригиналов и изображений. Сначала разбираемся с левой частью исходного уравнения. Для преобразования Лапласа справедливы правила линейности, поэтому все константы игнорируем и по отдельности работаем с функцией и её производными. По табличной формуле №1 превращаем функцию: По формуле №2 , учитывая начальное условие , превращаем производную: По формуле №3 , учитывая начальные условия , превращаем вторую производную: Не путаемся в знаках! Признаюсь, правильнее говорить не «формулы», а «преобразования», но для простоты время от времени буду называть начинку таблицы формулами. Теперь разбираемся с правой частью, в которой находится многочлен . В силу того же правила линейности преобразования Лапласа, с каждым слагаемым работаем отдельно. Смотрим на первое слагаемое: – это независимая переменная «тэ», умноженная на константу. Константу игнорируем и, используя пункт №4 таблицы, выполняем преобразование: Смотрим на второе слагаемое: –5. Когда константа находится одна-одинёшенька, то пропускать её уже нельзя. С одиночной константой поступают так: для наглядности её можно представить в виде произведения: , а к единице применить преобразование: Таким образом, для всех элементов (оригиналов) дифференциального уравнения с помощью таблицы найдены соответствующие изображения: Подставим найденные изображения в исходное уравнение : Дальнейшая задача состоит в том, чтобы выразить операторное решение через всё остальное, а именно – через одну дробь. При этом целесообразно придерживаться следующего порядка действий: Для начала раскрываем скобки в левой части: Приводим подобные слагаемые в левой части (если они есть). В данном случае складываем числа –2 и –3. Чайникам настоятельно рекомендую не пропускать данный этап: Слева оставляем слагаемые, в которых присутствует , остальные слагаемые переносим направо со сменой знака: В левой части выносим за скобки операторное решение , в правой части приводим выражение к общему знаменателю: Многочлен слева следует разложить на множители (если это возможно). Решаем квадратное уравнение: Таким образом: Сбрасываем в знаменатель правой части: Цель достигнута – операторное решение выражено через одну дробь. Действие второе. Используя метод неопределенных коэффициентов, операторное решение уравнения следует разложить в сумму элементарных дробей: Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему: Если возникли затруднения с методом неопределенных коэффициентов, пожалуйста, наверстайте упущенное в статьях Интегрирование дробно-рациональной функции и Как решить систему уравнений? Это очень важно, поскольку разложение на дроби, по существу, самая важная часть задачи. Итак, коэффициенты найдены: , и операторное решение предстаёт перед нами в разобранном виде: Обратите внимание, что константы записаны не в числителях дробей. Такая форма записи выгоднее, чем . А выгоднее, потому что финальное действие пройдёт без путаницы и ошибок: Заключительный этап задачи состоит в том, чтобы с помощью обратного преобразования Лапласа перейти от изображений к соответствующим оригиналам. Используем правый столбец таблицы оригиналов и изображений. Перейдем от изображений к соответствующим оригиналам: Возможно, не всем понятно преобразование . Здесь использована формула пункта №5 таблицы: . Если подробнее: . Собственно, для похожих случаев формулу можно модифицировать: . Да и все табличные формулы пункта №5 очень легко переписать аналогичным образом. После обратного перехода искомое частное решение ДУ получается: Было: Стало: Ответ: частное решение: При наличии времени всегда желательно выполнять проверку. Проверка выполняется по стандартной схеме, Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка . Повторим: Проверим выполнение начального условия : – выполнено. Найдём первую производную: Проверим выполнение второго начального условия : – выполнено. Найдём вторую производную: Подставим , и в левую часть исходного уравнения : . Получена правая часть исходного уравнения. Вывод: задание выполнено правильно. Небольшой пример для самостоятельного решения: С помощью операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных условиях. Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем Операционный метод приобрел большое значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Эффективность применения операционного исчисления при решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в удобстве и простоте вычислений. Прежде всего это относится к решению систем таких уравнений [4, с. 131]. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (1) где коэффициенты -постоянные величины, при начальных условиях x(0)= , (0) , . , (0)= (2) где — заданные числа [3, с. 126]. Операционный метод решения состоит в том, что мы считаем как искомую функцию x(t), так и правую часть f(t) оригиналами и переходим от уравнения (1) , связывающего оригиналы, к уравнению, связывающему их изображения X(p) и F(p), тогда x(t) ≑ X(p) , а f(t) ≑ F(p) . Воспользуемся теоремой о дифференцировании оригинала: , , Применяя свойство линейности получаем вместо уравнения (1) алгебраическое соотношение, которое назовем изображением, или операторным уравнением: + +. + ( )+ [2, с. 127—128] В результате мы получили уже не дифференциальное, а алгебраическое уравнение относительно неизвестного изображения X(p). где , -алгебраические многочлены от p степени n и n-1 соответственно [1, с. 264]. Из последнего уравнения находим (3) Полученное равенство называют операторным решением дифференциального уравнения (1). Остается по полученному изображению X(p) найти оригинал x(t) , применяя для этого соответствующие правила операционного исчисления. Найденный оригинал x(t) будет являться частным решением дифференциального уравнения (1) [3, с. 128]. Пример: найдем решение дифференциального уравнения операционным методом при условиях = Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение, получим операторное уравнение: . Отсюда X(p)= Для нахождения оригинала разложим дробь на простейшие A(p+1)+B(p-3)(p+1)+C =1 Ap+A+B -2Bp-3B+C -6Cp+9 С =1 Составим систему уравнений: Решив ее, получаем Итак X(p)= , откуда x(t)= — решение данного дифференциального уравнения. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами можно решать операционными методами совершенно так же, как и отдельные уравнения; все отличие заключается лишь в том, что вместо одного изображающего уравнения приходим к системе таких уравнений, причем система эта в отношении изображений искомых функций будет линейно алгебраической. При этом никаких предварительных преобразований исходной системы дифференциальных уравнений производить не требуется [3, с. 134]. Метод решения таких систем покажем на примере. Пример: решить систему дифференциальных уравнений при начальных условиях x(0)=2 , y(0)=0. Подставим эти выражения в систему дифференциальных уравнений, система операторных уравнений принимает вид: Решая эту систему уже алгебраических уравнений , находим: X(p)= , Y(p)= Раскладывая найденные изображения на простые дроби находим: X(p)= , Y(p)= . Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения: x(t)= y(t)= . Таким образом операционный метод позволяет в ряде случаев значительно упростить процедуру нахождения решения линейных дифференциальных уравнений и их систем. 1.Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. -М., Главная редакция физико-математической литературы, 1968 г., — стр. 416. — Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов. — 263—268 с. 2.Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. — 127—132 с. 3.Шостак Р.Я. Операционное исчисление. Краткий курс. Изд. второе, доп.Учебное пособие для вузов М. «Высшая школа», 1972 — 126—139 с. 4.Штокало И.3. Операционное исчисление (обобщения и приложения) Киев, Издательство «Наукова Думка», 1972 —131—144 с. http://topuch.ru/reshenie-differencialenih-uravnenij-operacionnim-metodom/index.html http://infourok.ru/statya-na-temu-operacionnyj-metod-resheniya-linejnyh-differencialnyh-uravnenij-i-ih-sistem-5471532.htmlРешение задачи Коши для систем линейных ДУ
Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля
Уравнение: $x^<(n)>(t)+a_1\,x^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=\ldots=x^<(n)>=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^<(n)>(t)+a_1\,y^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: \begin Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда
Решение задачи Коши с периодической правой частью
Практика (Стась) 01.04. Решение дифференциальных уравнений операционным методом
Название Решение дифференциальных уравнений операционным методом Дата 16.06.2020 Размер 81.17 Kb. Формат файла Имя файла Практика (Стась) 01.04.docx Тип Решение
#130700Подборка по базе: ВЫЧИСЛЕНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО КОЛИЧЕСТВА ПЕРВИЧНЫХ ДЕФЕКТОВ В К, Практическое занятие 6 РЕШЕНИЕ.docx, Задачи по римскому праву с решением.doc, Решение системы линейных уравнений.docx, Итоговое задание решение.docx, 15 урок Решение задач.pptx, Исследование интегральных характеристик электростатического поля, Пример выполнения решения уравнений командой FIND.rtf, 1 Решение. Конкретная ситуация ФОРД.doc, Иван царевич решение задачи.docx
Рассмотрим задачу, наиболее часто встречающуюся в теории дифференциальных уравнений, — задачу Коши для линейных дифференциальных уравнений и систем.(5.25) ( (
1. Применить преобразование Лапласа: от известных и неизвестных функций перейти к их изображениям, записать уравнение (систему) в изображениях, соответствующее решаемой задаче Коши.
На данном уроке будет подробно разобрана типовая и широко распространенная задача комплексного анализа – нахождение частного решения ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами методом операционного исчисления.
Пример 2Статья на тему: «Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем»