Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
- Вы здесь:
- Home
Эллипс, гипербола, парабола. Директориальное свойство эллипса и гиперболы.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Эллипс.
Эллипс с каноническим уравнением $\frac
Параметры $a$ и $b$ называются полуосями эллипса (большой и малой соответственно). Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0), $ $B_1(0, -b), $ и $B_2(0, b), $ его вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — главными осями а центр симметрии $O -$ центром эллипса.
Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами эллипса векторы $\overline
Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами эллипса.
Теорема. ( Директориальное свойство эллипса)
Эллипс является множеством точек, отноше ние расстояний от которых до фокуса и до соответствующей директрисы постоянно и равно $e.$
Примеры.
2.246. Построить эллипс $9x^2+25y^2=225.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду:
а) Находим полуоси $a=5,$ $b=3.$
б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$
$c=\sqrt<5^2-3^2>=\sqrt<16>=4\Rightarrow F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0).$
г) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Ответ: а) $a=5,$ $b=3;$ б) $ F_1(-4, 0),\qquad F_2(4, 0);$ в) $e=\frac<4><5>;$ г) $D_1: x=-\frac<25><4>$ и $D_2: x=\frac<25><4>.$
2.249 (a). Установить, что уравнение $5x^2+9y^2-30x+18y+9=0$ определяет эллипс, найти его центр $C,$ полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.
Приведем уравнение эллипса к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
Это уравнение эллипса. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ полуоси $a=3,$ $b=\sqrt 5.$
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<3><2/3>=-\frac<9> <2>$ и $D_2: x=\frac<3><2/3>=\frac<9><2>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$
Ответ: $C=(x_0, y_0)=(-3, -1);$ $a=3,$ $b=\sqrt 5;$ $ e=\frac<2><3>.$ $D_1:2x+3=0, $ $D_2: 2x-15=0.$
2.252. Эллипс, главные оси которого совпадают с координатными осми, проходят через точки $M_1(2, \sqrt 3)$ и $M_2(0, 2).$ Написать его уравнение, найти фокальные радиусы точки $M_1$ и расстояния этой точки до директрис.
Решение.
Поскольку оси эллипса совпадают с координатными осями, то центр эллипса совпадает с началом координат. Следовательно, из того, что точка $(0, 2)$ принадлежит эллипсу, можно сделать вывод, что $b=2.$
Далее, чтобы найти $a,$ подставим найденное значение $b$ и координаты точки $M_1(2, \sqrt 3)$ в каноническое уравнение эллипса $\frac
Таким образом, уравнение эллипса $\frac
Далее найдем координаты фокусов:
$c=\sqrt=\sqrt<16-4>=2\sqrt 3\Rightarrow F_1(-2\sqrt 3, 0),\,\,\, F_2(2\sqrt 3, 0).$
Отсюда находим $\overline
Чтобы найти расстояния от точки $M_1$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac
Таким образом, расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_1: \sqrt 3 x+8=0$
расстояние от точки $M_1(2, \sqrt 3)$ до прямой $D_2: \sqrt 3 x-8=0$
Параметры $a$ и $b$ называются полуосями гиперболы. Точки $A_1(-a, 0),$ $A_2(a, 0) — $ ее вершинами. Оси симметрии $Ox$ и $Oy$ — действительной и мнимой осями а центр симметрии $O -$ центром гиперболы.
Точки $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt\geq 0,$ называются фокусами гиперболы, векторы $\overline
Прямые $D_1: x=-a/e$ и $D_2:x=a/e,$ перпендикулярные главной оси и проходящей на расстоянии $a/e$ от центра, называются директрисами гиперболы.
Теорема. (Директориальное свойство гиперболы).
Гипербола является геометрическим местом точек, отношение расстояний от которых до фокуса и до соответствующей дирек трисы постоянно и равно $e.$
Примеры.
2.265. Построить гиперболу $16x^2-9y^2=144.$ Найти: а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот; д) уравнения директрис.
Приведем уравнение гиперболы к каноническому виду:
а) Находим полуоси $a=3,$ $b=4.$
б) Фокусы найдем по формулам $F_1(-c, 0)$ и $F_2(c, 0),$ где $c=\sqrt:$
$c=\sqrt<3^2+4^2>=\sqrt<25>=5\Rightarrow F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0).$
г) Асимптоты гиперболы находим по формулам $y=\pm\fracx:$
д) Уравнения директрис находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
Ответ: а) $a=3,$ $b=4;$ б) $ F_1(-5, 0),\qquad F_2(5, 0);$ в) $e=\frac<5><3>;$ г) $y=\pm\frac<4><3>x;$ д ) $D_1: x=-\frac<9><5>$ и $D_2: x=\frac<9><5>.$
2.269 (a). Установить, что уравнение $16x^2-9y^2-64x-54y-161=0$ определяет гиперболу, найти ее центр $C,$ полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис.
Приведем заданное уравнение к каноническому виду, для этого выделим полные квадраты:
Это уравнение гиперболы. Центр имеет координаты $C=(x_0, y_0)=(2,-3);$ полуоси $a=3,$ $b=4.$
Асимптоты гиперболы c центром в начале координат, находим по формулам $y=\pm\fracx,$ а с центром в точке $C=(x_0, y_0) -$ по формуле $y-y_0=\pm\frac(x-x_0),$
$$y+3=\frac<4><3>(x-2)\Rightarrow 3y+9=4x-8\Rightarrow 4x-3y-17=0.$$
$$y+3=-\frac<4><3>(x-2)\Rightarrow 3y+9=-4x+8\Rightarrow 4x+3y+1=0.$$
Уравнения директрис для эллипса с центром в начале координат находим по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<3><5/3>=-\frac<9> <5>$ и $D_2: x=\frac<3><5/3>=\frac<9><5>.$ Поскольку у заданного эллипса центр смещен, то директриссы будут иметь уравнения $D_1: x=x_0-a/e$ и $D_2: x=x_0+a/e:$
Ответ: $C=(2, -3);$ $a=3,$ $b=4;$ $ e=\frac<5><3>,$ $4x-3y-17=0,$ $4x+3y+1=0,$ $D_1:5x-1=0, $ $D_2: 5x-19=0.$
2.272. Убедившись, что точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac
Решение.
Проверим, что заданная точка лежит на гиперболе:
Следовательно, точка $M(-5, 9/4)$ лежит на гиперболе $\frac
Для того, чтобы найти фокальные радиусы, найдем фокусы гиперболы:
Фокальные радиусы точки, можно найти по формулам $r_1=|\overline
Чтобы найти расстояния от точки $M$ до директрис, найдем уравнения директрис по формулам $D_1: x=-a/e$ и $D_2: x=a/e:$
$D_1: x=-\frac<4><5/4>\Rightarrow x=-\frac<16><5>\Rightarrow 5x+16=0;$
$D_2: x=\frac<4><5/4>\Rightarrow x=\frac<16><5>\Rightarrow 5x-16=0;$
Расстояние от точки $P(x_0, y_0)$ до прямой $L: Ax+By+C=0$ вычисляется по формуле $$d=\left|\frac
Таким образом, расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_1: \sqrt 5x+16=0$
расстояние от точки $M(5, 9/4)$ до прямой $D_2: \sqrt 5x-16=0$
Ответ: $r_1=9/4,$ $r_2=\frac<41><4>;$ $d_1=\frac<41><5>;$ $d_2=\frac<9><5>.$
2.273. Найти точки гиперболы $\frac
Решение.
Из уравнения гиперболы находим полуоси: $a=3, \, b=4.$ Следовательно, $c=\sqrt\Rightarrow c=\sqrt<9+16>=\sqrt <25>=5.$
Отсюда находим $F_1=(-5, 0).$
Геометрическое место точек, расположенных на расстоянии $7$ от фокуса $F_1,$ это окружность с центром в точке $F_1=(-5, 0)$ и радиусом $r=7:$
Чтобы н айти точки гиперболы $\frac
Решим уравнение $5x^2+18x-72=0:$
Находим соответствующие координаты $y:$ $y_1=\pm\sqrt<24-2,4^2-10\cdot 2,4>=\sqrt<-5,76>$ — нет корней .
Ответ: $(-6, \pm4\sqrt 3).$
Парабола.
Парабола с каноническим уравнением $y^2=2px, p>0,$ и меет форму изображенную на рисунке.
Число $p$ называется параметром параболы. Точка $O -$ ее вершиной, а ось $Ox$ — осью параболы.
Точка $F\left(\frac
<2>, 0\right)$ называется фокусом параболы, вектор $\overline
Прямая $D: x=-p/2$ перпендикулярная оси и проходящая на расстоянии $p/2$ от вершины параболы, называется ее директрисой.
Примеры.
2.285 (а). Построить параболу $y^2=6x$ и найти ее параметры.
Решение.
Параметр $p$ параболы можно найти из канонического уравнения $y^2=2px: $
$$y^2=6x\Rightarrow y^2=2\cdot 3x\Rightarrow p=2.$$
Ответ: $p=3.$
2.286 (а). Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox$ и $p=1/2.$
Решение.
Поскольку парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси $Ox,$ то уравнение параболы будет иметь вид $y^2=-2px.$ Подставляя заданное значение параметра, находим уравнение параболы:
Ответ: $y^2=-x.$
2.288 (а). Установить, что уравнение $y^2=4x-8$ определяет параболу, найти координаты ее вершины $A$ и величину параметра $p.$
Решение.
Уравнение параболы, центр которой сдвинут в точку $(x_0, y_0),$ имеет вид $(y-y_0)^2=2p(x-x_0)^2.$
Приведем заданное уравнние к такому виду:
Таким образом, $y^2=4(x^2-2)$ — парабола с центром в точке $(0, 2).$ Параметр $p=2.$
Ответ: $C(0, 2),$ $p=2.$
2.290. Вычислить фокальный параметр точки $M$ параболы $y^2=12x,$ если $y(M)=6.$
Решение.
Чтобы найти фокальный параметр точки $M,$ найдем ее координаты. Для этого подставим в уравнение параболы координату $y:$ $$6^2=12x\Rightarrow 36=12x\Rightarrow x=3.$$
Таким образом, точка $M$ имеет координаты $(3, 6).$
Из уравнения параболы $y^2=12x$ находим параметр параболы: $y^2=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$ Следовательно фокус параболы имеет координаты $F(3, 0).$
Далее находим фокальный параметр точки:
Ответ: $6.$
2.298. Из фокуса параболы $y^2=12x$ под острым углом $\alpha$ к оси $Ox$ направлен луч света, причем $tg\alpha=\frac<3><4>.$ Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
Решение.
Найдем координаты фокуса. Из канонического уравнения параболы $y^2=2px$ находим параметр: $y^2=12x=2\cdot 6x\Rightarrow p=6.$
Координаты фокуса $F(p/2, 0)\Rightarrow F(3,0).$
Далее находим уравнение прямой, которая проходит через точку $(3, 0)$ под углом $\alpha: tg\alpha=\frac<3><4>$ к оси $OX.$ Уравнение ищем в виде $y=kx+b,$ где $k=tg\alpha=\frac<3><4>.$
Чтобы найти $b,$ в уравнение прямой подставим координаты точки $(3, 0):$
$0=\frac<3><4>\cdot 3+b\Rightarrow b=-\frac<9><4>.$ Таким образом, уравнение луча, направленного из фокуса $y=\frac<3><4>x-\frac<9><4>.$
Далее, найдем точку пересечения найденной прямой с параболой:
Поскольку по условию луч падает под острым углом, то мы рассматриваем только положительную координату $y=18.$ Соответствующее значение $x=\frac<18^2><12>=\frac<324><12>=27.$
Таким образом, луч пересекает параболу в точке $(27, 18).$
Далее найдем уравнение касательной к параболе в найденной точке $(27, 18)$ по формуле $(y-y_0)=y'(x_0)(x-x_0):$
Подставляем все найденные значения в уравнение касательной:
$y-18=\frac<1><3>(x-27)\Rightarrow 3y-54=x-27\Rightarrow x-3y+27=0.$
Далее, найдем угол $\beta$ между лучем $y=\frac<3><4>x-\frac<9><4>$ и касательной $x-3y+27=0.$ Для этого оба уравнения запишем в виде $y=k_1x+b_1$ и $y=k_2+b_2$ угол вычислим по формуле $tg(L_1, L_2)=\frac
$$L_2: x-3y+27=0\Rightarrow y=\frac<1><3>x+9\Rightarrow k_2=\frac<1><3>.$$
Легко увидеть, что угол между лучем $L_1,$ направленным из фокуса и его отражением равен $\pi-2\beta,$ а угол между отраженным лучем и осью $Ox$ $\pi-(\pi-2\beta)-\alpha=2\beta-\alpha.$
Зная $tg\beta=\frac<1><3>$ и $tg\alpha=k_1=\frac<3><4>$ и вспоминая формулы для двойного угла тангенса и тангенс разности, находим $tg(2\beta-\alpha):$
$$tg(2\beta-\alpha)=\frac
Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как и .
На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.
Точки и , где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:
.
Результат — каноническое уравнение гиперболы:
Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .
Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где .
В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы
Гипербола и её свойства
Гипербола и её форма.
Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
\frac
$$
Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы \(|x| \geq a\), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины \(2a\) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами \((a, 0)\) и \((-a, 0)\), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа \(a\) и \(b\) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.
Рис. 8.6. Гипербола.
Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.
Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.
Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде \(y=kx\), поскольку мы уже знаем, что прямая \(x=0\) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
\frac
$$
Поэтому, если \(b^<2>-a^<2>k^ <2>> 0\), то
$$
x=\pm \frac
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения \((ab/v, abk/v)\) и \((-ab/v, -abk/v)\), где обозначено \(v=(b^<2>-a^<2>k^<2>)^<1/2>\). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении \(k\) (рис. 8.7).
Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.
Числитель дроби \(ab/v\) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при \(k=0\). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина \((a, 0)\). С ростом \(k\) знаменатель убывает, и \(x\) растет, стремясь к бесконечности, когда \(k\) приближается к числу \(b/a\). Прямая \(y=bx/a\) с угловым коэффициентом \(b/a\) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.
Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то \(k\) будет убывать, \(k^<2>\) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом \(-b/a\).
К прямой \(y=-bx/a\) относится все, что было сказано о \(y=bx/a\): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.
Прямые с уравнениями \(y=bx/a\) и \(y=-bx/a\) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.
http://function-x.ru/curves_hyperbola.html
http://univerlib.com/analytic_geometry/second_order_lines_and_surfaces/hyperbola/