Найти периметр с помощью систем уравнений

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

ГДЗ учебник по алгебрее 7 класс Макарычев. 45. Решение задач с помощью систем уравнений. Номер №1103

Основание равнобедренного треугольника на 7 см больше его боковой стороны. Найдите боковую сторону треугольника, если его периметр равен 43 см.

Решение

Пусть:
x ( см) − длина основания равнобедренного треугольника;
y ( см) − длина боковой стороны.
Так как, основание равнобедренного треугольника на 7 см больше его боковой стороны, составим первое уравнение:
x − y = 7
Так как, периметр равнобедренного треугольника, составим второе уравнение:
x + 2 y = 43
Составим систему уравнений:

Решение геометрических задач с помощью систем уравнений 2-ой степени

Решение геометрических задач с помощью систем уравнений 2-ой степени.

По учебнику «Алгебра 9»,

Решение геометрических задач с помощью систем уравнений 2-ой степени.

1. Отработать навыки по решению задач с помощью систем уравнений.

2. Развитие познавательных процессов учащихся.

1. Организационный момент:

2. Проверка домашнего задания:

Проверка наличия домашнего задания. Ответы на вопросы учащихся.

Сформулируйте теорему Пифагора

Назовите формулы площади и периметра прямоугольника со сторонам a и b.

Назовите формулы площади и периметра квадрата со стороной а

Какие способы решения систем уравнений вам известны?

5. Работа с учебником:

Обсуждение условия задачи. Выполнение чертёжа. Составление плана решения.

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Ответ: 6 см и 8 см

Пусть катеты прямоугольного треугольника х см, у см.

Составим первое уравнение системы, применив теорему Пифагора к первому рисунку рисунку.

Составим второе уравнение системы, применив теорему Пифагора ко второму рисунку рисунку.

Составим систему уравнений и решим ее. Найдём первоначальные длины катетов треугольника.

Ответ: 5см и 12 см.

На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30см2.

Решение:

Ответ: 5 см и 6 см.

6. Самостоятельная работа.

7. Домашнее задание:

8. Подведение итога урока. Выставление оценок.

Решение геометрических задач с помощью систем уравнений второй степени

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Ответ: 6 см и 8 см

Прямоугольный участок земли площадью 2400 м2 обнесен изгородью, длина которой равна 200м. Найдите длину и ширину этого участка.

Решение:

Ответ: 40 м и 60 м

Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30см2.

Решение:

Ответ: 5 см и 6 см.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Решение:

Ответ: 5 см и 12 см

Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 8 см, а другую уменьшить на 6 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника

Решение:

Ответ: 6 см и 15 см

7. № 000(1) сборник.

Для сада выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Длина изгороди, которой будет обнесен сад, окажется меньшей, если прямоугольный участок заменить квадратным той же площади. Для этого надо длину участка уменьшить на 40м, а ширину увеличить на 30м. Какова сторона квадратного участка?

Решение:

Ответ: 90 м и 60 м.

8. № 000(1) сборник

Длина садового участка на 10м больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400м. Для этого длину увеличили на 10м, а ширину — на 2м. Найдите площадь нового участка.

Решение:

Ответ: 40 см и 30 см

Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 10 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см. Найдите размеры картонного листа, если объем коробки равен 1000 см3.

Решение:

Ответ: 20 см и 30 см

10. № 000 геометрия

В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение:

Ответ: R= см.

11. № 000 геометрия

Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Решение:

12. № 000(1) геометрия

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса R. Найдите периметр треугольника, если гипотенуза равна 26см, R=4cм.

Решение:

13. № 000(2) геометрия

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса R. Найдите периметр треугольника, если точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5см и 12см.

Решение:

(Старинная задача Бхаскары, Индия XII в)

Цветок Лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся над водой. Определите глубину озера.

Решение:

Ответ: 3 фута

( Пизанского, XII-XIII в)

Две башни, одна высотой 40 футов, а другая — 30 футов, расположены на расстоянии 50 футов одна над другой. К расположенному между ними колодцу слетают одновременно с обеих башен две птички, и летя с одинаковой скоростью, одновременно прибывают к колодцу. Найти расстояние от колодца до башен.

Решение:

Ответ: 18 футов и 32 фута

12.Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см2.

2. № 000(2) Сборник

Для школьной площадки выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Если его заменить квадратным участком той же площади, то потребуется меньше материала для его отгораживания. Для этого надо длину участка уменьшить на 12м, а ширину увеличит на 10м. чему равна сторона квадратного участка?.

2. № 000(2) Сборник

Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину — на 4м, в результате площадь участка увеличилась на 300м. Найдите площадь образовавшейся строительной площадки?

“Сборник задач для проведения экзамена по алгебре за курс основной школы“. М.: Дрофа, 2005г.

3. . «Тестовые задачи в школьном курсе математики»

М.: Педагогический университет «Первое сентября». 2009