Найти один из корней уравнения с точностью

Численные методы решения нелинейных уравнений

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.

Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн

Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $\varepsilon = 10^<-2>$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $\varepsilon=10^<-4>$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.

Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.

Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$

Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 \sin x =0.$$

Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ \sqrt — \cos 0.387 x =0.$$

Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$\sqrt=\frac<1>.$$

Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.

Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.

Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1)\, x^3-12x-5=0\, (x \gt 0), \, 2)\, \tan x -1/x=0. $$

Приближенное нахождение корней уравнения

Задание 2 . 1) Выбрав стартовую точку с координатами x01=0.5 и xo2=0.4, примените метод Ньютона–Рафсона, и с точностью e=0.000001 найдите минимум целевой функции:
Скачать решение
2) Выбрав ту же стартовую точку, примените метод наискорейшего спуска, и вновь найдите минимум целевой функции с точностью e=0.0001.

Пример №1 . Отделить корни аналитически и уточнить один из них методом половинного деления с точностью до 0,01.
Решение.
sin(x+3.14/3)-x/2=0. Скачать

Пример №2 . Определить и найти действительные корни с точностью до 0,001: а) x 4 – 2x – 1 = 0 — методами: 1) деления отрезка пополам; 2) касательных. б) 2log(x) — (x-2) 2 = 0 — методами: 1) хорд; 2) итераций.
Решение.
Найдем корни уравнения:
x 4 -2•x-1 = 0

Используем для этого Метод половинного деления (метод дихотомии).
Считаем, что отделение корней произведено и на интервале [a,b] расположен один корень, который необходимо уточнить с погрешностью ε.
Итак, имеем f(a)f(b) 1 /₂(a+b) и вычисляем f(c). Проверяем следующие условия:
1. Если |f(c)| 1 /₂ n (b-a)
В качестве корня ξ. возьмем 1 /₂(a_n+b_n). Тогда погрешность определения корня будет равна (b_n – a_n)/2. Если выполняется условие:
(b_n – a_n)/2 1 /₂(a_n+b_n).
Уточним интервалы, в которых будут находиться корни уравнения. Для этого исходный интервал [-1;2] разобьем на 10 подынтервалов.
h₁ = -1 + 1*(2-(-1))/10 = -0.7
h₂ = -1 + (1+1)*(2-(-1))/10 = -0.4
Поскольку F(-0.7)*F(-0.4) 0, то a=-0.55
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (-0.55 -0.4)/2 = -0.48
F(c) = 0.000907
F(x) = 0.19
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=-0.48
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (-0.48 -0.4)/2 = -0.44
F(c) = -0.0884
F(x) = 0.000907
Поскольку F(c)•F(x) 0, то a=1.25
Итерация 2.
Находим середину отрезка: c = (1.25 + 1.4)/2 = 1.33
F(c) = -0.57
F(x) = -1.06
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.33
Итерация 3.
Находим середину отрезка: c = (1.33 + 1.4)/2 = 1.36
F(c) = -0.28
F(x) = -0.57
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.36
Итерация 4.
Находим середину отрезка: c = (1.36 + 1.4)/2 = 1.38
F(c) = -0.12
F(x) = -0.28
Поскольку F(c)•F(x) > 0, то a=1.38
Остальные расчеты сведем в таблицу.

Ответ:
x = 1.4; F(x) = 0.00498
Количество итераций, N = 9
Параметр сходимости.
α = (1.4 — 1.4)/9 = 6.5E-5

Посмотрите как можно быстро решить задачу.

Модуль 1. Модуль 1. Численные методы решения нелинейных уравнений. Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью

Модуль 1. Модуль 1. Численные методы решения нелинейных уравнений. Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью.

1. Численные методы решения нелинейных уравнений.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Этапы приближенного решения нелинейных уравнений.

1.3. Уточнение корней методом деления отрезка пополам.

1.4. Уточнение корней методом касательных.

1.5. Уточнение корней методом хорд.

2. Нахождение арифметического корня натуральной степени с заданной точностью.

Литература.

1. Численные методы решения нелинейных уравнений.

1.1. Постановка задачи.

Пусть имеется уравнение вида

где f (x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция. (Функция называется алгебраической, если для получения её значения нужно выполнить арифметические операции и возведение в степень с рациональным показателем. Примеры трансцендентных функций — показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.)

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x, которые обращают уравнение в тождество, или доказать, что корней нет.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложно, то довольно редко удается точно найти его корни. Кроме того, в некоторых случаях уравнение может содержать коэффициенты, известные лишь приблизительно, поэтому сама задача о точном нахождении корней теряет смысл. В таких случаях применяют численные (приближенные) методы решения.

Поставим задачу найти такое приближенное значение корня xпр, которое мало отличается от точного значения корня x*, так что выполняется неравенство │x* – xпр │ 0, m – натуральное.

Известен следующий рекуррентный (итерационный) процесс нахождения членов последовательности t0, t1, t2, …, где

, n = 0, 1, 2, … . (6)

При этом оказывается [4], что полученная последовательность сходится при любом t0>0 к точному значению и при том достаточно быстро.

Удобно в качестве t0 брать значение с одной верной значащей цифрой, которую легко найти подбором.

Итерационный процесс нахождения очередного приближения к величине корня прекращается, как только выполнится неравенство . При этом с точностью ε.

Пример 5. Найти с точностью ε = 0,000001 (или ε = 10-6).

Решение. Здесь a = 1,25, ε = 10-6. Пусть t0 = 1,1 (т. к. 1,12≈1,25). Из формулы (6) при m = 2 имеем:

, n = 0, 1, 2, … .

Значит . Так как требуется найти значение корня с точностью ε = 10-6, т. е. с шестью верными значащими цифрами после запятой, при вычислении t1 количество цифр после запятой берем с запасом (например, семь цифр).

Аналогично вычисляем t2 = 1,1180339…; . Продолжаем итерационный процесс: t3 = 1,1180339… . Итак, на третьем шаге (итерации) результат в требуемых знаках (шесть цифр после запятой) повторился, т. е. .

Значит, с точностью 10-6.

3. Практикум.

Численные методы решения нелинейных уравнений.

В заданиях данной группы нужно выбрать правильные ответы из приведенного списка. Обратите внимание, что правильный ответ может быть не единственным. Вам надо указать через запятую буквы соответствующие правильным высказываниям.

1. Какие из следующих функций являются трансцендентными?

2. Поиск корней методом половинного деления применим к функциям:

a) к многочленам любых степеней.

b) к непрерывным, но не дифференцируемым функциям.

c) к функциям, имеющим разрывы.

d) любым непрерывным.

3. Отметьте высказывания, относящиеся к поиску корней методом половинного деления:

a) Существуют уравнения, для которых есть только численное решение и нет аналитического.

b) Это самый быстрый метод поиска корней.

c) Это самый точный метод.

d) Это один из самых простых вычислительных методов поиска корней уравнения

e) Этот метод не требует дополнительных условий сходимости.

f) Этим методом можно искать корни многочленов любых степеней.

В заданиях данной группы нужно выбрать правильный ответ из приведенного списка. Обратите внимание, что правильный ответ должен быть единственным

4. Решить уравнение, значит

a) найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество;

b) доказать, что таких значений неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество нет;

c) найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в тождество или доказать, что корней нет;

d) найти такие значения неизвестного, которые при подстановке в уравнение, обращают его в верное тождество и доказать, что корней нет.

5. Для какой из приведенных ниже функций y = f(x) уравнение f(x) = 0 не имеет корней

6. Отделение корней уравнения f(x)=0 – это

a) нахождение интервалов длиной ε из области определения функции y=f(x);

b) нахождение корней из области определения функции y=f(x);

c) нахождение интервалов с одним корнем вне области определения функции y=f(x);

d) нахождение интервалов из области определения, в каждом из которых содержится ровно один корень.

7. Какая из этих формул верна и применяется в методе деления отрезка пополам для определения достижения точности?

8. Какая из этих формул верна и применяется в методе деления отрезка пополам для определения X – приближённого значение корня на отрезке [a; b]?

9. Аналитическое отделение корней уравнения f(x) = 0 основано на теореме:

a) если функция f(x) непрерывна на [a, b], принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

b) если f ‘(x) существует и непрерывна, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

c) если функция f(x) принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков, то на этом отрезке содержится хотя бы один корень;

d) если f ‘(x) непрерывна и меняет знак на [а, b], то на этом отрезке содержится хотя бы один корень.

10. Необходимым условием сходимости метода касательных при решении уравнения у = f(x) является:

a) f(x) непрерывна на [a, b] и сохраняет на нем свой знак;

b) f ‘(x) существует и сохраняет знак;

c) f(x) и f ‘(x) непрерывны на [a, b] и сохраняют знак;

d) f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке [a, b], f ‘(x) непрерывна и сохраняет знак на отрезке [a, b].

11. Укажите интервал изоляции корня уравнения .

12. Какому графику соответствуют условия , , , , ?

13. Известно, что уравнение имеет три корня. Минимальное количество начальных точек, определяющих отрезки изоляции корней, для полного решения методом половинного деления:

В заданиях данной группы нужно вписать числовой ответ или дополнить предложение.

14. Дано нелинейное уравнение x2sinx + 1 = 0 и начальное приближение x0 = 3,3. Первое приближение x1 в методе Ньютона равно (ответ округлить до трех знаков после запятой) ____________.

15. Дано уравнение x2sinx + 1 = 0. Известно, что на отрезке [3,2; 3,5] существует единственный корень уравнения. После выполнения одного шага методом деления отрезка пополам, отрезок станет равен _____________________________.