Найти производную по параметру от решения уравнения

Производная функции заданной параметрически онлайн

Пусть функция задана в виде параметрических уравнений (т.н. параметрическое задание функции):

где x ( t ) , y ( t ) — дифференцируемые функции и x ‘ ( t ) ≠ 0 . Тогда производная

определяется по формуле:

где — производная от параметрического уравнения y ( t ) по параметру t и — производная от параметрического уравнения x ( t ) , по параметру t .

Наш онлайн сервис найдет производную от параметрической функции с подробным решением. Пример подробного решения, выдаваемого нашим сервисом, можно посмотреть здесь .

Производная параметрически заданной функции

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y = f ( x ) . Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар ( х ; у ) ,которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку ( а ; b ) . Для решения системы x = 3 · cos t y = 3 · sin t с 0 ≤ t 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) определены на при значении t ∈ ( a ; b ) и имеют обратную функцию t = Θ ( x ) для x = φ ( t ) , тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y = ψ ( Θ ( x ) ) .

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х . Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида y x ‘ = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) , поговорим о производной 2 и n -ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что x = φ ( t ) , y = ψ ( t ) , определенные и дифферецируемые при значении t ∈ a ; b , где x t ‘ = φ ‘ ( t ) ≠ 0 и x = φ ( t ) , тогда существует обратная функция вида t = Θ ( x ) .

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y = ψ ( t ) = ψ ( Θ ( x ) ) , где имеется аргумент x .

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y ‘ x = ψ Θ ( x ) = ψ ‘ Θ x · Θ ‘ x .

Отсюда видно, что t = Θ ( x ) и x = φ ( t ) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ ‘ ( x ) = 1 φ ‘ ( t ) , тогда y ‘ x = ψ ‘ Θ ( x ) · Θ ‘ ( x ) = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) .

Перейдем к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

Найти производную для функции x = t 2 + 1 y = t .

Решение

По условию имеем, что φ ( t ) = t 2 + 1 , ψ ( t ) = t , отсюда получаем, что φ ‘ ( t ) = t 2 + 1 ‘ , ψ ‘ ( t ) = t ‘ = 1 . Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

y ‘ x = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) = 1 2 t

Ответ: y x ‘ = 1 2 t x = t 2 + 1 .

При работе с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t , чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка на полученной функции, тогда получаем, что

y » x = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) ‘ φ ‘ ( t ) = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 2 φ ‘ ( t ) = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 3 .

Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x = cos ( 2 t ) y = t 2 .

Решение

По условию получаем, что φ ( t ) = cos ( 2 t ) , ψ ( t ) = t 2 .

Тогда после преобразования

φ ‘ ( t ) = cos ( 2 t ) ‘ = — sin ( 2 t ) · 2 t ‘ = — 2 sin ( 2 t ) ψ ( t ) = t 2 ‘ = 2 t

Отсюда следует, что y x ‘ = ψ ‘ ( t ) φ ‘ ( t ) = 2 t — 2 sin 2 t = — t sin ( 2 t ) .

Получим, что вид производной 1 порядка x = cos ( 2 t ) y x ‘ = — t sin ( 2 t ) .

Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

y x » = — t sin ( 2 t ) φ ‘ t = — t ‘ · sin ( 2 t ) — t · ( sin ( 2 t ) ) ‘ sin 2 ( 2 t ) — 2 sin ( 2 t ) = = 1 · sin ( 2 t ) — t · cos ( 2 t ) · ( 2 t ) ‘ 2 sin 3 ( 2 t ) = sin ( 2 t ) — 2 t cos ( 2 t ) 2 sin 3 ( 2 t )

Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции

x = cos ( 2 t ) y x » = sin ( 2 t ) — 2 t cos ( 2 t ) 2 sin 3 ( 2 t )

Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

φ ‘ t = ( cos ( 2 t ) ) ‘ = — sin ( 2 t ) · 2 t ‘ = — 2 sin ( 2 t ) ⇒ φ » t = — 2 sin ( 2 t ) ‘ = — 2 · sin ( 2 t ) ‘ = — 2 cos ( 2 t ) · ( 2 t ) ‘ = — 4 cos ( 2 t ) ψ ‘ ( t ) = ( t 2 ) ‘ = 2 t ⇒ ψ » ( t ) = ( 2 t ) ‘ = 2

Отсюда получаем, что

y » x = ψ » ( t ) · φ ‘ ( t ) — ψ ‘ ( t ) · φ » ( t ) φ ‘ ( t ) 3 = 2 · — 2 sin ( 2 t ) — 2 t · ( — 4 cos ( 2 t ) ) — 2 sin 2 t 3 = = sin ( 2 t ) — 2 t · cos ( 2 t ) 2 s i n 3 ( 2 t )

Ответ: y » x = sin ( 2 t ) — 2 t · cos ( 2 t ) 2 s i n 3 ( 2 t )

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассматривается система уравнений с параметром ц При каждом /i система имеет решение. Оно зависит не только от ty но и от выбранного значения параметра поэтому обозначается x(t, р). Теорема 1. Пусть при — область в Rn+I, М — интервал в R1) все функции a'(fi) непрерывны. Пусть при всех ft € М на отрезке t2] Э t0 решение x(t,p) задачи (1) существует и проходит в области D. Тогда это решение имеет производные dxjdp, непрерывные по (;t, ц).

Функции V4 = Qxjdp. (i = 1. п) удовлетворяют системе уравнений в вариациях В (2) производные от /• зависят от аргументов J, «j /i). xn(t9fi)9fi9 где — координаты решения /*) при том значении при котором разыскивается дх/др. Если решение x(t, ц) известно хотя бы при одном значении д, то система^!), позволяет найти дх/дц при этом ft. Систему (2) можно не запоминать, она получается посредством дифференцирования обеих частей системы (1) по \l\ при этом считаем, что х = x(t, /х), и дх

Найти дх/дц при \l — 0 от решения задачи Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям. Решение примера. Условия теоремы 1 выполнены, так как функции / = х2 + 4fit р? и a(fi) = 2/i — 1 непрерывны и имеют непрерывные производные по х и ц. Дифференцируя (3) по ц и обозначая х^ = и, получаем Здесь \i = 0, а х — решение задачи (3) при ц = О, то есть задачи dx/dt = ж2, ж(1) = -1. Отсюда а: = -1 ft.

Теперь (4) принимает вид Решая это линейное уравнение (выкладки пропускаем), получаем и = t2 + d

2. Из начального условия находим с = 1. Итак, Доказательство теоремы. Зафиксируем /х € М. Имеем где — решение задачи (1), но с Д вместо ji, то есть Обозначим дробь в (5) через Д). Идея доказательства теоремы. Составляем дифференциальное уравнение для v(t9 Д) при Д Ф fi.

Его правая часть при Д /х стремится к правой части уравнения (2).

Поэтому и решение v(t9 Д) при Д /х, то есть дробь в (5), стремится к решению уравнения (2). Значит, предел в (5), то есть дх/дц9 существует и удовлетворяет уравнению (2). Из уравнений (6) и (1), вычитая и деля на Д — р, получаем Преобразуем первую дробь в (7). Положим Тогда Поэтому из (7) имеем Так как df/dx, df/Зц непрерывны по совокупности переменных, то подынтегральные функции непрерывны по , а интегралы непрерывно по t. Из (6) по теореме 7 §7 ж непрерывно по (;t, Д) — по совокупности переменных.

Поэтому последние два интеграла в (8) — непрерывные функции от Д), включая значение Д = Обозначая их #(*,Д) и Л(*,Д), получаем Функция v(t9 Ji) была определена при Д Ф ц. Доопределяем ее при Д = /м как решение уравнения (9) с начальным условием и(*0, ц) = a'(/i), полученным из начального условия (7) при . По теореме 7 §7 функция v(t9JT) непрерывна по Д, включая Д = /х.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

При Д = /х имеем х* = х = /*), /1* = ц9 подынтегральные выражения в (8) не зависят от 8. Тогда в (9) матрица Я и вектор h принимают значения Таким образом, для v(t9fi) уравнение (9) и начальное условие v(t0,n) = a'(fi) совпадают с (2), то есть v(t9fi) удовлетворяет (2). В силу непрерывности Д) существует lim v(t9 Д) = То есть в (5) существует производная дх/дц = и координаты tf. вектора v(t9 ц) удовлетво- ряют системе уравнений и начальным условиям (2). Теперь пусть ц меняется на интервале М.

(и производные д/ди от них) непрерывны по (*,/*). По теореме 7 §7 решение системы (2), то есть производные тоже непрерывны по Дифференцнруемость решения по начальным условиям (следствие теоремы 1). Рассмотрим начальную задачу Пусть при (*,s) е D все функции Д и непрерывны, и на отрезке [t<912] Э t0 решение задачи (10) существует и проходит в области D. Тогда при существуют непрерывные производные решения £, по начальным условиям удовлетворяют системе Здесь решение задачи (10). Доказательство. Пусть xk0 = /х, а при t ^ fc ®f0 не зависит от Тогда система (10) удовлетворяет условиям теоремы 1.

Тогда решение x(t, ц) имеет непрерывные по t, ц производные по ц до порядка т включительно. Доказательство производится с помощью индукции по т. Для т = 1 утверждение теоремы 2 следует из теоремы 1. Пусть утверждение верно для производных до порядка 771 — 1 ^ 1. Докажем, что оно верно и для производных порядка т. Так как а функции и. = dxjdpi (i = 1. 7i) удовлетворяют системе (2), то надо проверить, что правые части в (2) имеют непрерывные производные по щ, fi до порядка т — 1 включительно.

1 по /i. Значйт, в (2) сложная функция принадлежит , аналогично dfjd^ также . По предположению индукции, примененному к системе (2), решение ир. ип системы (2) принадлежит по р. Так как ий =, то xt(t9 fi) G .

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.